MÈTRE À AIR

TIERCE. (Gcom.) Nom que l’on donne à la soixantième partie d’une seconde dans la division sexagésimale du cercle. (Foy. ANGze 15.)

On nomme aussi tierce la soixantième partie d’une seconde de temps. {Voy. Heure.)

Les tierces, soit de degré, soit d'heure, se marquent par trois petits traits ” placés à la droite du chuffre qui en exprime le nombre, et un peu au-dessus : par

exemple 14", signifie 14 tierces.

TOISE. (Arp.) Mesure linéaire divisée en 6 parties nommées pieds et qui n’est plus en usage en France

depuis l’établissement du mètre. (Voy. Mesure. f 7

TOISÉ. (Arp.) On a donné ce nom, d’après celui de la toise, qui était jadis l’unité des mesures linéaires, à la partie de la géométrie pratique qui a pour objet la mesure des surfaces et des solides. (Foy. Soripe et

SurFACE.)

TOPOGRAPHIE. (Arp.) (de rores lieu et de yp&®o je décris) Description de quelque lieu particulier ou d'une petite portion de la terre. La topograpluie est à la géographie ce que la partie est au tout.

TORRICELLI (Evaxceuisra). Aussi grand géomèè 70

TO tre que célèbre physicien , naquit le 15 octobre 1608 à Modigliana, dans la Romagne, suivant Beneventori, et

à Piancaldoli, dans le diocèse d’Imola, suivant Lastrie. Il fut élevé à Faen za, où il étudia les mathématiques au collége des jésuites, et il révéla de bonne heure une étonnante aptitude pour ces hautes sciences. Un de ses oncles, religieux de l'ordre des Camaldules, par les soins duquel il recevait les bienfaits d’une excellente éducation, l’envoya à Rome dans la pensée que le jeune gcomètre trouverait plus facilement les moyens d’y développer son précoce talent. Torricelli devint dans cette ville, Pami de Castelli, ce disciple chéri de l’illustre Galilée, qui lui communiqua les travaux de son maître. Torricelli publia bientôt un traité remarquable sur la chute accélérée des corps et la courbe décrite par les projectiles. Dès ce moment il prit place parmi les géomètres distingués de ce temps, fertile en beaux génies, et il entra en relation avec les Roberval, les Fermat, les Mersenne, les Pascal, et s’occupant des différens problèmes qui exerçaient alors la sagacité et le zèle laborieux des mathématiciens, il donna la solution de ceux qui avaient arrêté les plus habiles , tels que le fameux problème sur l’aire et le centre de gravité de la cycloïde. Nous ne croyons pas devoir entrer dans l’examen des discussions et de la polémique, trop souvent violentes, auxquelles donnèrent lieu ces luttes scientifiques entre tant de nobles rivaux de gloire et de savoir.

La découverte qui assure au nom de Torricelli une glorieuse immortalité, est celle du baromètre, dont la science a fait depuis de si nombreuses et de si utiles applications. Comme Pascal, qui illustra cette découverte par les célèbres expériences du Puy-de-Dôme, Torricelli mourut à 39 ans. La perte de Galilée, quoique ce grand homme fût parvenu aux limites communes de la vie humaine, lui avait causé un profond chagrin, et cette tristesse profonde qui semble être la compagne inséparable du géuie, ne l’abandonua pas depuis le jour où avec Viviani il avait fermé [es yeux à son illustre maitre. Les OZuvres géométriques de Torricelli ont été imprimées à Florence en 1644, in 8, On trouve dans le tome 111 des Mémoires de l'Académie des sciences, la lettre qu’il écrivit à Roberval sur le centre de gravité de la parabole et sur divers autres problèmes dont il donna la solution. Ses manuscrits ont été long-temps conservés à Florence dans la bibliothèque du palais de Médicis.

TOUCAN. (45/.) Nom d’une constellation méridionale située entre le phénix et l’hydre. (Foy. Coxsret- LATION.)

TOUCHANTE. (Gcom.) Ligüe droite qui touche

rpE TE en un point une ligne courbe, On lui donne générale-

ment aujourd’hui le nom de tangente. (Poy. Tax- GENT:.)

TRACTION. (Hec.) Action d’une force qui tire un corps mobile à l’aide d’un fil, d’une corde où de tout autre intermédiaire, Par exemple le mouvement d’un chariot tiré par un cheval est un mouvement de traction, et l'effort du cheval pour le faire mouvoir est une force de traction.

TRACTRICE. (Geom.) Ligne courbe dont la propriété principale est d’avoir toutes ses tangentes égales entre elles.

On lui a donné le nom de tractrice parce qu’on peut la concevoir comme engendrée par l'extrémité d’un fil que lon tire par son zutre extrémité le long d’une ligne droite. (Foy. les Mémoires de l'Académie, 1536.)

TRAJECTOIRE ORTHOGONALE. (Géom.) Nom sous lequel on désigne une ligne courbe qui coupe à angle droit toute une famille d’autres courbes. :

Le problème de trouver une telle courbe fat indiqué, pour la première fois, par Jean Bernoulli à Leibuitz, et devint l’occasion de la découverte faite par ce dernier d’une méthode particulière pour difiérentier sous le signe de lintégration. Cette différentiation, que Leiboitz nomma decurva in curvam, parce que Ja quantité quiest constante dans une même courbe devient variable dans une suite de courbes du même geure, se résume en un théorème dont nous avons donné, Ixrécrar, 57, la démonstration. Proposé ensuite comme défi aux géomètres anglais, ce problème acquit au commencement du XVIII® siècle une célébrité qne l’on pourrait trouver fort au-dessus de son importance réelle, si les immenses progrès de la science, à l’époque où tous les géomètres s’exerçaient à l’envi sur de semblables questions, ne venaient attester que dans la chaine immense des vérités il n’en est aucune qui doive demeurer stérile. C’est en 1715, dans les Actes de Leipsick, que se trouve formulée en ces termes l'attaque de Leibnitz: Trouver la trajectoire orthogonale d’une suite de courbes de méme nature, ayant méme axe et méme sommet; par exemple, d'une suite d'hyperboles de méme sommet et de méme centre.

La question fut promptement résolue non-seulement par divers géomèties anglais, mais encore par Nicolas Bernouilli, fils de Jean, qui débutait alors dans la carrière des mathématiques, et Leibuitz fut obligé de se concerter avec Jean Bernouilli pour ajouter au problème fondamental de nouvelles conditions capables d’en multiplier les difficultés. Jean Bernouilli indiqua

TR

alors cette question : Sur un axe donné comme sommet décrire une suëte de courbes dont la propriété soit telle, que Le rayon osculateur soit coupé par son axe en une raison donnée, et ensuite construire La trajectoire qui coupera cette suite de lignes à angles droits. Xl entrait en outre dans les conditions du problème de le ramener au moins à une équation différentielle du premier degré susceptible de construction, au moyen des quadratures.

Cette dernière question, beaucoup plus compliquée que la première, fut successivement résolue par Taylor (Transact. phil. , 1717), Nicolas Bernouilli , fils de Jean (Actes de Leipsick, 1718, 1720), Nicolas Bernouilli, fils de Jacques (Actes de Leipsick, 1719) et Herman. La solution de Jean Bernouilli, qu'il avait communiquée à Leibnitz en lui adressant le problème, se trouve dans le tome 11 de ses œuvres; elle est remarquable par son extrême élégance. Il prouve que si le rapport du rayon osculatenr à sa partie interceptée entre l’axeet la courbe est représenté par celui de 1 à x, l’équation de la courbe ayant la propriété demandée,

sera pu: vi æ'dx Y TA V/(a7—x2")

ce qui est l’équation d’un cercle si x = 1, et celle d’un cycloïde si r = +. En effet le rayon osculateur de la cycloïde est partagé en deux parties égales par l’axe, et, dans le cercle le rayon osculateur n’est autre que le rayon même du cercle, et, par conséquent, est égal à la partie de ce rayon intercepté entre l’axe et la courbe,

Pour donuer au moins une idée de la solution du problème des trajectoires orthogonales, considérons une infinité de courbes #n, m'a", m'n", etc. (PL. 58, fig. 10), formées par une loi commune et qui sonttoutes coupées à angles droits par une courbe CD. Il est évident que si du point O où l’une de ces courbes 727, par exemple, est coupée par CD, on mène la droite OT tangente à mn et la droite OQ tangente à CD , ces droites seront perpendiculaires l’une sur l’autre, de sorte que la tangente de l’une de ces courbes est normale à l’autre et réciproquement. Ayant menée l’ordonnée OP — y, ainsi qu'une autre ordonnée infiniment proche po’, menons encore la droite OQ parallèle à l’axe, et nous aurons dans le triangle rectangle o'Or à cause de la perpendiculaire Og sur l’hypothénuse o'r,

gr : Og :: Og : 0'q,

or, en considérant OP comme l’ordonnée de la courbe CD , gr est l'accroissement infiniment petit ou la différentielle de y, car pr— OP — — gr; comme en considérant OP seulement comme l’ordonnée de la courbe mn , 0'q est la différentielle de OP ou de y; de plus

TR 059 Og = Pp=Ap—AP—x—+ dx x =dx. Ainsi, désignant — gr par — dy et o'q par dy', pour ne pas confondre ces deux différentielles, la proportion ci-dessus est la même chose que

dy' : dx :: dx : — dy, pr — — de dy" = — FA

Ceci posé, ia sounormale PT dela courbe ED a pour expression générale en qu'il faut prendre négative-

ment parce qu’elle est située en sens inverse de la sounormale PQ de la courbe 727 , et cette sounormale PT est en même temps la soutangente positive de 7nn. Ainsi, cherchant à l’aide de l'équation de la courbe donnée mn , l'expression de la soutangente PT, en égalant MU HSE À 5 4 cette expression à —"7" ou formera l'équation qui fera connaître la courbe CD. Ou bien, ce qui est plussimple, cherchant la valeur de dy' que nous supposerons — Mix , et faisant

cette équation donnera celle de la courbe. Il faut observer dans l’un et l’autre procédé d’éliminer le paramètre ou la constante de léquation de la courbe mn afia que la trajectoire AB se rapporte à l’une quelconque des courbes »1n, m'n', etc., c’est-à-dire à toutes en mème temps. Les exemples suivans vont éclairer cette théorie.

1. Soient les courbes AM, An, etc. (pl. 57, fig. 18), une infinité de paraboles du même ordre, ayant même sommet et dont p est le paramètre qui varie d’une parabole à l’autre. ,

L’équation des paraboles de tous les ordres étant J = pri, x différentions en regardant p comme constant, il viendra mym—x dy! = pa-1,.dzx d'où ETS ce qui donne la valeur de p—1,

my"m—1,dx a

pr 1 ven

mais, ea vertu de l'équation des paraboles, pa—1 — VA donc

J" __ mym ti. dx

z dj — ou

Jdy = — mxdz , et en intégrant

J=— mx? + C

donnant à la constante arbitraire C la forme "14°, pour

rendre } ecquaiion SV melrique > HOUS aurons 2 = mnt 72) J° =7m(a x};

ce qui est l'équation d'une ellipse appollouienne dont le demi-grand axe = a et le deini-petit axe — a\/ne. Aiust prenant AN—a, ei élévant au poiut A la per- 1 AB — aV/12 AN et AB nous décrivons l’ellipse NOB, cette courbe

peudiculaire , Si sur ls deux deimi-axes coupera toutes les paraboles AM, Az, etc., à angles droits.

2. Soient maintenant une infiuité de cercles AMB, Amb, Am'b', etc. (PI.58, fig. 11) qui aient un même sommet A, mais différens diamètres. Représentons le diamètre par 2p, l’équation de ces cercles rapportée au sommet À sera

J2 = 2PX — x?

dont la différentielle, en regardant p comme constant est

2ydy" = 2pdx — 2xdx ,

d’où — x)dx dx?

dy = ET És nu ce qui donne y 27dx RTE dy

or, d’après l'équation du cercle,

ainsi

ou dy — ty TZ 4 es

Intégrant cette expression il vient

Ce qui se réduit à & = Cy — 7,

équation d’un cercle qu’ou peut construire comme il suit : Ayant élevé une perpendiculaire d’une grandeur arbitraire AC, au sommet À, sur cette droite comme diamètre on décrira le cercle EOA. Ce cercle coupera ious les cercles proposés à angles droits.

Cette méthode est générale lorsque les courbes proposées sont algébriques, mais lorsqu'elles sont transcendantes elle réussit rarement, er il faut alors avoir recours à d’autres procédés , dout l'exposition ne peut trouver place ici. Voyez le Mémoire de Nicolas Beruouilli : Exercitatio geometriva de trajectoriis ortho-

gonalibus , eic. âctes de Leipsuk, 1720.

Tasecroine rÉcIProQuE. Nom donué par Jean Bernouilli à une courbe AB (PI. 55, fig. 12) qui-était placée dans une position reuversée comme CD, coupe toujours sa première situation AB sous un angle constaut, lor-qu'on la fait mouvoir parallèlement à ellemême. Parmi toutes les courbes qui ont cette propriété, on distingue la Cycloïde et la Logarithmique. La Cyorthogonale, et la

cloïde est une trajectoire réciproque

Logarithmique uue trajectoire réciproque orthogonale

ou oblique , selon diverses circoustances.

TRAJECTOIRE. (#éc.) Nom que l’on donne à la courbe décrite par uu mobile soumis 4 l’action de forces accélératrices. T Île est la route que parcourt un corps pesant lancé obliquement dans l'air.

Avant les sublimes découvertes de Newton, toute la théorie des mouvemens curvilignes se réduisait à ce que Galilée avait enseigné sur la courbure du chemin des projectiles, dans l'hypothèse d’une force accélératrice constante agissant dans des directions parallèles , et à ce que Huygens avait appris sur les forces centrales dans les mouvemens circulaires. Armé de Ia puissance nouvelle qu’il avait su puiser dans la science des nombres , Newton envisagea le problème du mouvement curviligne d’une manière bien autrement générale qu'on ne l'avait fait jusqu’à lui; non seulement il parvint à assigner les lois su'vant lesquelles il s'exécute, mais il eut encore la gloire d’en former la base du système physique de l’univers. La première partie de son célèbre ouvrage des Principes de la Philosophie naturelle est employée à l’exposition de ces lois, dont nous allons essayer de faire comprendre l'importance et la fécondité,

1. On sait que lorsqu'un mobile est lancé dans une certaine direction et avec une certaine vitesse par l’ac-

tion d’une de ces forces qui agissent instantanément et

TR

laissent ensnite le mobile se mouvoir librement, il doit décrire une ligne droite et continuer à se mouvoir à l'infini dans la même direction et avec la même vivesse, si rien ne vient troubler son mouvement. Muis si, outre l’action de cette force instantanée , il est soumis à l'action d’une autre force qui agit constamment sur lui ét dans une direction différente de la première, il sera évidemment contraint de se détourner à chaque instant de cette première direction , et il décrira une courbe qui variera suivant l'intensité et la directiou de la force qu'il éprouvera à chaque point, et suivant la vicesse et la direction primitive de sa projection. Tout cela a déjà été exposé ailleurs. ( oy. Mouvement. ) 2. Supposous douc qu’un point matériel projeté dans fa direction de la droite BM (PI. 58, fig. 13) éprouve l'effet d’une force accélératrice qui l’attire ou le pousse vers un point fixe À. Eu vertu de l’action cumbinée des deux forces qui le metteut en mouvement il décrira la courbe BN, dont il s'agit de détermiuer la uature. Pour cet effct, imaginons le point parvenu en z sur sa trajectoire, et prenant B pour origine du mouvemeut, menous la droite AX, sa perpendiculaire AY, et le rayon vecteur Az. Si nous considérons AX et AY comme les axes des coordunnées de la trajectoire, l'abscisse du point z séra AP et son ordonnée sera Pz. Maintenant désignons par 4 l'intensité de la force accélératrice à l’unité de distauce , et comme il nous suffit ici d'examiner le cas où cette force agit en raison inverse du carré de la distance , son intensité à la dis-

tance Az — 3 sera = La force ‘- agissant dans la diz° 3

rection Az ses composantes Pz et Qz parallèles aux axes seront

É cos AzP , Le . cos QzA T :

u ct ses cause de

Pz'E æ cos AP, cos QzA —

et comme ces composantes tendent évidemment à diminuer les coordonnées æ et y, il faudra leur donner le signe —. ;

Or, l'équation fondamentale du mouvement variable

’£) accéléré est & — rs (voy AccÉLÉRÉ), nous avons donc ici (a), dx re px dy y dE TT D de Ta

de étant toujouts l'élément du temps.