Z 1 + LK

Si l'on remarque qu’on a Q — #.(+D }.(voy. CEncLe, 31), ou © — (0,:853982).D* et, par conséquent , no —(10334Kil.,5).(0,7853382). D'—(81:16kil.,68). D"; on peut donner à l’équation précédente la forme (5)

__ (81 La LA 1+LK , none mes Soit maintenant, u le nombre des courses nécessaire

pour donner un dynamode , on aura

à — (0,001). AZ | a FRS — ] —«|

Le poids (4)

anZ a [ES - «| 72

dont l'élévation à un mètre de hauteur représente l’ef-

fet mécanique résultant d'une course du piston, corres-

: a Les pond à la dépense d’un volume + de vapeur prise à la

tension qu’elle a dans la chaudière; pour trouver le poids qui, élevé à un mètre de hauteur, représenterait l’effet mécanique résultant de la dépense d’un mètre cube de cette vapeur, il faut multiplier l’expression (4) par

mètre cube.

1 K Ti 02

et le poids cherché, désigné par P, a pour valeur (5),

P=n{(i+LkK —4K)a— ak |}

La valeur de P étant liée à celle de K., si l’on considère cette dernière quantité comme la variable indépendante , sa valeur tirée de l'équation différentielle

et substituée dans l'équation (5) rendra P un maximum (voy. ce mot). Or, en différentiant l’équation (5), on obtient

ce qui donne , en égalant à zéro (6),

Rate

aa— a"

Telle est donc la valeur que doit avoir le facteur K pour que l'effet produit soit un maximum.

Si l’on met l'équation (2) sous la forme

__anZja = ; US QE Re — (out a |

: : a ER on voit que le terme soustractif 4 + a'— > se réduit

K à zéro en y substituant à la place de K sa valeur donnée par l'expression (6), et qu’ainsi les équations (») et (3) se réduisent à

QG ZDue 1x Expressions dans lesquelles il faut donner à K la valeur (6).

On peut tirer de ces formules la règle de calcul donnée par Tredgold, dans son Traité es machines à vapeur, en prenant comme il l’a fait la minute pour unité

de temps. En effet, substituant à - une vitesse v

portée à la minute pour uvité de durée, et désignant

rap-

alors par Q' lepoids élevé à 1 mètre de hauteur dans une minute de temps, si nous désiguous de plus par d le nombre de centimètres coutenus dans la longueur du diamètre du piston , et par p la pression absolue que supporte chaque centimètre circulaire sur la paroi intérieure de la chaudière , nous aurons, parce que le nombre des centimètres circulaires contenus dans l'aire d’un cercle est égal au nombre des centimè-

tres carrés contenus dans le carré circonscrit à ce cercle, p = (okil,811668). a, pd = (8r16kil.,68). a .D*.

Le poids okl.,811668 mesure la pression d'une atmosphère sur un centimètre circulaire. Posant enfin, comme Tredgold , « = 0,4 et 4° — 1 atmosphère, et substituant ces valeurs et celles de

—= TETE" no = (okil.,8 11668). d'

dans l’équation (2) elle devient

Q' = vd p [ —0,4] — 0,81107 |

c’est la règle de Tredgold.

En observant que le nombre & d’atmosphères correspond à la pression qu’exercerait une colonne de mercure d’une hauteur — (0",76).4 , si l’on désigne cette hauteur par H, et qu’on fasse

l'équation (x) devient, en substituant ces valeurs, 1 +LK H C Le —

R (ur SE EEK)

G = 0,368) oi

formule donnée par M. Navier pour évaluer la pression moyenne du piston dans l’étendue d’une course.

La valeur du coefficieut de correction « dépend évidemment en partie du plus ou moins de perfection de la machine, aussi lui a-t-on assigné des grandeurs très-différentes. Tredgold l’a trouvé égal à 0,392 ou 0,4 en nombre rond, taudis que M. de Prony, d’après des expériences faites avec beaucoup de soin, sur une machine très-bien construite, le fait égal à 0,15. Ces évaluations , si peu concordantes, font penser à M. de Prony qu’on ne peut considérer « comme uue quantité invariable et qu’on doit toujours, dans les projets de machines, employer la relation donnée par l’équation (6).

La grande perte de force des machines actuelles, dont le produit réel ne dépasse pas la moitié de la force de la vapeur eployée, a fait chercher les moyens de substituer à leur mouvement alternatif un mouvement continu provenant d’un mouvement continu de la vapeur; mais les appareils très-ingénieux qu’on a imaginés dans ce but, tels que celui de M. Cartwrigt, et plus récemment celui de M. Dietz , n’ont point encore présenté une perfection suffisante pour les faire adopter, et l’on s’en tient généralement aux anciennes machines à piston. En 1829, M. Wronski a publié uu ouvrage sur les #2achines à vapeur, dans lequel, après avoir signalé les progrès successifs de ces machines, il annonce avoir découvert un nouveau système d'appareils capable d'amener l'emploi de la vapeur, comme moteur mécanique, à son plus haut degré de perfection. Depuis, en 1835, dans un autre ouvrage, intitulé: Mouveau système de machines à vapeur , ce savant a fait connaître les lois mathématiques qui servent de base à

VA

sa découverte. Nous ne pouvons que renvoyer nos lecteurs à ces ouvrages, qui présentent des aperçus tellement neufs sur la théorie des fluides, et sur les forces mécaniques en général, qu'il nous serait impossible d'en donner une idée exacte sans entrer dans des détails beaucoup trop longs pour la place qui nous reste.

Voyez pour la description complète et détaillée des principales machines à vapeur le tome 2 de la Nouvelle architecture hydraulique de M. de Pronv; le tome 3 de la Richesse minérale de M. de Villefosse ; le Traité des machines

à vapeur de Tredgold, traduit de l'anglais avec des notes, par M. Millet; et le Aanuel de l'ingénieur mécanicien, traduit de l'anglais, d'Olivier Evans, par M. Doolityle.

VARIABLE. (4/g.) On nomme quantités variables les quantités qui admettent plusieurs valeurs ou qui sont susceptibles de croître ou de décroître. On les appelle ainsi par opposition aux quantités constantes qui sont celles qui ne changent pas. Par exemple, dans l'équation d’une courbe telle que y? = px, x et y sont des quantités variables, parce qu’elles admettent des valeurs différentes pour chaque point de la courbe, tandis que p est une quantité constante, parce qu’elle reste la même pour tous ces points.

VARIATION DE LA LUNE. On donne ce nom, en astronomie ; a la troisième Imégalité de la lune, découverte par Tycho-Brahé. (Voy. Lune.)

VARIATION. Méruone Des variations. (A/g.) On désigne sous ce nom un Calcul particulier découvert par Lagrange, et qui forme une. des branches du calcul général des différences.

x et y étant deux quantités variables liées par une équation , que nous représenterous par y = pr, dans laquelle gx désigne une fonction quelconque dex, si l’on conçoit que la relation primitive de ces quantités change de manière qu’on n'ait plus y = 9x, mais y = Ÿxr, Ÿx étant une autre fonction de la variable indépendante x, la différence entre la valeur primitive de y et sa valeur après le changement de relation, ou Ÿr — er, estce qu’ou nomme la variation de J. On exprime cette espèce de différence par la caractéristique d, de sorte que dy siguifie la variation de y, et que l'on a

dy = Ÿx — px:

Pour rendre ceci plus sensible, considérons la demiellipse AEB (PL. 22, fig. 12) dont Fh = y est l'ordonnée correspondante à l’abscisse AF = x. En supposant que le petit axe de cette courbe croisse d’une quantité infiniment petite et que la demi-ellipse devienne ACB qui diffère infiniment peu de la courbe primitive

VA

AEB , à la même abscisse AF répondra une ordonnée FC plus grande que l’ordonnée primitive Fh, d’une quantité CA qui sera la variation de FA ou de y. Cette différentielle particulière de y ne résulte donc plus d’un accroissement de la variable indépendante à laquelle y est lié, mais du changement survenu dans la relation primitive de ces deux quantités, et il devient important de ne pas confondre l'accroissement de y produit par ce changement de relation avec celui que reçoit cette variable par suite d’un accroissement correspondant de x. Cependant on voit, en définitive, que la conception première d’une variation est identiquement la même que celle d'une différence, savoir : l'accroissement que reçoit une quantité variable. Seulement cet accroissement est déterminé comme difference, tandis qu'il est indéterminé comme variation, et c’est par cette considération, purement logique, que le ca!cul, nommé inexactement méthode des variations, consutue une branche distincte du calcul des différences,

Ne pouvant donner ici une exposition du calcul des variations, nous croyons devoir au moins faire connaitre le théorème fondamental qui lui sert de base. Reprenons donc l'expression dy = 4x — 9x, et observons que la différence 4x — yx est nécessairement une fonction dex, et par conséquent aussi une fonction de y, par suite de la liaison primitive qui existe entre ces variables : ainsi, désignant par 4 cette dernière fouction, nous aurons Ÿzr — 9x —#y,ou