TION
TRANSFORMATION. {4/g:) Changement de forme que l’on fait subir à une expression algébrique sans altérer sa valeur. Par exemple, ayant l’expression
am + Dm ai bt
si l’on observe que le dénominateur peut être considéré comme le produit des deux facteurs a? Æ b? et a — b?, parce que(a? 4 b?) (a? — b?) — af — bi, et que le numérateur est aussi le produit de deux facteurs » et (a: + D), en retranchant le facteur commun aux deux termes de la fraction {(@&?+- 4:), on transformera lex« pression proposée en cette autre plus simple :
TR
ait br Les transformations qu’on peut opérer sur les équations forment une partie très-importante de leur théorie. Comme nous avous déjà vu (Equarion) que toute équation algébrique du degré 2 peut être, ramenée à la forme générale (a)
x" + ÀA;xœm—1 + Adi —elc. Am] + D — 0;
nous comprendrons les transformations ultérieures sous les quatre propositions suivantes :
1. Transformer l'équation générale (a) en une autre qui ait un terme de moins.
Faisons x = y + u, y représentant l’inconnue de l'équation demandée et w une quantité arbitraire qu’il s’agit de déterminer de manière à remplir la condition imposée. Substituaut y Hu à la place de x, l'équation (a) devient, après avoir développé les diverses puissances du binome y + u, et ordonné les termes par rapport aux puissances de y, (b),
mini ur
Pnau |ym—1 +A,
m2 etc. Hunt
A sum —-A,um—2
— etc.
ss...
Am: u | ee
de + (ni 1)A,u + À:
Maintenant, puisque la quantité w est arbitraire, on peut égaler à zéro un quelcorique des coefficiens de cette équation, ce qui fera d’abord disparaître le terme affecté de ce coefficient et donuera ensuite le moyen de déterminer la valeur de « ; de sorte qu’en substituant cette valeur dans l’équation transformée ellen’aura plus que des coefficiens déterminés.
S'agit-il par exemple de faire disparaître le second ternie, On posera
; mit + À:
d’où l’on tircra A:
puis substituant dans (b) cette valeur de u, l'équation (b) prendra évidemment la forme )
pm + Baye + Biyms 2 etc. + Bn1y + Ba = 0
et les racines de cette dernière feront connaître celles
de la proposée par la relation AT TS
Cette transformation particulière étant une des plus usuelles, nous ferons observer qu’elle s'effectue en remplaçant la variable x de l'équation proposée par une autre variable diminuée du coefficient du second terme divisé par le nombre qui exprime le degré dé l'équation. Soit, par exemple
l'équation dont il s’agit de faire disparaître le second terme— 5x2; nous-ferous ; parce que le-coefficient à [4
Ve Bb est négatif, æ=—y + 3, et nous trouverons
= (r+: 2) = Ji + Sr + ++ 5\2 ñ [<
5e —5(r+;) — ef 1
17) Æ ss — x 7) ce qui nous donnera, en prenant les sommes des coefficiens, ; 26 232
S'il s'agissait de faire disparaitre le troisième terme de l'équation générale (a) , il faudrait poser
m ne
+ Dans u +A,=0 et l’on aurait ainsi une équation du second degré à résoudre pour obtenir la valeur dé v.. La disparition du troisième terme conduirait de même à une équation du troisième degré ; et, en général, celle du terme affécté de la puissance æ—" à une équation du degré nr. De sorte que si l’on voulait faire disparaître le dernier terme, où aurait à résoudre une équation du même degré que la proposée.
