ÉD

En vertu de cette loi, si nous faisons y + dy = y", nous aurous de même ,

dy = 07; et nous obtiendrons, en retranchant l'égalité (1) de cette dermère dy — dy = ÿy —0y = dôy) = ddy.

Or, dy = Xy+dy) = ày+ ddy; donc, définitivement, ddy = dûy,

c'est-à dire, «la variation de la différentielle d’une quantité est égale à la différentielle de la variation de cette quantité. »

Il est facile de conclure que l’on a généralement ddmy = dmiy et, daus le cas de m négative, ce qui change den J', DJ ny = Jrèy.

Il résulte de ce théorème fondamental qu'on peut

toujours transporter la caractéristique d après les caractéristiques d et Jet vice versa.

Le célèbre problème des ésopérimètres (voy. ce mot) a été l’occasion de la découverte du calcul des variations. Euler avait déjà généralisé la méthode des mazxmiüs, sur laquelle repose la solution de ce problème. lorsque Lagrange lui fit part des nouveaux résultats qu'il venait d'obtenir. Avec un désintéressement dont l'histoire des sciences n’offre malheureusement que peu d’exemples , non seulement cet illustre géomètre s’empressa de reconnaître la supériorité des procédés de Lagrange sur les siens, mais il ue dédaiïgna pas de les développer et de les expliquer à commencer des premiers élémens. Ce fut lui qui leur donna le nom de méthode des variations, car Lagrange, satisfai de s’être frayé une nouvelle route, n'avait donné aucune désiguation particulière à son calcul, qu’il a depuis appliqué à de hautes questions de mécanique.

Les premiers essais de Lagrange ont été publiés dans le tome II des Mémoires de Turin, 1762 ; et les développemeus d'Euler, dans les Mémoires de Pétersbourg, 1764, et dans un appendice au tome HIT de son calcul intégral. De toutes les expositions qui ont été faites du calcul des variations, la plus claire et la plus complète est celle qui se trouve dans le Traité du calcul différentiel de Lacroix.

VARIE. Mouvemenr vani£. (Méc.) On désigne sous ce nom tout mouvement qui nest point uniforme. (Vey. MouvEemMEnNT.)

VARIGNON (Pierre), l’un des mathématiciens célèbres du xvn° siècle et du commencement du xvin°, naquit à Caen, en 1654. Il étudiait la philosophie, lorsqu’un EÉuclide Jui tomba sous la main et décida de son avenir scientifique. Les ouvrages de Descartes, qu’il étudia ensuite avec ardeur, le maintinrent dans ces dispositions en lui faisant prendre en pitié la philosophie scholastique dont ce grand homme avait brisé pour toujours le joug despotique. Varignon vint à Paris en 1686 avec l’abbé de St-Pierre, dont la libéralité le mit à mème de se livrer exclusivement à ses goûts. Son premier ouvrage fut intitulé : Projet d’une nouvelle mécanique ; il eut un grand succès et valut à son auteur uue place à l’Académie des sciences et une chaire au collége Mazarin. Dans cet écrit , Varignon révèle cette tendance de son génie qui le porta à généraliser les problèmes mathématiques, et qui lui fit accueillir avec enthousiasme et l’un des premiers en France la géométrie alors nouvelle des infiniment petits. Ce savant mathématicien, dont quelques principes sur la théorie de la mécanique sont encore suivis comme une règle fondamentale dans cette branche de la science , mourut à Paris, au mois de décembre 1722. Ses autres écrits sont à peu près oubliés ; on eu trouvera néanmoins la

liste dans les Mémoires de L Academie des sciences ,

pour l’année 1720.

VECTEUR. (Joy. Rayon vECrEUR.)

VENT. Movuuixs À vent. (Mcc.) Machines mises en mouvement par l’action du vent.

Ces machines, destinées généralement à pulvériser les grains, se composent d’une rr7eule tournant dans une caisse cylindrique ; et à laquelle l'action du vent est transmise par le moven d’un volant. Ce volant est la pièce essentielle, il est composé de quatre grandes ailes revêtues de toile, et qui forment une espèce de croix qui traverse le bout de l'arbre ou axe de rotation. Le vent en frappant les ailes les force à tourner, et le mouvement se communique à la meule à l'aide de roues d'engrenage. Les moulins à vent paraissent avoir été inventés en Hollande, dans le vin® ou 1x° siècle, mais On n'a aucunes notions précises sur leur origine.

La force motrice du vent peut être également employée pour faire mouvoir des machines destinées à d’autres usages, et dans tous les cas elle est transmise à ces machines par le moyen des roues. On se sert pour cet effet de roues de deux espèces : les unes ont leur axe horizontal et parallèle à la direction du vent ; les autres ont cet axe vertical et perpendiculaire à la direction du veut. Les conditions de l’établissement de ces deux espèces de roues sont fondées sur des considérations différentes que nous allons exposer.

1. Des moulins à vent à axe horizontal. Ces moulins sont ceux qu'on emploie presque partout et qui peuvent produire les plus grands effets. La roue ou volant est formée par quatre rayons , sur chacun desquels est placée une aile qui recoit obliquement l’action du vent. La figure de cette aile est ordinairement rectangulaire. Elle est formée parune surface gauche légèrement concave, et dont les élémens forment avec l’axe dela roue ct la direction du vent des angles d'autant plus grands qu'ils sont plus éloignés de cet axe. Il est visible qu’on augmentera toujours la quantité d'action qu’un moulin pourra transmettre , en augmentant l'aire des ailes. La question qu'on peut se proposer est, en supposant l'aire des ailes ou la longueur du rayon donnée, de déterminer la figure de ces ailes et la vitesse du mouvement, par la condition que la roue transmette la plus grande quantité d’action possible. La solution de cette question est essenticilement fondée sur la connaissance de l’action d’un courant d’air sur des plaques minces, ou plutôt sur des surfaces minces légèrement concaves, qu’il frapperait obliquement ; et qui cèderaient à son action, en prenant un mouvement de rotation autour d’un axe. Comme on est eucore bien éloigné de connaître la nature de l’action dontils’agit, la recherche des lois de

VE l'établissement des moulins à vent ne peut donc être, quant à présent , qu’une recherche purement expérimeutale.

2. Pour donner toutefois une idée des notionsthéoriques les plus plausibles qui puissent être établies sur ce sujet, l’axe de la roue étant supposé dans la direction du vent, nommons :

v la vitesse du vent.

y l'angle formé par le plan de l’aile avec la direction du vent.

V la vitesse circulaire du centre de l'aile.

& Paire de l'aile.

P l'effort exercé par le vent , tangentiellement à la circonférence passant par le centre de (1.

ï le poids de l’unitéde volume de l'air.

K coefficient numérique, à déterminer par l’observation.

On aura : vitesse du vent estimée perpendiculairementia l'aile. meeniecmse see sin ?.

Vitesse de l’aile estimée dans la même GILECÉIONM es sen rrorstrste terre ee steel selles Vocoso.

Vitesse relative avec laquelle le vent frappe l'aile. ................. usinp—Vcosy.

Supposons qu'ici, comme daus le choc direct, l’effort exercé est proportionuel à Ja hauteur due à la vitesse relative ; on aura pour cet effort

ROSE RL ag

et pour la composante dans le sens du mouvement cir-

culaire,

P— Ka

d’où (vsine— V cosy): V cose) Ne - :

PV—=Kro.

Cette expression de la quantité d'action transmise doit être rendue un maximum. En faisant d'abord varier V, ou aura V= ; vtang.o, d’où PV — £ Kna ee faisant ensuite varier +, il vient ne) sing —1, d'où V =, PV — Kung; re Ainsi l’effet maximum aurait lieu lorsque le plan de l’aile serait perpendiculaire à la direction du vent et la vitesse de la roue infinie. Ces résultats, par les raisons énoncées ci-dessus, ne mériteut pas une entière confiance , quoique beaucoup moins éloignés de la vérité que toutes Jes autres considérations théoriques présentées sur le même sujet dans divers ouyrages.

2. Les résultats fondés sur l’observation et l’expérience d’après lesquels l'établissement des moulins à vent doit être fait sont principalement dus à Coulomb. (Mémoires de l'Académie des sciences, 1781), et à Smeaton (Recherches expérimentales sur l'eau et le vent, traduction de M. Girard.) Ces résultats peuvent être résumés comme il suit :

1° Figure des ailes. Les ailes étaient supposées rec-