LAC) PT

= D + 1, nous aurons définitivement

L 4 5 r f Si, dans cette dernière; nous faisons : d'ou

prete pl, AE ga? — qu RE +"

Ainsi la proposition du numéro 4 Qué = Qt. o(xtns)pié,

se trouye démontrée pour toute valeur positive entière et fractionnaire des deux termes de l’exposant binome. 15. On prouvera de la même manière que

FA 15 9 V1 Ë . P d’où l’on tire en faisant ! — 0 mt a Le e n| FN rue, M, nl° L— —Ÿ Par)

expression qui donne la signification des facultés à exposans fractionnaires négatifs.

16. Les propriétés générales que nous venous de dé: moutrer pour les exposans entiers et fractionnaires positifs peuvent s'étendre par analogie aux exposans négatifs, mais si l’on veut en obtenir la déduction directe on peut avoir recours à des transformations très-faciles dont nous allons donner un exemple.

m étant un nombre entier ou fractionnaire, nous avons (7 et 15)

PCe my

° ed —

et, conséquemunent, ? étant aussi un nombre eutier ou fräctionnaire nous 4vons énicore

o x Uni -asun. ne A

? (x—(m né" 71

mais d'après 4 et 14

2—(mn}}rtné pu (m dns. o(x nt)" ? LT JTE s OÙ

donc

g—(n+n)|i— = — — ? Pix —{(nin, Enr, pa —n:)"}

or

Q(T—nË)E PE

I —m\# Far + (PTE)

donc en substituant , on aura encore Qa—m—n Ë — px" Ep(x—nËé)-mi

et de cette manière la proposition du numéro 4 se trouve démontrée pour toutes les valeurs des deux termes de l’exposant binome.

C’est en opérant d’une manière analogue qu’on peut s'assurer que toutes les propriétés des facultés exposées danslesnuméros précédens subsistent quels que soient les exposans entiers ou fractionnaires, positifs ou négatifs.

17. Procédons maintenant à la déduction de la loi fondamentale des facultés.

Si nous désignons par Log. gx, le logarithme na-

turel de la fonction 8æ, nous aurons évidemment

Log /@xn)=log. x-log.g (æx+-E) +... ...

—Hlog.p(æ+{rn—1)#)

16 FA et nous obtiendrons, en développant les termes du second membre de cette égaiité par la formule de Taylor,

< ‘2 d’'ognressl = (Voy. DirréReNTiEL, 34) la suite d'expressions

log. gx — log. gx.

ee 2e d’log. pr log.p(x+#) — log. gz+ T dz* ‘1.2 + etc.

re gx, d log.gx px 4£° log.p(ax+2ê)=log: gx 2 Ë Tr, de — ‘1.2 — etc.

d lo L d log.? gx OË?

log.p(x+3#) ÿ—log. Ten ET : RATE 7

dx? 1.2 etc. etc. - etc.

dlo dog. oem 1)à) — logige + Em) +TTE es ë + etc.

Ainsi désignant par M{m), la somme des nombres 0,1,2,3,4, etc. jusqu’à m—1, par M m), la somme des secondes puissances de

ces mêmes nombres et en général par Mr la somme de leurs puissances #, ou

oinon tant gr etc. .....

Nous aurons, en additionnant, — m log. gx + M(m) nn: z

GE log. ox z dx? ‘1.2

Log. (ox

+ etc.

+ M(m, ou simplement

| z2 3 Log.(pen) — A HAE, as À ete

en faisant pour abréger (mn)

A, — m log. 9x

£ d'log. ox

! A —M(mn) ru Mn, ELLE vR Pr px A3—=M{ni)s. —