LC. —7CLC

Or, e étant la base des logarithmes naturels, on a généralement e log: X — X, ainsi

TACAANE + As SET etc,

gant i— e

LA

FA

Si nous désiguons donc maintenant par f'£ l’exposant de e et par F£ la puissance elle-même ou la faculté ?x"1*, NOUS aurons

FE — ef

Mais F2 étant considérée comme une fonction de la variable £, son développement d’après la formule de

Maclaurin (Voy. DirrÉrentieL, 36) est

dF ? EE 220 td'.Bte FE E ET Æ reste

le point placé sur Z indiquant la valeur zéro qu'il faut donner à cette variable après les différentiations. Faisant donc

Ni—Fi NT Ne Te N:— LE efc: = EiG

nous aurons pour le développement de F£ ou de px"E l'expression (7) em N EN. N. En . + etc.

et il ne nous reste plus à trouver que la loi des coefficiens, c’est-à-dire la loi des différentielles successives de la fonction F£, Or de Fée

nous tirons, en différentiant (Voy. DiFrÉrENTIEL, 32) dEÉd(efr)— est dfé FE. dft;

nous aurons donc, en vertu de la loi fondamentale du calcul différentiel (Foy DIFFÉRENTIEL, 27)

dFë —FE.dfé

DFE—dF£.dfé +F£é.d'fé

DFE DFE.dfé + 24FE.d'fE + FE. df.

diFé— dFE.dfé + 3dFE.d'f54+ 3dFE.d'fE

+ FAdifE etc. — etc.

Ainsi divisant par dè,dë’,dë,etc., et faisant ä—0 après les différentiations, nous trouverons pour les coefficiens N,, N,, N,, etc., les expressions

No —#%?

dfe N, =N, dE

dfi fi RENTE NÉE

FA

dfé. fi dif N,=N,. dE + 2N,. de EN 4 d d ND +3 ND +3 NÉE dif HN etc:—=elc

La détermination des valeurs des différentielles successives de j'£, se faitsans aucune difficulté ; car puisque

ous avons

JE—As+A,EZ +AË a Fa — etc.

nous obtiendrons successivement, en différentiant les deux membres de cette égalité et en faisant £ — 0 après chaque différentiation,

et en général

Si nous remarquons en outre que lorsque £=0,ona Fi gx

nous aurons définitivement, en substituant dans les expressions (7) toutes ces valeurs, ou plutôt celles de À,, À, etc., données ci-dessus sous la marque (2), les expressions finales (p).

N, = gam N,=N,. Mn), (O9),

N, = N,. M(m).. (ES) Fe N.M(m).( © cs æ)

NN. Mn). (SELS) an (ER dlog.px + Ns. M(m),. RE) et en gén éral

No = No: M{m. CE?)

dx «Mi, (— log. D)

FA 17 PEN #2 d log + < Nos. M{m)s. RE) G—1 w—9 pus , di, log. gx +- one No, Min), Sd #)

Cette belle loi du développement des facultés est due à M. Wronski, qui l’a donnée, sans démonstration, dans la première note de sa Acfüutation de la théorie des fonctions analytiques. A suffit de se rappeler que toutes les propriétés des facultés ont généralement lieu, quels que soient les exposans entiers ou fractionnaires, pour pouvoir conclure qu'il en est nécessairement de même de leur loi fondamentale.

Nous verrons plus loin comment on évalue dans tous les cas les quantités M{m),, M{m),, etc.

19. Daus Ie cas où la fonction gx est simplement x, c'est-à-dire, lorsque la faculté peut être considérée comme une simple factorielle, on peut, en partant des relations connues

(ml) = M{m),

2(ml2) = Mn), . (mi) — M(m),

3(n13) — M{mn), .{nl2) —M{n),.(ml1)+Mim),

Ga) = Mn), (13) — Mn.) (me) + + Min). (nl) —M(m), etc. —etc.

qui existent entre les sommes de puissances M{/), et les sommes de produits (z2/n), réduire les expressions (p), en (9) re

N, = Mn),.æm-i = (mli).xm—1

Gnlr).M{n), — Mn), | am—2 1. {nm o)an-s

à Doi

N,=9 ! {ml2)Mn), — (na) M(m), + Min); | xm—3

=1.2.3 (mJ8)2

etc.— etc.

et, en général,

Nom 09 a (lu). : CHE

nous aurons donc, dans ce cas particulier,

DE = JE (mr). am—1£ (m2). am—3gs D — (m13).xm-385 LE etc.

et tel est en effet le développement que nous avons trouvé pour les factorielles. Foy. FAGTORIELLE, 14. 19. Il uous reste à déduire de la loi fondamentale des

15 FA facultés, le facteur élémentaire (voy. ce mot) de ces fonctions. Or en considérant p comme une quantité in-

finiment petite ?, l'expression (d), n° 4, devient

nl£

p(x né) L. 1g :

et la quantité 9(xn£) * est évidemment le facteur élémentaire de la faculté 9x5. Dans le cas des factorielles

on a

2 Tolé — ne (xHnépl

ainsi (nb rielle générale xr£. Il suffit donc d'appliquer à ces deux facteurs les lois respectives des fonctions dont ils font

est le facteur élémentaire de la facto-

partie pour obtenir leurs générations. Commençons par le facteur élémentaire des factorielles.

En vertu de la loi (a), (voy. FacromELLe, 14), rap-

portée ci-dessus sous la marque {g) nous avons (7)

(ane — (x+nE+ (ini). HER