Transformer une équation en une autre dont les

. racines soient plus grandes ou plus petites que celles de la proposée, d'une quantité donnée.

Cette transformation s'effectue de la même manière que la précédente, car il est évident que si à la place de x dans l'équation générale (a) on substitue y Hd, d étant une quantité déterminée, on obtiendra une équation en y dont chaque racine différera d’une des racines de l’équation (a) dela quantité + 4, Proposons-nous , par exemple, de transformer l'équation

TR 565 x? — 5x? + 8x —4 — 0

en une autre, dont lés racines soient plus petites que l'unité. Posons x = ÿ + Le La proposée deviendra

Gi) 57 + 17 +S(y HD 0,

et l'on obtiendra, après avoir développé les binomes et ordonné par rapport aux puissances de y,

PP +r= 0;

équation dont une racine et, évidemment y — 0. En divisant par y, il reste l'équation du second degré

dont les racines sont y = 1ety 1. Ainsi les trois racines de la transformée sont 0, 1 et 1, et par conséquent celles de la proposée 1, 2 et 2.

3. Transformer l'équation générale (a) en une autre dont Les racines soient un multiple ou un sous-mulliple déterminé de ses racines.

Dans le cas du multiple, soit g le facteur donné. Po-

sons gx — y d'où x—" et substituant © à la place de

æ, l'équation (a) devicudra

CTI PE de

D on +A } gi

gs ne etc. Ar do 2 Àm = ©

"qm—2

multipliant tout par g”#, l’équation demandée sera

PH Are QUI An GYM À etc... Am. qi et y | + Ang = 0

Les racines de cette dernière , divisées pat g , donneront celles de l'équation (a).

Dans le cas du sous-multiple, q étant toujours le

L x 1 facteur donné, posons : =}, d'où æ= 4y,et nous

obtiendrons , en substituant , gym + Ag ip À ,qgm—iym—2 Let c...Am—1q) + Am = 0

qui, étant divisée par 9”, donne ha transformée

A: JA A Am 2! — Er ie m—1, SEE per lutte FD Pete SVT 9m a Le

Les racines de celle-ci multipliées pâr g feront connaître celles de la proposée.

4. Transformer l'équation (a) en une autre dont les racines soicni de signes contraires.

Pour opérer cette transformation, il suffit évidemment de faire x = — y, car l'équation en y aura pour racines négatives les racines positives de la proposée et vice versa. Mais en substituant — y à la place de x, les termes affectés des puissances impaires de — y chaugeront seuls de signe. Ainsi il est facile de voir que pour rendre négatives les racines positives d’une équation proposée , et positives ses racines négatives, il faut simplement changer les signes des termes affectés des puissances impaires de x. Si l’on avait par exemple l’équa-

tion xŸ— 4x + 3x — 8x +9—=0,

en donnaut le signe — aux termes qui renferment des puissances impaires de æ , on aurait une trans-

formée — x + 4x + 3x + 8x+9—o

dont les racines seraient égales, mais de signes contraires à celles de la proposée. Comme en changeant tous les signes l'équation ne varie pas, cette dernière est la

même chose que

D'où l’on voit que lorsque l'équation est de degré impair on change le signe de ses racines en changeant le signe de ses termes affectés des puissances paires de x. On doit alors considérer le terme absolu comme affecté de x°.

Nous avons employé plusieurs autres transformations

aux mots EziminaTion, Equarion et Racine.