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ce qu’on peut mettre sous la forme
Or, nous avons vu (10) qu’en désignant par £ le temps quele moble met à décrire le secteur NAZ, l’équation ( f°) donnait
2 secteurs NAZ
Lorsque le temps £ devient celui d’une révolution entière du mobile, le secteur NAZ devient Ja surface enuère de lellipse , et l'on a par conséquent dans ce
cas, en désignant par T le temps de la révolution com-
plète , D Em = (£ :
Ve. b ou bien T2 p Vu en vommant D le demi grand axe de lellipse.
Pour un autre mobile soumis à la même force accélératrice attirant vers le même point, mais qui décrirait dans le temps T' une autre ellipse dont le demi grand axe serait D’, on aurait aussi, évidemment,
Ve ainsi —- étant une quantité constante on a LE 3 3 LT: D = D!° ou T2: T'=:: DS : D
c’est-à-dire.que les carrés des temps des révolutions de deux mobiles qui décrivent des ellipses autour d'un même foyer, et par l’action d’une même force, sont entre eux comme les cubes des demi grands axes de ces ellipses.
13. Nous pouvons résumer la théorie précédente en trois points principaux : 1° Tout mobile qui, ayant un mouvement initial de projection , est soumis à l’action d'une force accélératrice , variable en raison inverse du carré de fa distince, décrit autour du centre de cette force, comme foyer, une courbe conique ; 2° tout mobile qui, sous l'empire des mêmes couditions se meut sur uue courbe conique , la parcourt de manière que
les aires décrites par son rayon vecteur sont propor-
tionnelles aux temps employés à les décrire ; 3° lorsque plusieurs mobiles décrivent des ellipses autour d'un foyer commun , par l’action d'une même force , les carrés des temps de leurs révolutions sont eutre eux comme les cubes de leurs moyennes distances.
Ces lois du mouvement curviligne étant celles que Keppler a déduites de l’expérience pour les mouvemens des planètes autour du soleil , Newton en a conclu que ces planètes sont soumises à l’action d’une force qui réside dans le soleil et qui agit en raison inverse du carré des distances; et c’est ainsi qu'après avoir découvert d'abord que l’action de la pesanteur s'étend jusqu’à la lune (voy. Gravirr) , et force cet astre à circuler autour de la terre, il a pu s'élever jusqu’à recornipaître l’universalité de cette force, et lai faire régir tous les mouvemens planétaires. Mais pour légitimer cette conclusion, il rie suffit pas de prouver l'identité de ces mouvemens avec ceux qui résultent d'une hypothèse sur la nature de la force qui les produit , il faut encore, en partant de leurs lois empiriques, c’est-à-dire de leurs lois constatées d’une manière expérimentale, pouvoir déterminer la nature de cette force ; c’est ce que nous allous faire ici, pour rassembler tous les documens du
système de la gravitation universelle.
14. Les trois lois de Keppler, constatées à posteriori, sont :
1° Les planètes se meuvent dans des courbes planes et leurs rayons vecteurs décrivent, autour du centre du soleil, des aires proportionnelles au temps.
2° Les trajectoires ou les orbites des planètes sont des ellipses dont le centre du soleil occupe un foyer.
3° Les carrés des temps des révolutions des planètes aulour du soleil sont entre eux comme les cubes des grands axes de leurs orbites, ou comme les cubes des moyennes distances, Je demi grand axe étant la même chose que la moyenne distance.
Ces trois lois concernent le mouvement du centre de gravité de chaque planète ; ainsi nous considérerons ces corps comme de simples points matériels mobiles, et tout ce que nous dirons sur la position ou la vitesse d’une planète devra se rapporter à son centre de gravité.
15.Soit F (PI. 58, fig. 14) le foyer de l'orbite elliptique d’une planète, occupé par le centre du soleil, et soit M, le point de l’ellipse où se trouve la planète à un instant donné. Désignons le demi grand axe AO par a, le demi petit axe CO par b, la distance du centre O au foyer F par e, et le rayon vecteur FM par z. Si nous comptons pour plus de simplicité l'angle du ravon vecteur à partir du grand axe et que nous désignions cet angle MFB par?, la grandeur du rayon vecteur en fonction de cet angle sera
us a+ e. cos ©
car telle est l'équation polaire de l'ellipse. Mais pour diminuer le nombre des quantités constantes, mettons
cette équation sous la forme (4),
a + e.co5?
0 ms
en nous rappelant que à = a° — e?, (Voy. Ervrse.)
Ceci posé, observons que , si après avoir décrit l'arc My infiniment petit, et que nous pouvons par conséquent considérer comme uue ligne droite, il n'existait aucune force qui vint influencer la planète, elle continuerait à se mouvoir dans la direction de la droite Mr et arriverait en m’ après un intervalle de temps déterminé. Ainsi puisque la planète infléchit sa route et qu’au liéu de parcourir la droite #2m' elle parcourt l’arc de courbe run , il faut de toute nécessité qu’elle soit soumise à l’action d’une force accélératrice , et il est facilé de reconnaître , d’après le principe des aires égales décrites par le rayon vecteur dans des temps égaux, que cette force agit constamment dans la direction du rayon vecteur, ou de la droite tirée à chaque instant du foyer F au point de la courbe occupé par la planète.
La force accélératrice dont nous venons de renconnaître l’existence est donc située au foyer F, c’est-àdire, au centre du soleil, et nous ne pouvons considérer son action que comme celle du soleil lui-même sur la planète. Prenons maintenant pour axes rectangulaires des coordonnées FX'et FY, ou le grand axe de l’ellipse et sa perpendiculaire au foyer, désignons Fg par x et Mp par y, et observons que puisque la force accélératrice, que nous désignerons par R, agit dans la direction MF, ses composantes parallèles aux axes des coordonnées seront dans les directions Mp et Mg, et qu’en représentant.cette force par le rayon vecteur FM, Mp et Mg représenteront les composantes elles-mêmes. Or, nous avons
Mp = FM X cos (FMp) Mg=EFM X cos (FMg)
Ainsi les composantes de la force R sont : R. cos(FMp),
etR.cos (FMg}ouR.” : Re car
M F NE en FM « EM Nr vou:
cos (FM) == . =?
{mais la courbe étant concave vers le soleil, l’action de la De TOME I.
ie Et
force, ainsi que celle de ses composantes , tendent à
diminuer les coordonnées # et y ctil faut prendre les . a Fd :
expressions R.— et R - avec le signe — .
16. L’équation générale d’une force accélératrice variée étant © mede de”?
de la force, et e l’espace qu’elle fait parcourir dans le
dans laquelle » désigne l’intensité
temps £ (voy. AGcÉLÉRÉ), nous aurons donc pour les équations du mouvement de la planète,
Si nous multiplions la première de ces équations par 2dx , la seconde par 2dy, et que nous les ajoutions, il viendra .
2dx.dx+ody.dy
— 98, Rs
ce qui se réduit à odx.dx+ody.dy B.d ai, 7 2R. de, en observant que 4+ys = 22, d’où xdx<+ ydy = zdz. Intégrant cette dernière expression , il vient (!)
d désignant une constante arbitraire.
Mais nous avons aussi æ — :,c059, y = #,sino,
d’où l’on tire da? + dy2 = de? + 7. de.
Ainsinous pouvons donner àl’expression (?) la forme (m)
ds + 2 .dy M D — 2fR.dz
17. Pour éliminer de cette dernière équation le temps df, remarquons que l'aire infiniment petite FM
décrite dansle temps dt par le rayon vecteur FM peut
être confondue avec l’aire d’un secteur circulaire, ayant FM ou z a donc pour expression +
pour rayon et Mr» ou dy pour arc. Cette aire z*.d? (voy. Secteur); et si nous désignons par c le double de l’äire décrite par le rayon vecteur dans l’unité de temps ; nous aurons en vertu de la première loi de Keppler (7),
z?.dp — c.dt.
18. Tirant de l'équation {#) la valeur de de et la substituant dans l'équation (m), il viendra (0)
Cette équation serait celle de la trajectoire si la force R était donnée en fonction de 3. Doncen la comparant avec l'équation (4) on doit pouvoir obtenir la détermination de cette force. Reprenons donc l'expression
da — e
ae . cos?
et mettons-la sous la forme
« e.cosc «a — a+ ? = - ee
In
En Ja différentiant nous obtiendrons
La e.sino.do AR ae j ou à 1 dz e.sin® …— = — z* de a —e?
ce qui donne, en élevant au carré (p),
1. dr e°.sin’9 e(1—cos’?) er dy EE (a—e?) Te (a?—e} e> e2. COS?
Fee ee Or, l'équation (x) donne a?— €?
— — 4 —= €.coSw d’où, en élevant au carré, (a —e*} 2a(a—e') PR RER RL ES es dé 2 C?.C0$9 = —— + a
et, en divisant par (a°— €°)?
e?,cOS’®" I 24
substituant dans (p) , on obtient
| um
(ax)
dans l'équation (0),
elle devient
(a?—e?)cs
2ac? L A (a?—c 2j
—b— JSR.dz
pu 4
PI
d'où l'on tire en différentiant
ou , simplement (p),
en faisant
p étant une quantité constante, il résulte de l’expression (p) que l'intensité de la force R, en vertu de laquelle une planète décrit une orbite elliptique autour du soleil , est eu raison inverse du carré de son rayon vecteur.
19. Pour savoir mainteuant si la quantitég, qui exprime l'intensité de la force à l’unité de distance, et qui est donnée en fonction des quantités a, eet ec, dont les valeurs changent pour chaque planète, varie elle-même en passant d’une planète à une autre, représentons par T le temps de la révolution d’une plauète autour du soleil , alors cT sera le double de l’aire décrite pendant ce temps par son rayon vecteur ou le double de l'aire entière de l’ellipse, et, comme cette aire est égale à
ra.y/a—e!, nous aurons
d’où
Toute autre planète, dont a’ serait le demilgrandaxe, T' le temps de la révolution et p' l’intensité de la force .
accélératrice à l'unité de distance , nous donnerait évi-
demment de la même manière
PE 4r°.a =:
Mais en vertu de la troisième loi de Keppler,
donc
et, conséquemment up". Ainsi l'intensité de la force accélératrice, qui retient les planètes dans leurs orbites,
TR
est la même pour tous ces corps, à l’unité de distance, et elle ne varie de l’un à l'autre qu’à raison de leurs distances, de sorte que s'ils étaient placés en repos autour du soleil, à des distances égales, ils tomberaient vers lui avec la mème vitesse; d’où il résulte que la force qui les sollicite pénètre chacune de leurs molécules et qu’elle est proportionnelle à leur masse.
20. Les lois de Keppler conduisent ainsi directement à la connaissance de la force qui retient les planètes dans leurs orbites, et l’on voit que cette force est la même que celie qui fait tomber les corps à la surface de la terre : la Prsanreun. (V’oy. ce mot.) De plus, les mouvemens des satellites autour de leur planète principale étant assujettis aux mêmes lois, chaque planète principale est par rapport à son système de satellites ce qu’est le soleil par rapport à tous les corps, planètes et comètes qui circulent autour de lui. La pesanteur est donc une force qui réside dans toutes les particules matérielles des corps ; c’est par son action que ces particules tendent incessamment à se réunir ou s’attirent mutuellement, et Newton s’est élevé à la connaissance d’une des lois fondamentales du moude matériel en signalant l’ATTRAGTION UNIVERSELLE, en raison directe des masses et en raison inverse du carré des distances, comme un principe de la nature. Nous avons reconnu ailleurs l'existence de cette attraction en la déduisant à priori de l'idée même de la matière. (Foy. Narure.)
21. Une analyse plus profonde des effets de la force de la gravité prouve que la troisième loi de Keppler n’est qu’une approximation, car l'intensité de cette force à l’unité de distance n’est pas rigoureusement la même pour chaque planète. Nous croyons devoir indiquer ici les modifications que cette circonstance apporte dans la comparaison du rapport des cubes des distances moyennes avec celui des carrés des temps des révolus tions; modifications dont la plupart des auteurs de traités de mécanique et d’astronomie ne tieunent pas compte.
La force de la gravité agissant en raison directe des masses, prenons pour unité l'intensité de cette force exercée à l’unité de distance par l’unité de masse ; la
force du soleil qui agira sur un corps placé à cette unité:
de distance sera donc exprimée par la masse entière M de cet astre; mais la masse de la planète que le soleil attire étant 72, en vertu de la loi d’antagonisme (voy. Narune) , cette planète réagira sur le soleil et produira un effet exprimé par m3; et comme les deux forces M et m tendent à rapprocher les deux astres l’un de l’autre, leur effet sera Le mème que si la force M + 72 était concentrée dans le soleil et agissait sur la planète à l’unité de distance. Ainsi désignant par p l'intensité de la force de la gravité à l'unité de distance, nous aurons l'identité
TR 563 e=M +m
Pour toute autre planète dont la masse est 72", nous
aurous de même = M + m
u' désignant l’intensité de la force à l’unité de distance; et l’on voit que y n’est point égal à we’
Substituant donc à la place de w, M + m, dans l’expression du numéro 19, nous aurons pour la planète
me, (4)
pa 2T VM+rn et pour la planète m' 1 2 pr VMm
ce qui donne (M + m). Te : (M +). T2 :: DS : D
Ce n’est donc qu’en considérant les facteurs M + "2 et M + mn! comme égaux entre eux qu'on retrouve la troisième loi de Keppler; mais l'erreur qui en résulte est presque toujours insensible , car la quantité
diffère très-peu de l’unité, parce que les masses des planètes sont très-petites comparativement à celle du soleil.
