AN.BC

MN = NO .: C0 AN.sc

Avant donc mesuré les cinq lignes NO, AN, BC, AC, BO, et calculé la longueur de MN, on prendra , sur l'alignement de ON , cette longueur deN enM,etle point M ainsi déterminé sera sur l'alignement de AB. Un secoud point du même alignement, déterminé de la même manière, permettra donc de prolonger AB audelà de l'obstacle.

13. Nous devons nous borner à ces exemples d’application qui donnent une idée suffisante de tout le parti qu’on peut tirer des transversales ; mais nous regrettons de ne pouvoir signaler l'extrême facilité avec laquelle la considération technique de ces lignes fait découvrir certaines propriétés des figures géométriques , qui exigent des considérations théoriques très-compliquées. Nous ne pouvons également nous occuper ici des transversales curviligres pour lesquelles on doit recourir aux ouvrages de Carnot : Géométrie de position et Essai sur la théorie des transversales. On doit à MM. Servois et Brianchon des applications très - ingénieuses des transversales rectilignes. MM. Chasles et Lamé se sont servis des transversales pour démontrer les propriétés des surfaces du second ordre ; et l’on trouve enfin dans le Journal de l'Ecole Polytechnique et dans les Annales des Mathématiques un grand nombre de questions dont la solution atteste la fécondité et la simplicité des procédés techniques qui résultent de l'emploi de ces lignes. (Voy. ces ouvrages et l’ Application de la théorie des transversales, par Brianchon, ainsi que les Solutions peu connues de différens problèmes de géométrie pra-

tique, par M. Servois. )

TRANS VERSE. On nomme AxE TRANSVERSE, en ge0métrie , Vaxe principal d’une section conique , celui qui passe par le foyer de la courbe. Dans l’ellipse, c'est le plus grand des diamètres, dans l’hyperbole c’est le plus petit. Dans Ja parabole il est, comme tous les autres diamètres, indéfini en longueur.

TRAPÈZE. (Géom.) C’est un quadrilatère qui a deux côtés parallèles. (Foy. QuaDriLATÈRE et AIRE.)

TREUIL ou TOUR. (Méc.) Machine composée d’un cylindre et d'une roue qui ont le même axe et qui font corps ensemble. (PL. 12, fig. 3.) L’axe commun a ses deux extrémités placées sur des appuis E, F. Autour du cylindre s’enroule une corde D à laquelle est attaché le fardeau qu’on veut élever. On imprime à la roue À un mouvement de rotation sur l'axe ; elle fait tourner le

cylindre , la corde s’enveloppe, et par-là on élève le fardeau. Le mouvement est donné à la roue soit à l’aide d’une corde qui est enveloppée sur cette roue et qu’une puissance tire , soit à l’aide de chevilles, comme dans la figure, dont on la garnit, et auxquelles on applique des forces. Quelquefois au lieu de roue on se sert de deux leviers qui traversent le cylindre.

L’axe du cylindre peut être indifféremment horizontal comme dans le weuil proprement dit, la grue (PI. 12, fig. 4), ete, ou‘vertical, comme dans le cabestan (PL. 12, fig. 5); les conditions d’équilibre sont toujours les mêmes. Pour reconnaître ces conditions, dépouillons le éreuil de tout appareil extérieur et ne considérous qu’un cylindre AB (PI. 30, fig. 1.), dont l’axe repose sur des appuis À et B et qui porte une roue 7». La résistance Q ou le fardeau à soulever sera appliqué à la corde 2Q qui s’enroule sur le cylindre , et la puissance P sera appliquée à la corde 2P qui s’euroule sur la roue. On voit que la puissance et la résistance tendent à imprimer au cylindre deux mouvemens en sens inverse , et que ces deux forces agissent comme si elles étaient appliquées chacune directement à l’extrémité d’un bras de levier dont la longueur est égale, pour la résistance, au rayon du cylindre, et pour la puissance, au rayon de la roue. Il est donc facile de conclure, d'après la théorie du levier, que, pour qu'il y ait équilibre, la puissance doit £tre à la résistance comme le rayon du cylindre est au rayon de la roue. Ainsi l'effet utile de cette machirie est d'autant plus grand que le rayon de la roue est plus grand par rapport à celui du cylindre.

Mais, pour tenir compte des frottemens qui sont assez considérables dans le treuil, soit A un tourillon (PI. 39, fig. 15) tournant dans le palier MN, et R7n la résultante des pressions quis'exercent sur cetourillon. Par l'effet du mouvement de rotation, le tourillon se place daus le palier de manière que la tangente »2P, au point de contact, fait avec R2 un angle égal au complément de l’angle du frottement ; de sorte qu’en désignant par JS le rapport du frottement à la pression , on a

Tee I tang.pmR = =, sin pnrR=——-.

5h Vi +:

La pression normale exercée en #1 sera donc ht Vi+:

p désignant le rayon du tourillon; et la résistance du frottement dirigée suivant la tangente pm sera

nf p.

Vi:

laquelle doit être introduite dans le système avec les

TR

autres forces qui se font équilibre autour de l’axe A du tourillon.

L'application de ces considérations au treuil peut servir d'exemple pour le calcul de l'équilibre dansles machines de rotation. Reprenons done le treuil de la fig. 1, PI. 39, et désignons par

R, le rayon delaroue mm,

r, le rayon du cylindre,

e et p', les rayons destourillons A etB,

d, le diamètre de la corde soutenant le poids Q ,

P; la distance mA ,

g, la distance »A,

7, la longueur AB du cylindre,

à, l'angle de la direction de la force P avec la verticale,

M, le poids du cylindre et de la roue, dont le centre de gravité est supposé dans l’axe du treuil,

g, la distance de ce centre de gravité au tourillon A,

N et N'les efforts exercés respectivement sur les tourillons A etB,

0 et 6’, les angles des directions de ces efforts avec la verticale.

n,n'et p les constantes qui entrent dans l'expression de la résistance des cordes et que l’on détermine par expérience pour chaque espèce de corde. (Joy. Conpe.)

JS, le rapport du frottement à la pression.

Faisons en outre, pour plus de simplicité,

Ceci posé , décomposons d’abord toutes les forces en d’autres qui leur soient parallèles et qui soient appliquées à chaque tourillon. Puis décomposons chaque force fournie par P en deux autres, l’une horizontale et l’autre verticale. Nous aurons de cette manière :

force verticale appliquée en À

=M.TE+Q. PE .c0s à force horizontale appliquée en À —P Er .SinA, d force verticale appliquée en B =M.$4+Q.T+ PP cos a

force horizontale appliquée en B

=.P ,sina

TR D'où nous tirerons N= ; V{IM(8) +Q (9 +2M (8) +Q (gl. P(lp).cos à HP (pr } N'=; V{IMe+Qsl +2[Mg+Qg].P.cosx + P:p° }

P(Z—p}sina Tr aN nor re P.p.sina sin 0 — ANTT

En outre l'équation d'équilibre du treuil sera de. s PR = Qr+/f' (No No) ++ n'Q)

laquelle donnera la valeur de P, après qu’on aura remplacé N et N° par leurs valeurs tirées des expressions précédentes.

Si les rayons des deux tourillons pet p' sont égaux, ces formules se simplifient et l’on peut se dispenser, pour évaluer l'effet du frottement , de calculer séparément les pressions N et N'. La somme de ces pressions est

NN = {MH Q 20 + Q) P. cos à + P° |

et l'équation d'équilibre devient

PR = Qrtp JV {M Q ME QP. cosx-P'} +T mn Q

Dans le cas où la force P serait verticale, on aurait À —= O0 et cos À