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Opérant de même sur ces dernières pour avoir les secondes différences ; puis sur celles-ci pour avoir les troisièmes différences, et ainsi de suite, on tiouvera en

rassemblant les résultati,

dfx 1 dfx 1 GSfT ee nel = Ses = = 73 — ctc.

ie de 4 2 dx* / Mas dx

14 — etc.

fx — 7 — etc.

difx 10 d'fx , 65 d'fx fx — — 4 — AE Se —— 19 — etc.

SA 7 dxi … 5 dx° FT E.6 da CIC. == Ctc.

En examinant les numérateurs des cocfficiens numé riques de ces expressions, On voit qu'ils sont identiquement les mêmes que ceux des développemens des fac: torielles (voy. ce mot) à exposans négatifs , car ils sont formés, comme ces derniers, par les différences pre-

mières, secondes , troisièmes, cte., des puissances des nombres naturels 1, 2, 3,4, etc. Désignant donc, comme nous l'avons déjà fait par (mn) le coefficient général de la factorielle dont l'exposant est m2, et par (m'/n) celui de la factorielle dont lexposant est —1», nous aurons évidemment pour la différence de l’ordre »2 de la fonction fx l'expression

drfé n

dx" :

(m'T) dm+if

A L É . JA Mi dant

Amfa —

dn+3fx 7 (mEimto)m+3) dant

OC rene stosamescrestte

Si nous faisons #2=—— 1, le second membre de cette égalité exprimera la somme de la série proposée (roy. cidessus, n° 4), et comme le coefficient numérique (»2'1n) devient (#/n) lorsqu'on change le sigue de 72, nous trouverons, en désignant par 5 la sonne des fonctions (/)

Je + Jar) + fear) + Jon) + ete.

1 Qi) ( S= f frax + . + fx —

11) dfx 0.1. |

(173) fx 0.1.2 dx?

Le coefficient (m7n) devenant zéro toutes les fois que mest plus petit que 7 (voy. Facronerres, 14) les quantités

(ii) (Gi) (173) (174)

etc.