PL D LL
La somme des termes depuis K jusqu'à -——, sera Le 100
donc 2,2588561 et celle detousles 100 termes5,1838243.
Jean Bernouilli a démontré le premier d’une manière Lrès-ingénieuse, mais indirecte, que la somme totale de cette série est une quantité infiniment grande, vérité que d’autres géomètres ont démontrée depuis par d'autres procédés et qui paraissait alors très-singulière en ce que les termes vont continuellement en décroissant. Pour obtenir la somme de toute série harmonique
continuée à l'infini, il faut dans l'expression (g) faire
De mu
m—=%,et comme alors log
} devient infini
tandis que A7 - reste fini et que A—— 7. disparaît, il
ns
en résulte que a somme de toute série harmonique, continuée à l'infini, est elle-méme infinie.
5. Dans les formules précédentes, la valeur numérique de la fonction désignée par Ay, est tout aussi difficile à obtenir que celle de la somme dont elle fait
: | L partie, lorsque y n’est pas moindre que — et l’ex-
pression (g) serait d’un faible secours si celle n’offrait elle-même un procédé très-simple pour trouver Ay quel que soit y. En effet 2 étant un nombre aïbitraire, si l’on fait m — 10 et x —1 et qu'on désigne par S la somme des 10 fractions
1 + + + etc...
I 1 Lt 1+r Li
on aura en vertu de (g)
S — Log(r + 10r) + Ar — À.
el
d’où l’on tire (h)
Ar = r5—Log(: + 10r) + A= …
Ainsi, r étant un ombre quelconque, on obtiendra la
valeur numérique de Ar à l’aide de celle de A,
1+ior que les deux premiers termes de la série suffisent pour faire connaître avec sept décimales.
Proposons nous par exemple de trouver avec sept décimales la valeur numérique de 44. Nous cherchet
: É À rons d’abord la somme des 10 fractions 1, :, -, etc... 2 9
3 ce qui nous donnera S — 1, 6262894. Nous calcu-
lerons ensuite
— + \—0,0495737 Non 41 2 a. 20499797
4 (+ Li
quant au logarithme naturel de 1 + 10r ou de 41, les
tables donnent 3,7135821 ; ainsi substituant toutes ces
valeurs dans (2) nous obtieudrons définitivement A4 —2,8411592.
Cherchons pour second exemple la valeur numéri-
VA que de À 3" Nous avons d’après (4),
prets Lo + 4 "ETS + nu E:
Le produit; S désignant la somme des fractions
4 Î À etc. juequ'a À Vus To. JS 39
, il viendra en réali-
