VALLE

an Cd

Va-tbx—cz* = Les L EC V=c+acx |

Cette intégrale peut être ramenée à un arc de cercle par une autre transformation très-simple. Faisons

Nous aurons

variean= [e+o(ut 2)-d(ut OT

hs = [a+ —aw | et, par suite LE = du v'a+bz—ex: vf se 4e ]

TT — du IE LV EEE) u? ] En remarquant que cette dernière expression est de la forme

avr

4£ac

et que l’on a( Foy. n° 21)

adu

af — V/1— cu?

=A.arc (sin=au)

IN on en conclura (31) dx I L 2cu VE Var = Ve arc (sin = VE Era ; : 2cx—b — ve vs = VE -Hac

+ constante.

I 20x—b = — atr(ces re)

+- constante.

La comparaison des deux valeurs si différentes que nous venons d'obtenir pour l'intégrale de

dx Vakbx—cx*

fait connaitre quelques propriétés singulières des quantités dites imaginaires, car en désignant par # l'arc dont

le cosinus est < 2cx—b VE + jac ou, posant 2cx—b OS = ni —, VE + fac d’où

on peut donner à l'intégrale /ogarithmique la forme ( h)

= L (cosu+sinpl/—1)+C

tandis que l’intégrale circulaire est simplement

En effet, pour donner à l'intégrale (30) la forme (32),

b , mettons y ue à la place de x, elle deviendra

V=rL de

SA (- tâee

c w). V—1 +acu|

ce qu’on pourra transformer en (a)

here

Lars (pins) vi

Ainsi , puisqu'on a

2cu

VE+ac VB +ac Cr

l'expression (a) se réduit à

— COSp.,

(2cx—b}\i 7 bLac

==sin/.

VE L [VEFiae (eos + sine |

— L(Vb+ 4ac)+ = L(cosu+sing\/—1

et comme il y a un terme constant, en l’ajoutant à la constante arbitraire on obtiendra la forme (32) Nous avons donc

= Ve L (cosp-+-sinpy/—1}-C”

C” représentant la quantité constante qui résulte des constantes arbitraires des deux intégrales. Mais cette constante est zéro, car en faisant l’arc —o; il vient

cos p—1, sing—0 , et cette dernière expression donne o—0+4-C” , d'où C’=o

Nous avons donc définitivement, en multipliant les deux termes par y/e et par V/—1, l'expression remarquable (33)

pV—i=L(cosu+sinul/—1)

32. Si l’on fait dans cette expression #—1r, + étant la demi-circonférence du cercle dont le rayon est l'unité ; comme alors cosir—0 et sinir—1 ; elle devient

LrV/—1 =L(y — 1} ce qui nous donne nne des générations idéales du logarithme de la quantité dite imaginaire \/—1.

Cette même expression (33) ramène à la construction théorique des fonctions sinus et cosinus; car, e étant la base des logarithmes naturels, on a en général

eLx=u Ainsi / . Va < —— eL(cosu+sinx )=cosp+-sinp\/—1

et par conséquent

eV —1—cosutsing y —1 ( Voy. Sinus.)

33. Avant de passer à l'intégration des fonctions transcendantes, nous devons encore examiner les cas où la fonction binome

P æmdx(a+bar)r

peut devenir rationnelle; cette fonction étant d’un usage fréquent.

D'abord sons rien diminuer de sa généralité nous pouvons supposer! que les exposans 2 et n sont des nombres

entiers, car, daus le cas contraire , si l’on avait, par

exemple, Ep xs serrer x4)9, 1516 ru+st 5 la somme des fractions - et —, étant —— - ; on ferait s [74 a—2*, d’où il résulterait Ve zrudx(a bzst}

ce qui est la forme supposée. On peut aussi toujours regarder » comme positive puisqu'on transforme

Pa a dx (a+bx")

en P —2—"dz(a+-bz")7

par la substitution de la place de =.”

Ceci posé, donnons, pour plus de simplicité, la P

forme æ-idx(a-Lbær) Ÿ , à la fonction binome et fai-

:sons a+ bx"— 71 alors e (a+-bxr)7—2p et l’on trouve

LR NA

a là Lr

On obtient donc , au lieu de la différentielle pro-

posée, (34) d'a Der ne nb

: . CE , [272 qui devient évidemment rationnellelorsque — est un LA

nombre entier.

IN Une autre transformation , due à Euler , va nous faire connaître une nouvelle condition qui, à défaut de celle que nous venons de trouver, permet de réndre rationnelle la fonction binome. Posons

a+-bar = 221

d'où

SU ÉD Tu

(27—by m le

an. an ,q.2471dz an —= DE dx — = — —————— m re (27—b}" #(27—b)"

et nous obtiendrons la fonction transformée (35)

a quzp +9 ids

- - … 1 laquelle devient rationnelle si ie est un nombre

entier.

Soit , par exemple , la fonction binome,

ici m—1=5, d'où m=6; n=3, p=4, g=5; ainsi

He == — », nombre entier, Substituant ces valeurs dans n la première transformation (34), il vient

=. 28 dd = z23dx—az$dx)

7 "() EE

dont l'intégrale est

CRE Remettant à la place de 3 sa valeur \/a+ bx*, on a

donc | LÉ ad (a+ bx3)s 2 2e AV — à afa + bay CG Si la fonction proposée était 1 —$ zidr(a+ bx°)

Chtmé alorsp—1 ,g=3, n—3,m—1—4, d'oum= 5

IN m D

Sa n’est pas un nombre entier, et la première transn

: ; : nm formation ne peut être employée. Mais on a LE = dans la seconde transformation (35) on obtient

+3= 2, nombre entier; ainsi, substituant ces valeurs

æ.25dz

= (—b) expression qu’on peut intégrer par la méthode des /ractions partielles (voy. n°27) et dans l'intégrale de laquelle il faudra remettre ensuite la valeur de z, savoir :

VHS 34. L'intégration de la fonction binome dont nous uous occupons, ne pouvant s’obtenir d’une manière générale sans avoir recours aux séries, et les cas où il est possible d'appliquer l’une ou l’autre des transformations précédentes étant très limités, il est important de simplifier l'opération en la décomposant de manière à faire déperdre une intégrale compliquée d'une autre plus simple. Le procédé qu’on emploie alors se nomme ntégration par parties, et il est fondé sur la loi des diffé-

rentielles d’un produit de fonctions variables

d'{Fx fx] = Fa. dfx + fx.dFx

(Voy. DiFFÉREN CE.) L'intégration des deux membres de cette égalité donne Fx.fr = [Xz. De [Sr dx d’où

JVedfr=Fe.fe.— [pedta

Ainsi lorsqu'une fonction différentielle quelconque Jantn=: dr.Xr-

gx.dæ pourra se décomposer en PQdx, P et Q étant deux fonctions de x; si l’on peut intégrer la différentielle Qdx , en désignant par V son intégrale , on aura

JP =PV— f° Var

ce qui ramène l'intégrale générale à l'intégrale parti-

| culière ff VdP

35. Pour appliquer cette méthode, donnons à la fonction binome la forme

ann, qi dx (a+ ban p Toue 11,

EN i29

l’exposant p étant toujours un nombre fractionnaire quelconque ; faisons am=n — P,an—idx(a + bar = dV d’où { Voy. le n°19) (etre

nb(p+1) D'après la formule (36), on a am, (aHban)p+s

a an, Qu—idx (a+baxr) = HET

a+bxrp ti nb(p+i)

Représentant, pour abréger, (a+-bxr) par X, cette dernière expression deviendra

, am—n,Xp+t1 am—1 dx, XP = —— nm—n

Fi Or,ona

far. XP+1 — Jam-ndeXv x =a f'an-rde.Xr

.d (æm-n)

5 Janin: dx.XP+1

et par suite (37)

fen-rar Xr= dm Xp+i—a(m—n) f xm-n-1dx.XP b(pn+m)

L'intégrale de x"—1 dx. Xp, se trouve donc ainsi ramenée à celle de x-"—1 4x. XP ,et en opérant de la même manière, on ramenerait cette dernière à celle de am—in—1 dx. XP, et ainsi de suite.

36. Si dans la formule (37) on change #2 en mn etp en p—1, elle devient

a, XP—a(m—n) /fx"-1dx.Xp-1

b(pr+m)

Mais en observant que 1 | " am—idx, Xp f'am—idr, Xp—1,X

=afaxm-idx Xp—-1+b famtn-idx, Xp—1 On obtient (38) J'en-dexr= x.XPHpnafa"rdx PTT pri+m Seconde formule de réduction qui fait dépendre l'intégrale de æ"—1 dx. XP, de celle de xm—1 dx. Xr—1. 37. Appliquons ces formules à l'intégrale 1 dx

nous avons X—1—2?, a—1, b=—

nr tp: ;

substituant dans (37), nous w'ouverons TEEN 12

m2 am idx Vi — mi + f Vi

En vertu de cette mème expression , nous aurons suc-

am dx

cessivement

m—h fr" ds m3) V/1i—x Lie amd Ts Ve Vi x m—8 MT

etc—=elc

Substituant chacune de ces intégrales dans celle qui la précède, et remplaçant 7—1 par 2, nous obtien-

drons l'expression générale

[mt 1

m1 sfr s) = 102 = 0

cette dernière intégrale disparaît. Donc, dans le cas de m, nombre pair, l'intégrale générale dépend d’un are de cercle, ét dans le cas de rm impair, ellé est immédiatement donnée par une suite de termes algébriques.

Par exemple, pour m—5, d'où y—2, on a

= Vin /isi+ if,

+. 6 L- arc (sin — x)+C

xx Me UE Ne

rer te Vars Pa 38. Les formules (37) et (38) cesseraient d’être applica-

rire 8 bles si les exposans 72 et p étaient négatifs, car alors ces

rec 5 exposans augmenteraient au lieu de diminuer, Dans

ce cas on renverse les formules de la manière suivante :

(m3) | ym—y Où tire de (37) nr 4 Er A DT Roue aies fam-idx.Xr Ç a(m—n) (m—i)e-il-2 m—ap+i | | + matrice ÿ et l’on substitue 72 à la place de » ; il vient (39)

| en — + constante. PR et en ame D'une | am & étant un nombre entier quelconque. : .

Ainsi prenant 1 den faniéfe quevi=3e220 7 lorsque Par une semblable transformation (38) donne (40) | m est pair, et que —2p—1 , lorsque #2 estimpair; la = pmXp+ 1 {mnnp)fem1deXp+i } dernière intégrale de laquelle dépend la valeur de cette JE ER mi (pHnna

expression , sera : pour 72 pair

(m—1) 577 dx me 124 3 m el cs Vi Æ et pour 7x impair, ee xdx (mr) 2 Ve = mi ; LEE

Or, dans lé premier cas , on a (voy. n° 21) = da.

Via

et dans le second , le coefficient de l'intégrale se réduisant à zéro, puisque l’on a, (v0y. FAGTORIELLE, 2) pour

—=arc(sin — à!)

le dernier factenr de son numérateur,

Ainsi dans le cas de 72 ou de p négatifs ,onseservira des formules (39) et (40) : c’est-à-dire de (39) lorsqu'on voudra diminuer l’exposant de x , et de (40), lorsque la réduction dévra porter sur celui de X. On ne doit employer les formules (38) et (40) que dans le cas où l’exposant de X est plus grand que l’unité.

Lorsque dans l’une des formules (37) , (38), (39), (40) le dénominateur s'évanouit, la formule devient illusoire, mais alors la différentielle proposée se réduit à un monome ou à une fraction intégrable parles procédés exposés précédemment.