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car elles sont en réalité ce que devient cctte expression dans le cas de m2 — 1. Ainsi on obtiendra leur valeur,

en considérant m1 comme la variable, et en difftrentiant

le numérateur et le dévominateur (voy. Dirr., 47), ce

qui donnera généralement

dim In)

Ces coefficiens numériques sont donc, dans le cas de m —1, les dérivées différentielles des coefficiens de la factorielle du degré ». Nous allons procéder à la déter-mination de ces dérivées différentielles dont l'importancese manifeste encore dans un grand nombre de questions intéressantes.

12. Si dans le développement de la factorielle générale gr, nous faisons pour plus de simplicité «a = 1,

nous aurons (v0y. IACTORIELLES , 14)

pur 1 + (mir + (mlo)r + (m13)r + ete.

les coefficiens (71), (m2), etc. , ayant les valeurs (b\ dans l’article cité.

En considérant »7 comme une quantité variable, nous obtiendrons, en différentiant les deux membres : de cette égalité , (m2)

d(mr) =7r.diml1) + r.d{ml2) + r°.d(ml3) + etc.

Ainsi, en développant d’une autre manière d{r1r)en série procédant suivant les puissances progressives de r, la comparaison des coefficiens pourra nous offrir l'expression particulière des différentielles d{mli), d(mlo), etc.

Or, si nous désignons par n l’accroissement infiniment petit ou la différentielle de 2, l'accroissement corres-

pondant subi par la factorielle est

nier — qair mais nous avons (FACTORIELLE, 3) MALE LIDE—S LIU (inrrir

dont le premier facteur vrir se réduit à 1=—nAr, à cause de n = +, (voy.Facurrés) et dont le second (1+r}"lr,

étant développé, donne

(arr = (ire (Tr). ar er — (2) (1Hnr)n—e rt etc.

Xemarquons maintenant que le développement de la. puissance générale (r4nr# se réduit à ses deux premiers termes 1-unr, en négligeant les termes affectés

des quantités infiniment petites des ordres supérieurs

SO #,n,etc., et, par conséquent, que l’on peut donner a cette dernière égalité la forme

(r+arpnr = (ibn). {a+ (mli).r4(ml2).r Letc.}

— mir. {(mli)}4o(ml).r43{ml3).r+ etc. } Désignons maintenant par fl lasérie (mi) + 2{mD2).r + 3(inT3).r° + 4{mIf).75 + etc.

etl’expression quenous venons de trouver seraidentique Ï q

avec (rHnrVair = (ir) arr mare TI

= Lire (nr nr — 73, TI)re

multipliant cette dernière par 1—zAr, nous aurons défivitivement, en retranchant le terme affecté de la quautité infiniment petite du second ordre »?, LAHNT — yn r (inr)rtr = LATE Cr ART POI re, LOT, AN Ainsi, retranchant 17 de part et d’autre et rempla-

çant x par dm, nous obtiendrons pour la différentielle de la factorielle 117

demi) = (mr. ami 7 It — vir, ar). dm

Si nous remplaçons dans cette expression les quantités

#7, Il et Ar par leurs développemens

ar = 1 +(mli).r + (D) .r2 + (m13).7r5 + etc.

HO =(ali)#a(mD).r+3(ml3).r + A{RIDrS + etc.

AT =g,.r+ Our HO. HO, ,ri + etc.

Nous trouverons, en effectuant les produits et en ordonnant selon les puissances de r,

d(imr) = 4,r.dm-A,r -dm+Asrdm+Airidn + etc, es quantités A,, A:, A5, etc. étant

A,=(m—1—0,).(mT1)—0,

Aa (3 —0,). (mm D) —0,. (mli)—0,

= (ri—3—0,), (13) —9, (mL) —0,(mL1)—09, (m4 —0). (m1) —02.(m13) —03(m 12) —0(m1s) - 05

tc.= etc.

Coimparant ce dernier développement avec le pre-

mier (72), on voit que d{mli)—A..dm, dim[>)—A,.dm, diml3)=A;.dm, ete., ce qui donne pour la dérivée différentielle du coefficient général (»1#) l'expression (x)

d(mm Tu)

D CC — 0:.(mlu—53) — 0,.(mlu—4)

li. ss.

— Vi1.(mli)

On ne doit pas oublier que dans cette expression tous les termes affectés des nombres de Bernouilli à indices impairs, excepté le premier %, disparaissent parce que tous ces nombres sont zero.

13. Si dans l'expression précédente nous faisons m1, toutes les quantités (m1), (m£2), etc. deviennent o , et l’on a simplement

dm Tu) "= — 0, dim di d’où, en général, (11u) 0, L 8 : . ., Gi) , I sauf la première quantité . qui est 1 — 0, — : > 143 Les autres sont donc, JE 0, : ) ——0;=0, ! 15) 1/6 117 (EPP LEO PRES er ei o 0 0 0 (148) — — H, etc., etc.

Substituant ces valeurs dansla série sommatoire (4), elle devient (o)

dfx 1

CE CIO ARTS dfr RAT 150

DL Lerqy. UP S = nf Je de fe +0.

dx 1

d fx r° fr PR etc.

Dee

dans laquelle les nombres 0, , 0, %, etc. ont les valeurs

connues ï I ï I = + —, = — ——,06— "À —— 05 — — —- etc.

d'à 12° 120 Le 152. 240

(Joy. FAcuLTÉS, 10.)

500 Ss0