Pour obtenir une intégrale première de ces deux

équations, multiplions la première par y, la seconde par æ èt retranchons ensuite la seconde de la première il viendra

dr y dar “de?

et, en multipliant par ds dx e dy me 7 Æxr Jp 0

intégrant par parties et réduisant on trouvera (b),

y dzx—axdy — C0 dt

c étant une constante que nous déterminerons plus loin.

4. Nous obtiendrons une autre intégrale première en multipliaut la première des équations (a) par 24x, la seconde par 2dy, et en preuant ensuite leur somme. On trouve d’abord de cette manière ,

2dx.dx+ody.dy 2u(xdx + ydy) — Ù ann des auf

mais le second membre de cette dernière égalité contenant les trois variables + , y,z, on peut le simphfier en observant qu’on à la relation x*+-7° = z? d’où l’on tire eu différeutiant 2xdx + 2 ydy = 2343. Ainsi cette égalité est la même chose que

2dx.dx+odydy 2udz pp res rs —

et l’on trouve en intégrant (c)

dx +dy: °p

de 2

b désignant une constante.

5. En éliminaut dt entre les équations (b) et(c) on obtiendrait l’équation de la trajectoire , mais les expressions deviennent plus simples en rapportant cette courbe à des courdonnées polaires, Par exemple, comptant l'angle du rayon vecteur à partir de l'axe AB , et désignant cet angle, ou AB, par @ on aura x = 2,cos9, y =2.sin® , d'où =

dz.cos à — z.sin 9.d@ dz.sin @ + 3.cos.d@

substituant ces valeurs de x, y, dx, dy dans les équa-

tions (b) et (c) elles deviennent

isrdd = cit

558 LR Fe ds += d@ RAIN de? 3 éliminant dé, on obtient dz? C2 ou ss , <: Pen zi. d@? 3? 3 + 9

pour l'équation différentielle de la trajectoire. G. On peut simplifier cette équation, ce qui facilite

son intégration , en observant que si l'on pose

Substituant, elle devient

>? TH er our + bee

Résolvant cette dernière par rapport à do on a

c.dr

Qs VLer—b—cr]

ce que l’on peut mettre sous la forme

Intégrant cette dernière égalité, on obtient

—c?r ® = w + arc Cr ne p—bc? ”] & étant la constante arbitraire,

Réciproquement on aura

Re 46

VIs be]

COS (p—«) —

et, en remettant - 2 la place der,

uz — V/[u? — be?].cos(D — w).z — «2 = 0.

Telle est définitivement l'équation polairé de la trajectoire dans l'hypothèse d’une force accélératrice agissant en raison inverse du carré de la distance.

7- Si l’on remarque qu’à cause de l’angle arbitraire » on peut changer le signe de cos (9 —), car cela revient à augmenter + de deux angles droits, et qu’on a, après ce changement , eu tirant la valeur de z, (d),

mEVIr =]. cos (D—%)"

la forme de cette valeur indique que la trajectoire est une section conique, ce dont on peut s'assurer facilement en examinant les équations polaires de ces courbes. Mais en transformant les coordonnées polaires en coordonnées rectangulaires, cette vérité devient encore plus manifeste.

8. Menons par le point A, centre de la force accélératrice les axes rectangulaires AX' et AY", et supposons que l’axe A X’fait avec l’axe AX des coordonnées polaires un angle XAX' = »; désignons par x' et y’ les coordonnées du mobile rapportées à ces nouveaux axes , et coinme le rayon vecteur 3 fait avec l’axe AX’ un angle

zAX"' == @ — w , nous aurons

substituant dans (d), nous aurons après toutes les réductions (e),

p7'"+ be x = ci — 20%". \/u—be?

équation qui appartient à l’ellipse, à l'hyperbole ou à la parabole selon que la constante b est positive, négative ou nulle. En outre, comme d’après cette équation le rayon vecteur V/{x'2+7"°] peut s'exprimer sous forme rationuelle en fonction de l’abscisse x’, il en résulte , d’après la théorie des sections coniques, que l’origine des coordonnées x’, y', ou que le point A , centre de la force accélératrice , est dans les trois cas l’un des foyers de la courbe.

9. Il est donc rigoureusement démontré qu’un point matériel attiré vers un point fixe en raison inverse du carré des distances , décrit une section conique dont ce point est un des foyers. La nature et les dimeusions de la courbe dépendent des constantes arbitraires bete, et ce n’est que par les conditions initiales du mouvement qu’on peut déterminer ces constantes, et par conséquent la courbe elle-même. Mais il nous suffit ici d’avoir établi cette proposition générale.

10. Reprenons maintenant l’équation (b) pour en obtenir la signification de la constante c. En intégrant

on obtient (e),

J'Uydz — xdy]= ct + c'

c' étant une nouvelle constante arbitraire,

Observons que ydx étant l'élément d’une surface courbe (v0y. QuADRATURE) , nous pouvons supposer que cette surface est comprise entre les abscisses + —0 etx — AP, alors l'expression /ydx sera représentée par l'aire NAPZ. Si nous retranchons de cette aire le

triangle APZ, il nous restera,

secteur NAZ = aire NAPZ — triangle APZ

TR secteur NAZ = fydx — “

différentiant, il vient après les réductions,

dx —%xd d(secteur NA?) Re ame AR

Intégrant de nouveau, on aura 2 secteurs NAZ — f{ydx— xdy] Ainsi l’équation (e) revient à { f) 2 secteurs NAZ = ct.

Nous supprimons la constante c' parce que nous pouvons supposer que le temps commence lorsque le secteur est nul. ’

Faisons e — 2A, il viendra simplement

secteur NAZ —A.t,

ce qui nous apprend que la surface du secteur décrit par le rayon vecteur est proportionnelle au temps que le mobile emploie à parcourir l'arc de la courbe. Cette propriété est connue sous le nom de principes des aires. Découverte par Keppler dans les mouvemeus des planètes autour du soleil, il était réservé à Newton de la démontrer comme une conséquence de l’attraction que cet astre excrce sur tous les corps qui circulent autour de lui. (Foy. A1RES PROPORTIONNELLES.)

11. En faisant £ — 1 dans l'équation { f) elle devient : > secteurs NAZ — c, ce qui fait reconnaître que la constance c exprime le double du secteur décrit dans l'unité de temps.

12. Le cas où le mobile décrit une ellipse étant Te plus important, reprenons l’équation (e), et comme elle exprime cette courbe lorsque à est positif faisous seulement, pour simplifier, \/(#°—bce?) — m, elle deviendra (g),

By" + box? = ci — 2cmx"

et comme elle donne

VIRE À . V{e—bx— mx]

On voit que toutes les ordonnées rectangulaires positives sont égales aux ordonnées rectangulaires négatives correspondantes , ce qui indique que l’axe AX' ne peut être que le grand ou le petit axe de la courbe. IL est donc nécessairement le grand axe puisqu'il renferme le foyer.

Cette circonstance nous permet de simplifier encore l'équation (g) en la rapportant au centre de l’ellipse. Pour cet effet, faisons x' = x + « ct disposons de

L4 Al

TR 559 l’indéterminée & de manière. qu’elle fasse disparaître le terme affecté de x’ qui ne doit pas se trouver dans l’équation au centre. Faisant douc cette substitution, il vient, après avoir divisé par €?, (h),

Ê .ÿ? + br + 2ba [x + be + 2m +omia( — O0);

— cc?

égalant à zéro le coefficient de x, on a

Cette valeur introduite dans (4) change cette équation en (:),

L* , m PPT c'—0,

b H — 2 b 2 ELLE p° .

mais m— V/(p?--bc), ainsi po dre (ë) se réduit à p° la Re trs nn + b.x a

et, en faisant disparaître les dénominateurs, on obtiendra , bps.y"? Æ ber,xs — cu — 0.

Dans cette équation, l’origine des coordonnées est au centre, et par conséquent on peut obtenir les valeurs du grand et du petit axe, en supposant alternative-

ment y'—0 et x — 0. On trouve en faisant x = 0 ;

je WE HT b

et en faisant y' — 0,

et comme alors æ exprime le demi-grand axe et y’ le demi-petit axe , on a donc

2 2 su PU c?

demi grand axe — Das demi petitaxe — 77

mais 7 désignant la demi-circonférence du cercle dont le rayon est l'unité , l’aire d’une ellipse dont À et B sont les demi-axes principaux est xAB (voy. Quapna- TURE); ainsi l’aire de l’ellipse décrite par le mobile est égale à