L’équation d'équilibre devient

alors PR Qrt-p.f' (M4 Q+P) + T (nr Q

C’est en négligeant les effets du frottement et ceux de la raideur des cordes qu’on a simplement

PR =Qr),

c’est-à-dire, la proposition que la puissance est à la résistance comme le rayon du cylindre est à celui de la roue.

Dans cette machine on peut, comme nous l’avons dit, augmenter autant qu'on voudra l'avantage de la puissance sur la résistance , en faisant croître le rayon de la roue sans augmenter celui du cylindre. On peut encore produire le même effet en employant plusieurs treuils liés entre eux par des cordes qui aillent de la

roue de l’un au cylindre de l’autre. Dans ce cas, en faisant abstraction des frottemens , il est facile de voir que pour qu’il y ait équilibre la puissance doit être à la résistance comme le produit des rayons de tous les cylindres est au produit des rayons de toutes les roues.

Au lieu d'employer des cordes, on peut encore, pour lier les treuils, füre usage d’un autre moyen qui ne change rien aux conditions d'équilibre. On arme la circouférence de chaque roue de dents saillantés également espacées , et l’on creuse dans chaque cylindre des rainures capables de les contenir. Puis où rapproche les treuils de manière que les dents des roues engrèvent dans les rainures des cylindres, de sorte qu’en faisant tourner l’un des treuils sur son axe tous les autres soient inmis en mouvement. Un tel système prend alors Ie nom de roues dentées , et lou donne celui de pignons aux cylindres. Les figures 4 et 10 de la planche 17 représentent des systèmes de roues dentées. Dans tous les systèmes semblables, a puissance est à la résistance comme le produit des rayons de tous Les pignons est au produit des rayons de toutes les roues.

Voyez, pour la théorie des engrenages, le Traïte clémentaire des machines de M. Hachette, le tome 4 du Cours de Mathématiques de Camus , et le tome r de l'Architecture hydraulique de Bélidor.

TRIANGLE, (Géom.) Figure limitée par trois droites ou côtés qui se coupent deux à deux.

Si les trois côtés du triangle sont des lignes droites, ou le nomme triangle rectiligne; s'ils sont des lignes courbes, triangle curviligne; et enfin triangle mixtiligne si Les uns sont des lignes droites et les autres des ligues courbes.

Les triangles formés sur la surface de la sphère par l'intersection de trois de ses cercles prennent le nom de triangles sphériques.

La théorie des triangles rectilignes étant une des parties les plus importantes de la géométrie, nous allons présenter ici son ensemble.

1. Les triangles, comme toutes les autres figures géométriques, doivent être considérés sous le rapport de leur construction ou de leur géneration et sous celui de leur relation réciproque ou de leur comparaison. Le triangle rectiligne, en général, est une étendue plane terminée ou circonscrite par trois droites qui se coupent deux à deux. Ces trois droites se nomment les côtés du triangle, et comme deux droites qui se coupent forment un angle il en résulte qu’un triangle a trois angles ; c’est de cette circonstance qu'il tire son nom,

Dans tout triangle il y a donc six choses distinctes : trois côtés et trois angles; et la différence qui existe entre un triangle et un autre triangle ne peut résulter que de la différence de leurs côtés ou de leurs angles,

574 TR Les divers rapports que peuvent avoir respectivement entre eux les côtés et les angles d’un même triangle déterminent sa nature. Selon ces divers rapports les triangles reçoivent des dénomivations particulières. Ainsi lorsque les trois côtés d’un triangle sont égaux, on le nomme triangle équilatéral; lorsque deux seulement de ses côtés sont égaux, on le nomme #riangle isocèle; et si ses trois côtés sont inégaux, il reçoit le nom de triangle scalène. Telle est la classification des triangles considérés par rapport à leurs côtés.

Par rapport aux angles, on nomme triangle rectangle celui dont un des angles est droit; triangle obtusangle celui dont un des angles est obtus, et triangle

acutangle celui dont les trois angles sont aigus. £ & &

2.Onnomme indifféremment sommet d’un trianglele sommet d’un quelconque de ses angles ; et alors le côté opposé à cet angle prend le nom de base. La distance du sommet à la base se nomme la hauteur du triangle. Comme on mesure généralement la distance d’un point à une droite par la perpendiculaire abaissée de ce point sur cette droite, on dit encore que la hauteur d’un triangle est la perpendiculaire abaissée du sommet sur la base. On prend ordinairement pour base d’un

triangle isocèle le côté inégal aux deux autres,

3. La somme de deux des côtés d’un triangle est toujours plus grande que le troisième côté. Cette propriété est évideute et résulte de la notion primitive que la ligne droite est la plus courte entre deux points.

Les trois côtés d’un triangle n’ont point d’autre relation générale que celle d’être assujétis à cette condition. Leur somme peut être une quantité quelconque variable à l'infini, et sur une même droite on peut construire une infinité de triangles différens dont les deux autres côtés n’ont entre eux aucun rapport nécessaire de grandeur. Il n’en est pas de même des trois angles; leur somme est une quantité constante toujours égale à la somme de deux angles droits.

4. L'égalité de la somme des trois angles de tont triangle à deux angles droits est une proposition fondamentale dont nous n'avons à exposer ici que les conséquences, l'ayant démontrée ailleurs (voy. ANGLE, 8). Il en résulte, 1° qu'un triangle ne peut avoir qu’un seul angle. droit et à plus forte raison qu’un seul angle obtus; ° que les trois angles d’un triangle sont counus lorsqu'on en connait deux seulement, car il suffit, pour obtenir le troisième, de retrancher la somme des deux angles connus de celle de deux angles droits; 3° que

ans.un triangle rectangle la somme des deux angles igus est égale à un angle droit. Il suffit donc aussi de connaître un de ces angles pour que l’autre soit immé.diatement connu ; 4° eufin, que lorsque deux des augles d'un triangle sont respectivement égaux à deux, des

angles d’un autre triangle, les troisièmes angles sont égaux.

5. Les propriétés les plus importantes qui résultent de la construction même des différens triangles et constituent leur nature font l’objet des théorèmes suivans.

Tuéorème. Dans un triangle isocèle les angles opposés aux côtés égaux ou, comme on le dit, les angles à la base, sont égaux.

Soit BAC un triangle isocèle dont les côtés égaux sont AB et AC.

Si avec AB comme rayon on décrit un cercle, ce cercle passera nécessairement par l’extrémité C du côté AC, de sorte que le côté BC

en deviendra une corde. Ceci posé, menons lé rayon AD qui partage l’arc BDC en deux parties égales, et concevons le cercle replié en deux sur lui-même suiyant la droite AD; l'arc DC,se confondra alors avec l'arc AD, tombera sur le point B., Ainsi, non seulement MC coïincidera avec MB, mais encore AC avec AB, puisque

et comme ces arcs sont égaux, le point G

les extrémités de ces diverses, droites se confondent. Donc l’angle ACM est égal à l'angle ABM. Donc les angles à la base d’uu triangle isocèle sont égaux. La réciproque de cette proposition se démontre sans difficulté.

7- Il résulte de cette démonstration plusieurs conséquences importantes que nous devons Signaler. 1° Puisque les deux triangles AMC,et AMB se confondent, les angles au point M, c’est-à-dire, les angles AMB et AMC sont égaux; ainsi ces angles sont droits (AnGze, 1). 2° Les angles BAM et MAC sont égaux. 3° Enfin BM est égal à MC. Donc, la droite qui partage en deux parties égales l'angle au sommet d'un triangle isocèle est perpendiculaire à sa base, et partage en outre cette base en deux parties égales.

8. Une conséquence directe du théorème précédent, c'est que les trois angles d’un triangle équilatéral sont égaux. En effet deux quelconques des angles d’un tel triangle sont égaux entre eux, puisqu ‘ils sont opposés a des côtés égaux ; ainsi les trois angles sont égaux.

9- Taéorèue. Lorsque dans ur triangle deux angles sont inégaux, le plus grand des deux est opposé au plus grand côté, et réciproquement. ‘

Soit dans le triangle ABC (P1.58, fig. 22) l'angle BCA plus g grand que l'angle BAC, le côté AB sera plus grand que le côté BC. En effet, l'angle BCA étant plus grand que l angle B AC; on peut supposer une droite, CD menée de manière à faire avec le côté AC un augle

DCA égal i à l'angle L BAC. Alors le tiaugle ADC ayant,

TR hi gl jo oct nil ‘ \ À loge deux angles égaux sera isocèle (6) et les côtés AD et CD seront égaux ; mais on à

CD -- DB => BC et, par conséquent, puisque CD — AD AD + DB > BC

donc AD plus DB ou AB est plus grand que, BC.

La réciproque devient évidente.

o. Ce qui précède est suffisant pour nous permettre d'aborder la comparaison théorique des triangles. Or, cette comparaison peut s'effectuer sous trois conditions différentes. 1° Les triangles comparés sont tels que, l'étendue de leur surface étant la même, la relation de leurs limites soit aussi la même; 2° ou bien, l’ét ndue de la surface étant encore la même, la relation des limites est différente; et 3° enfin, l’étendue de la surface étant différente la relation des limites est la même. Dans le premier cas, les triangles sont dits coincidlens ; dans le second ; équivalens, et dans le troisièmé , semblables. La coïncidence, Yéquivalence et la similitude forment .en général les trois parties de la comparaison géométrique.

11. Coincipence. Deux triangles peuvent coincider ou sont égaux lor sque trois des six parties qui les constituent et au nombre desquelles il doit se trouver au Hioins un côté Sont égales entre elles. Cette proposition générale de la coïncidence des triangles fournit les théorèmes suivans :

«19, Tuéorème. Deux triangles qui ont un angle

égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun, sont égaux dans toutes leurs parties.

.: Soient ABC etabc (P1. 58, fig. 19) deux triangles dans lesquels l'angle À ,est égal à l'angle a , le côté AB égal au côté ab et le côté AC égal au côté ac. Ces deux triangles peuvent coïncider.

Car si l’on imagine le triangle abc transporté sur le triangle ABC de manière que l'angle & se confonde avec l’angle À, alors le côté «b prendra la direction du côté AB, tombera sur le point B. De même, le côté ac prendra

et comme ces côtés sont égaux le point b

la direction du côté AG et, à cause de l'égalité de ces côtés, Le point e tombera sur le point C. Mais puisque les extrémités du côté be se trouvent ainsi confondues avec celles du côté BC, ces côtés eux-mêmes ne peuvent que coïncider, et il en résulte que les deux triangles coïncident dans toutes leurs parties. Donc ces deux triangles sont égaux ét les angles B et b, C et c ainsi que les côtés BC et bc sont respectivement égaux entre eux.