En vertu de l’expression (d), on a généralément

ga tn — pans, p(x+mele ainsi faisant 7'—n—-p, on aura aussi

pan tntplé — paomnié, p(xHmé)utpie == qi, gértmelnt. g(ut(mn)8)p't

on trouverait de même

qaorrtut-p+-glé = pænlé, p(xtme)ne. g(æ+(m+n)£)rE. X(x-Hni-tnp)é)7

et ainsi de suite pour un nombre quelconque d’exposans, Or, si l’on fait

M=n=p=q—= etc.

FA 15 on aura, en désignant par # le nombre de ces quantités, (g)

gene — pamit, gfeHn£}n, o(at-amé)"é....

(Hume)

mais l'accroissement devant toujours être appliqué à la variable, on a évidemment, 4x étant une fonction quelconque de x,

our ë, dan Ë — (px. dr) 5

puisque le premier membre de cette égalité désigne le produit

{ex pré). .e(e-Hm—1)#)| X pr.q(x-+t). Yet (m—1)#) |

et que lesecond désigne le produit identique

(ox. Var fox +E). dx +6)... (g{x + (m—1)6).

dix (m—1)é))

d’après cette considération l'expression (g) devient premé = joxo(x mé)... .p{(x4(u—r)mé) Pré et comme la quantité renfermée entre les accolades est égale à ox2l"#, on a définitivement (4) prime — (xml) ou bien encore gum = (gain à cause de la propriété générale (pxPE)q — (pxIË)p £

qui résulte immédiatement de la construction de ces fonctions,

9. Si nous exprimons par x la faculté 9x7 nous aurons l'égalité

d’où

en désignant par le radical VA cause de l’analogic des facultés et des puissances) l'opération qu’il faut exécuter sur la faculté 4: pour remonter à sa base ox ; opération que nous pouvons nommer extraction des bases des facultés.

D'après cette notation nous avons

mi 7

\/r2" 5 = pr

10. En appliquant les considérations précédentes à l'égalité (2), elle fournit

u'mË

POMlE — pymlE \/#0 E— ox

re : n ainsi faisant mn, d'où m=—=—, nous aurons (2) EL

be —— |, nl h LE QUE — px"

et la base pourra être extraite exactement tant que g sera facteur de 7. Dans tous les autres cas la quantité

1 le paf sera une quantité érrationnelle d’un ordre supérieur. L'expression (:) nous montre l’idée qu’il faut attacher aux facultés à exposans fractionnaires.

11. 1lest faciie de voirque le produit de deux facultés radicales de même exposant et de même accroissement

donne l'identité

ml£,__ - ml£ m\f \/# \/4= dr, car en faisant mé ,__ mie, \/r— x N/ 4 — Z, on tire dx — Xnt ; dx — Znlt ; d’où (8)

px. dx — Xnr, Zn — (X.Z)"E, et par conséquent mlé 2 mess (me \/#. Yx=X.Z= ra / Ve 12. On trouverait de la même manière

UM = Ve]

et plus généralement

Ve Vel