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douloureuse opération qui caustrent sa mort. Le célèbre Erasme Bartholin , qui avait été le voir à Blois peu de temps avant ce triste événement, obtint de ses héritiers les lambeaux épars de ses manuscrits, et les fit imprimer en 1659, à la suite du conimentaire de Schooten ur la géométrie de Descartes. On trouve les deux écrits qui nous restent de lui dans l'édition latine Æ/zévir de cer ouvrage de notre grand philosophe : Florimundi de Beaune in Cartes geometriam notæ breves; et De æqualionum constructione et limitibus opuscula due incepta à Florimundo de Beaune, absoluta vero et post mortem ejus edita, ab Erasmo Bartholino.

BEDOS DE CELLES (pou Fraxcois). Religieux bénédictin de la congrégation de Saint-Maur, l'un des plus savans hommes de cette illustre compagnie, naquit à Caux, dans ie diocèse de Béziers, au commencement du XVIII: siècle. La gnomonique, dont les observations et les procédés ont pour base l'astronomie, avait suivi les progrès de cette science ; mais il restait néanmoins à mettre d'accord avec la pratique toutes les théories dont elle avait été l’objet. Telle fut l'œuvre Gno-

monique, où l'art de tracer les cadrans solaires. qu'il

qu’entreprit dom Bedos. Son ouvrage, intitulé :

publia en 1:60, est un des traités les plus complets et les plus savans qui aient paru sur cette partie intéressante des mathématiques. Il suffit, pour classer dom Bedos parmi les géomètres les plus distingués. Une nouvelle édition de cet écrit, considérablement augmentée de nouvelles recherches, parut en 1774.

Ce religieux, qui était membre correspondant de l'Académie des sciences, ec sur lequel il ne reste que peu de détails biographiques, mourut le 25 novembre ji: 779, dans un äge avaricé.

BEGALA ou BEGALO (A4str.). (Plus correctement ÉL-BAGHLÉH, qui signifie la J/ule.) Nom donné par quelques astronomes Arabes à la Luisante de la Lyre.

BELIDOR (BennarD Forer pr). Ingénieur et mathématicien célèbre, fils d’un officier français ; il naquit en Catalogne, pendant la campagne de 1697. On pense qu'il perdit son père au siége de Barcelonne : il est cerain, du moins, qu'il fat orphelin dès le berceau. Un ingénieur de l’armée, dont on ignore le nom, l’adopta et fit son éducation. Il annonça de bonne heure de grandes dispositions pour les mathématiques, et un goût décidé pour l'honorable profession de son bienfaiteur. Bélidor, qui s'était distingué dans ses études, devint successivement professeur à l’école militaire de La Fère et commissaire provincial d’artillerie. Ce fut en s’adonnant aux devoirs de son emploi qu’il fut amené à résoudre un problème important pour l'art militaire : celui d'obtenir, avec une moindre quantité de poudre, un effet semblable à celui produit par une plus

grande, Ses expériences eurent un grand succès, et il

fit honneur de sa découverte au cardinal Fleurv. Le

prince de Conti, alors grand-maitre de l'artillerie, fut piqué de la préférence qu’il avait accordée au ministre, et le priva de son emploi. C’est peut-être à cette injuste persécution que nous devons les nombreux ouvrages publiés par Bélidor, et dont la plupart sont encore fort estimés de nos jours. On a de Jui: E. Sommaire d'un cours d'architecture militaire, civile et hydraulique ; Paris, 1720, in-12. I. Le Bombardier francais, ou nouvelle méthode de jeter les bombes avec précision ; Paris, 1731,in-4° fig. II. Traité des fortifications; Paris, 1735,

2 vol. in-4°. IV. La Science des ingénieurs dans la conduite des travaux de fortification et d'architecture militaire ; Paris, 1549, grand in-4°. fig. V. Archiütecture hydraulique, ou l'art de conduire Les eaux ; Paris, 1937.— 2° édit. 1753, 4 vol. in-4°, fig. Cet ouvrage, fort estimé et fort recherché , renferme, sur cette partie des sciences mathématiques, des découvertes importantes qui n’ont point été dépassées depuis sa publication. Une traduction allemande de cet excellent écrit a été publiée à Augsbourg en 2 vol. in-fol., 1564-1966. VI. Nouveau cours de mathématiques à l'usage de l'artillerie ; Paris, 1757, in-4°. Il existe encore d’autres écrits de Bélidor, tels que des Traités sur le toisé et l'arpentage, et enfin un Dictionnaire portatif de l'ingenieur, qui parut en 1755, et dont Jombert a donné une nouvelle édition avec des éclaircissemens et des augmentations, en 1768.

L’incontestable talent de Bélidor, et ses hautes connaissances dans diverses parties des mathématiques appliquées, lui ouvrirent, en 1756, les portes de l'Académie des Sciences. Lorsque le maréchal de Belle-fsle fut appelé au ministère de la guerre, il s’attacha le célèbre et savant auteur de l'Architecture hydraulique et du Bombardier francais, et le nomma inspecteur de l'artillerie. [l mourut à Paris, à l’Arsenal, où il était logé en raison de ses fonctions, le 8 septembre 1761.

BÉLIER ( Astr.). Nom d’une constellation, et du premier des douze signes du zodiaque, marqué Y.. Le commencement du signe du Bélier est le point équinoxial ascendant, V'un des deux où l’écliptique coupe l'équateur. Lorsque le soleil, dans sa course apparente, sort des régious australes du ciel, et nous amène Le printemps, il traverse le point ascendant vers le 21 mars, et s'élève ensuite chaque jour en se rapprochant du pôle boréal, jusqu’à ce qu’il soit parvenu au signe du Cancer ou de l'Écrevisse; là il paraît un moment stationnaire , redescend après, en s’éloignant peu à peu du pôle, jusqu’au signe de la Balance où il quitte notre hémisphère vers le 23 septembre, en traversant le premier point de ce dernier signe, c’est-à-dire le point équinoxial descendant.

Le mouvement rétrograde des points équinoxiaux

BE ayant changé la correspondance des signes avec les constellations dont ils portent les noms ( Voyez Barance), la constellation du Bélier est aujourd'hui presque tout eutière dans le signe du Taureau. Cette constella- 3 de la

troisième grandeur, 1 de la quatrième, 2 de la cin-

tion renferme 19 étoiles remarquables, savoir :

quième et 13 de la sixième.

BÉLIER (Mec. ). Machine de guerre des anciens; elle consistait en une grosse poutre suspendue, dont ils se servaient, en lui imprimant un mouvement oscillatoire, pour produire des chocs violens qui ébranlaient et renversaient les murailles. Voyez Polybe, avec les Commentaires de Folard.

BELIER uyprauriQuEe. Machine très-ingénieuse pour élever l’eau, inventée par Montgolfier. Nous en dounerons la description et les usages

BELLATRIX (4str.). Nom de l'étoile marquée y dans la constellation d'Orion. Cette étoile, remarquable par sa couleur rougeûtre est située à la partie supérieure occidentale de la constellation.

BELLÉROPHON ( Astr.). Nom donné quelquefois à la constellation de Pégase.

BENAT-ÉL-NAACH ( Astr.). Nom donné par les astronomes arabes aux trois étoiles qui forment la queue de la grande Ourse. Ce nom a été corrompu par nos astronomes qui l’ont écrit Benet-Nasch, Benec-Nasz, et mème Jene naim.

BÉRÉNICE ( Astr.) Voyez Cneveuvre DE Béré- NICE.

BERNOUILLI. Il n’existe point dans les sciences de nom plus célèbre que celui de cette famille, qui a successivement donné aux deux derniers siècles jusqu’à huit hommes d’un génie supérieur, et dont quatre au moins peuvent étre mis au premier rang des plus grands géomètres. Tandis qu'une loi sévère de la nature permet si rarement la transmission du père au fils des talens ou des vertus, la famille Bernouilli a seule donné au monde ce noble spectacle de l'hérédité du savoir dans plusieurs générations. C’est dans l'exil que la gloire est venue tirer cette famille de l'obscurité. Établis originairement à Anvers, les Bernouilli, qui professaient la religion protestante, furent obligés, vers la fin du XVI siècle, de fuir leur patrie, abandonnée alors par l'Espagne aux frénétiques fureurs de l’infime duc d’Albe. Ils se réfugièrent d’abord à Francfort, et se retirèrent ensuite à Bâle, où on les voit de bonnc heure occuper d’inportantes magistratures dans cette république. Mais l'illustration que cette fanulle acquit dans le siècle suivant , parles travaux etles découvertes, dans diverses parties des sciences mathématiques, de Jacques et de Jean Bernouilli, est d'un ordre plus élevé; elle durera désormais aussi long-temps que la civilisation humaine conservera Îe dépôt des sciences.

Dès l'apparition sur la scène du monde savant de ces deux illustres géomètres, l’histoire de leur famille est tellement unie à celle des progrès de la science, que les événemens de leur vie n’offrent plus d’intérêt que par leur liaison avec des découvertes scientifiques, qui furent l'unique but de leur laboricuse existence. C’est par cette raison que notre intention a d’abord été d'exposer l’ensemble des travaux dus aux mathématiciens du nom de Mais sommes bientôt aperçus qu’entrainés par la marche

Bernouilli dans un récit commun. nous nous de la science, nous aurions été trop souvent obligé d'anticiper sur celle du temps, et de tomber souveut dans la confusion que la ressemblance des pré- H:0mS à Occasionnée à la plupart des biographes des Bernouilli. Nous avons en conséquence adopté la méthode généalogique qui nous a paru la plus simple et en même temps la plus propre à nous faire éviter ce grave inconvénient. Ainsi, nous examinerons successivement la vie et les travaux : 1° De Jacques I BErouiLLi; 2° de Jean I, frère du précédent; 3° de Nico- LAs [, neveu des précédens; 4° de Nicoras IT, fils de Jean I; 5° de Danrez, frère du précédent; 6° de Jean IT, également frère du précédent; 7° de Jean HE, fils de Jean Il; 8° et enfin de Jacques IE, frère du précédent. Voyez Commentarii Academiæ Petropolitanæ, tome I, et Nova. acta, etc., tome VII.

BERNOUILLI (Jacques, premier de ce nom ) naquit à Bâle le 27 décembre 1654, de Nicolas Bernouilli qui occupait une charge importante dans cette république. IL était destiné par sa famille à la chaire évangélique; mais ses dispositions naturelles l’entrainaient impérieusement vers l’étude des sciences mathématiques, quoiqu'il ne laissât point encore pressentir les succès qui l'attendaient dans cette carrière. La persistance de ces goûts, auxquels il fut long-temps obligé de se livrer en secret, triompha de l'opposition de son père, et il en obtint la permission de voyager. L’astronomie fut le premier objet de ses travaux : ilavait, dit-on, pris pour emblème Phaéton conduisant le char du soleil, avec cette devise qui s’appliquait assez bien à sa position personnelle : Znvito patre sydera verso. Heureusement cette opposition aux volontés paternelles n'eut pas pour Jacques Bernouilli des conséquences aussi ficheuses que limprudence de Phaéton. Il parcourut tour à tour la France, la Hollande et l'Angleterre, recucillant partout dans les entretiens des savans et dans l’étude de leurs productions les plus importantes, les lumières et les connaissances qui devaient régulariser les premiers aperçus de son génie; car, comme le dit Fontenelle, il avait été son seul précepteur. De retour dans sa patrie, Jacques Bernoulli publia, en 1681, son premier ouvrage qui a pourtitre: Conamen novi systematis planetarum.

Son principal but en composant cet écrit avait été

BE en rm NC de démontrer que les comètes n'étaient pas des météores, mais des astres qui obéissent à des lois qui régularisent leur marche et les assujétissent à des retours périodiques. Cette vérité, soupconnée depuis quelque temps par les astronomes, avait déjà été exposée par plusieurs d’entre eux, mais elle ne fut mise hors de doute, peu de temps après, que par les démonstrations de Newtonet de Halley, car cette première production de Jacques Bernouilli, peu digne de la célébrité qu'il acquit et qu'il mérita depuis, n’exerça que peu d'influence sur les progrès de la science. En 1652, il publia un nouvel ouvrage sous ce titre : Cogitationes de gravitate ætherts, qui, expression de la physique de son temps, n’est pas plus estimé aujourd’hui que son premier écrit. Jacques Bernouilli ne commença à occuper un rang distingué parmi les mathématiciens qu'à l'époque où, suivant les véritables inspirations de son génie, il expliqua les théorèmes les plus compliqués de la géométrie de Descartes. Il ne tarda pas alors à mettre le sceau à sa réputation ct à sa gloire, en développant avec un rare bonheur les bases posées par Leibnitz du calcul différentiel et du calcul intégral. La plupart des géomètres les plus habiles de ce temps ne virent pas à quelles découvertes importantes pouvaient conduire ces calculs alors nouveaux ; ils s’obstinèrent à confondre la méthode de Leibnitz avec celle de Barrow (voyez ce nom ), en convenant cependant qu’elle en était un.perfectionnement. On sait quelle révolution l'application de ces calcuis à la géométrie produisit dans les mathématiques. Jacques Bernoulli eut la gloire de la deviner et de la commencer par ses travaux ; mais il est juste de dire ici que son frère Jean, dont nous parlerons bientôt, mérita de lui être associé dans l’honneur de ces découvertes. L’'illustre Leibnitz, avec une sincérité digne d’un grand homme, dit Fontenelle, avoua que sa méthode, ainsi perfectionnée par les deux Bernouilli, leur appartenait autant qu’à lui.

Leibnitz avait proposé , en 1687, le célèbre problème de la courbe rsochrone, qui fixa l'attention de tous les géomètres. On croit que c’est en en cherchant la solution que Jacques Bernouilli fit le premier essai des calculs dont nous venons de parler. On sait qu’il s’agissait de déterminer dans ce problème le long de quelle courbe un corps devait tomber, afin qu'il s’éloignât d’un point donné proportionnellement au temps, et que c’est pour cette raison que son auteur lui donna le nom d’ésochrone paracentrique. Leïbnitz ne se hâta pas d’en publier la solution, et les deux Bernouilli paraissent d’abord lavoir vainement cherchée. Un peu plus tard, les efforts de Jacques Bernouilli furent plus heureux : il résolut le problème dont son frère Jean Bernouilli et Leibnitz lui-même ne firent connaître qu'après lui la solution qu'ils en donnèrent. À cette époque, Jacques

Beruouilli posa à son tour le problème de la chaïnette,

devenu non moins célèbre que celui de la courbe isochrone. Il s’agissait de déterminer la courbe que prend une chaîne, ou un fil pesant et infiniment flexible, qui est suspendu par ses deux bouts.

Nous reviendrons ici sur quelques circonstances de la vie de Jacques Bernouilli qui sont intimement liées à ses travaux mathématiques. Dans l’année où Leibnitz avait proposé son problème, il fut élu professeur de mathématiques à l’université de Bäle. Ses concitoyens ne trouvèrent pas de meilleur moyen d’honorer ses talens et son caractère. Cette récompense dans une petite république, et surtout à une époque où la science était comptée pour quelque chose, devait en effet avoir du prix aux yeux d’un homme aussi dévoué à ses progrès que Jacques Bernouilli. Alors, dit Pauteur de son éloge, il fit paraître.un nouveau talent: c’est celui d’instruire, L’extréme netteté de ses leçons, et les progrès qu’il faisait faire en peu de temps, attirèrent à Bâle un grand concours d'étrangers. Peut-être est-ce à ces travaux de tous les instans, à ces exercices spontanés, inattendus, qu’exigent les devoirs du professorat , que nous devons les recherchesles plus importantes de Jacques Bernoulli sur les sinus et sur le calcul différentiel et intégral. 11 publia en 1661, dans les Actes de Leipzig un essai ou plutôt un traité de ce calcul, où, à l’occasion d'une espèce particulière de spirale, il donne toutes les règles pour déterminer les tangentes, les points d’inflexion, les rayons de la développée, les aires, et les rectifications dans toutes les courbes à ordonnées, soit parallèles, soit convergentes. Ces recherches le conduisirent à la découverte des propriétés remarquables de la spirale lugarithmique. Jacques Bernoulli en éprouva autant de joie et de satisfaction que jadis Archimède en avait fait éclater lorsqu'il eut reconnu les rapports entre la sphère et le cylindre. On sait que le grand géomètre de l'antiquité voulut qu’on gravät sur son tombeau la figure géométrique qui attestait ainsi sa gloire et son génie. Le grand géomètre moderne désira qu’on gravât sur le sien une spirale logarithmique, avec ces mots : Eädem mutata resurgo; heureuse allusion à sa découverte et à l'espérance du chrétien, dont la vie recommence après la mort, comme la propriété de cette courbe est d’être continuellement renaissante.

En 1699 , l’Académie des sciences de Paris, usant de la liberté que lui laissait un nouveau réglement, de choisir huit associés étrangers, s’honora en y appelant, à l'unanimité des suffrages, Jacques Bernouilli et son frère. Is furent également associés en 1701 à l’Académie de Berlin, récemment fondée, et qui se trouvait alors sous la direction de Pillustre Leïibnitz.

Nous n'avons point eu l'intention d’exposer ici, même d’une manière fort restreinte, les travaux si nombreux ctsiimportans dans la théorie et l'histoire dela science, de

Jacques Bernouilli, cette énumération nous entraîtierait trop loin. Lenomde cecélèbre géomètre, souventrappelé dans divers articles de ce Dictionnaire, y sera souvent encore cité dans ceux qui sont spécialement consacrés à expliquer ses découvertes. Nous nous bornerons à dire qu’il a embrassé en homme de génie les parties les plus élevées des mathématiques, qui doivent à ses travaux leur développement et leurs modernes progrès : il a eu l'honneur de publier la première intégration d’une équation différentielle; et la découverte du calcul des variations, par Lagrange, est due sans doute à la solution qu'il donne du problème des isopérimètres dont nous allons parler à l’article de son frère Jean. Enfin, Jacques Bernouilli fut naturellement amené par ses profondes études du calcul différentiel, à concevoir tout ce qu’on pouvait attendre du calcul des probabilités, que Pascal et Huygens n'avaient encore considéré que par rapport aux chances des jeux. Il reconnut que ce calcul pouvait s'appliquer à de hautes questions sociales. Mais il n'eut pas le temps de réunir ses travaux dans cette partie des mathématiques sous la forme de traité; cette gloire fut réservée à Nicolas Bernouilli, son neveu.

Jacques Bernoulli, suivant Fontenelle et la plupart de ses biographes , était d’un tempérament bilieux et mélancolique, caractère heureux sous quelques rapports, puisqu'il donne plus que tout autre l’ardeur et surtout la constance nécessaire pour accomplirles grandes choses. Cette disposition particulière le voua à des études assidues et opiuiâtres. Dans toutes les recherches auxquelles il se livra, sa marche était lente, mais sûre. L’habitude des succès ne lui avait point inspiré une orgueilleuse confiance; il ne publiait aucun travail qu’il ne l’eût plusieurs fois et successivement soumis à un minutieux examen, tantilredoutait le jugement du public, malgré là vénération que ce public avait pour lui! Quand on songe avec quelle légèreté on jette aujourd’hui dansle monde de nouvelles idées, combien ne doit-on pas regretter les habitudes des savans respectables qui nous ont précédés dans la carrière, et dont les travaux étaient, pour ainsi dire, empreints de l’austérité qui distinguait leurs vertus privées. Les travaux continuels de cet homme célèbre, causés par les devoirs du professorat qu'il remplissait avec un rare dévouement, par l’avidité de savoir et d'acquérir, et peut-être aussi la joie de ses succès, le rendirent sujet de bonne heure à une grave affection goutteuse. Les derniers accès qu'il eut à éprouver de cette cruelle maladie le firent enfin tomber dans une fièvre lente, dont il mourut le 16 août 1705, ägé seulement de 5r ans. Il s'était marié à l’âge de 30 ans, et il laissa de son union un fils et une fille. Voici sous quels titres il faut chercher ses ouvrages : I. Jacobi Bernouïlli bastleensis opera: Genève, 1944, in-4°, 2 vol, IL, Jacobi Bernouïlli ars conjectandi, opus

posthumum , accedil tractatus de seriebus infinitis. Bâle, 1713, in-4°, un vol. La première partie de cet ouvrage a été traduite en français, par L. G. T. Vastel. Caen, 1801, in-4°.

BERNOUILLI (Jean I), frère du précédent, naquit à Bâle. le 27 juillet 1667. Il fut, comme son frère, destiné à une carrière pour laquelle il n’éprouvait qu'un dégoût invincible. Cette circonstance qu’on voit souvent se reproduire dans la vie des hommes les plus célèbres, quelle que soit l’époque où ils ont apparu sur la scène du monde, accuse dans l'éducation sociale un vice profondément enraciné. Lorsque le jeune Bernouilli eut terminé ses études, il fut envoyé par son père à Neuchâtel pour y apprendre à la fois la langue française et le commerce. Mais le goût qu'il ne tarda pas à manifester pour les sciences, l’enleva bientôt à des occupa- Ligps auxquelles il ne s'était livré qu'avec répugnance. Les mathématiques furent aussi l’objet vers lequel l’entraipa la voix du génie. I] fut d’abord le disciple de son frère. Ses progrès furent rapides sous un tel maitre, dont il devint en peu d'années le collaborateur, et ensuite le compagnon de gloire. L'esprit élevé, mais inquiet ct jaloux, de Jean Ber nouilli, le guida de bonne heure dans le vaste champ des découvertes, où il acquit une renommée que Les nombreux travaux de sa longue vie ont confirmée de Ja manière la plus glorieuse ct la plus éclatante.

| Les deux frères, qui suivaient la même carrière en généreux émules, y devinrent enfin riYaux ; et il est triste de dire que, dans la lutte souvent animée à laquelle ils se livrèreut, le caractère de Jean Bernoulli ue par ut pas toujours exempt d’amertume et d'i injus tice. On sait que Jean Bernouilli se montra, comme son frère, un aident promoteur des calculs nouvellement exposés par Leibnitz, et dont nous avons parlé à l’articie biographique de Jacques. A l’aide de ces calculs, Jean Bernoulli résolut un grand nombre de problèmes fort difficiles, agités parmi les géomètres de ce temps; et ses travaux dans ce genre servirent activement à l’avancemént de la science. On trouve dans les Actes de Leip- t zig béancoup d’écrits de ce savant géomètre ; ils renferment une foule de découvertes qui toutes ont été fort utiles au perfectionnement du calcul intégral. Au nombre de ces travaux qui ont mérité à Jean Bernouilli une illustration si belle, il en est qui exigent, par leur importance, une mention spéciale, tel est, par exemple, le calcul exponentiel, dont l'idée créatrice appar tient il est vrai à Leibnitz, mais qui peut néanmoins étre regardée comme une découverte de Jean Bernouilli. Ce fut en 1697 qu'il en publia les premiers essais, Aux procédés pour différencier et intégrer les fonctions à exposans variables, qui sont l'objet de ce calcul, il ajouta la méthode pour intégrer les fonctions rationnelles,

Nous avons déjà dit que l’histoire des géomètres du nom de Bernoulli, et surtout celle de Jacques et de Jean, serait l'histoire de la science même : nous ne pouvons dans ces notices qu'indiquer seulement les principaux travaux de ces hommes célèbres, surtout quand ils se rattachent à des circonstances de la vie privée, que le biographe nesaurait passer sous silence. Ainsi, nous parlerons rapidement des problèmes connus sous le nom de brachystocrone et des isopérimètres, parce qu'ils ont donné lieu à des faits qui doiventservir à nous faire connaître le caractère de ces grands géomètres. C'était alors l'usage parmi les savans de s'adresser mutuellement des espèces de défis, où le vaincu succombait sans honte, vu le vainqueur, heureux des applaudissemens publics, ne songeait qu'à la gloire. Ces pacifiques combats tournaient tous à l’avantage de la science, et caractérisent ce XVHI° siècle si grand dans Fhistoire des progrès de l'humanité, et qui en forme pour ainsi dire les temps héroïques. Jean Bernoulli, peut-être un peu trop fier de ses talens, susceptible, emporté, donna et reçut un assez grand nombre de ces cartels scientifiques. Parmi les problèmes les plus remarquables qu’il soumit aux géomètres ses émules, celui de la plus courte descente mérite surtout d'être cité. Deux points qui ne sont ni dans la même perpendiculaire, ni dans la même horizontale, étant donnés, il s’agit de trouver la ligne le long de laquelle un corps roulant de l'un à l’autre y emploierait le moins de temps possible. Bernouilli donna à ce problème le nom de brachystocrone, nom dérivé du grec, et qui signifie le temps le plus court (voyez ce mot). C'était un de ceux que l’illustre Galilée avait vainement tenté de résoudre. Tous les géomètres de l'Europe s'en occupèrent alors: Leibnitz, Newton , Jacques Bernouilli, le marquis de L’Hôpital envoyèrent des solutions ; Jean Bernoulli après avoir prorogé le délai de six mois qu'il avait accordé, en donna deux solutions qui ajoutèrent à l'honneur qu'il avait acquis en proposant une découverte si curieuse et si difficile.

Il était professeur de mathématiques : à Groningue,

tandis que son frère honorait la même chaire dans leur patrie commune. Une émulation vive se mit entre les deux frères, dit un célèbre écrivain contemporain x émulation fomentée encore par leur éloignement qui les réduisait à ne se parler presque que dans les j journaux, et qui était propre à entretenir long temps entre eux le malentendu, s’il en pouvait naître quelqu’ un. Enfin l'aîné ramassant toutes ses forces, lança pour ainsi dire un problème qu'il adressait non-seulement à tous les géomètres, mais aussi à son frère en particulier, lui promettant même publiquement une certaine somme s'il le pouvait résoudre. Jean Bernouilli le résolut, et même assez promptement ; mais il donna sa solution saus analyse, Ce problème est célèbre, comme nous

220 BE Vavons déjà dit, sous le nom des ssopérimètres. I] s'agissait de trouver d’une manière générale, entre une infinité de courbes qui ont le même périmètre, ou la même longueur, celles qui, dans certaines conditions, renfermaient les plus grands ou les plus petits espaces, ou, en faisant une révolution autour de leur axe, produisaient les plus grandes ou les plus petites superficies, ou les plus grands et les plus petits solides. Jacques Bernouilli trouva la solution de son frère différente de la sienne , et il demanda à voir l'analyse pour connaître la cause de cette différence. Telle fut l’origine de la division qui régna depuis lors entre les deux frères. TL résulte de l'opinion de tous les contemporains, que dans ce triste démêlé Jean n'eut raison ni pour le fond ni pour la forme, et qu’il opposa à la modération de son frère Jacques une äâpreté et une véhémence qui n'honorent point son caractère. Jean montra la même susceptibilité et la même irritation avec un grand nombre de savans dignes d’estime, tels que Taylor, Côtes et Keil. FH accueillit même d’une manière peu encourageante les succès de son fils Daniel et, loin de voir en lui un digne successeur , il fut profondément affecté de partager avec lui, en 1734, le prix proposé par l’Académie des sciences, sur la théorie des déclinaisons des planètes. Cependant on a remarqué avec raison que, malgré ces faiblesses, Jean Bernouilli, dont les travaux sont si dignes de l'estime et de la reconnaissance de la postérité, ne repoussa pas toujours le mérite. Il conserva en effet une constante amitié au grand Leibnitz, placé encore plus haut que lui dans l’opinion publique. Il accueillit avec empressement les premiers essais d'Euler, dont il fut le maître, et prouva quelquefois qu'il savait mettre de la politesse dans la discussion , malgré la violence qu’il apporta malheureusement dans ses démêiés avec son frère, auquel aurait du l’attacher la reconnaissance que le maitre doit inspirer à l’élève. Jean Bcrnouilli a été membre de l’Académie des sciences de Paris, de celles de Berlin, de Saint-Pétersbourg, de la Société royale de Londres et de l’Institut de Bologne. Il était professeur à Groningue depuis l'année 1605. Après la mort de son illustre frère, il vint le remplacer, en 1705, dans la même qualité, à l'université de Bäle,

où il est mort à l’âge de 80 ans, le 1°°

janvier 1748.

On trouve dans les Mémoires de l’Academie des sciences de Paris, dans les Acta eruditorum de Leipzig, et dans toutes les coltections littéraires et savantes du temps, la plupart de ses productions qui furent recueillies sous ses yeux, à Genève, par le célèbre Cramer, en 1742, et publiées sous ce titre : Johann Bernoutilli opera omnia. Lausanne et Geuève, 1742, in-4°, 4 vol. On doit y joindre sa correspondance avec Leibnitz, Got-Gul, Leibnitzi et Johan. Bernouilli,

commercium plilosophicum +1 mathematicum. Van-

intitulée :

sanne et Gonève, 1745, in-4°, 2 vol. Jean Bernouilli s'est aussi occupé de physique, de théologie et même de poésie; mais nous n’avons point à apprécier son mérite sous le rapport de ces divers travaux.

BERNOUILLI { Nicoas [), neveu des deux précédens, naquit à Bâle, le 10 octobre 1687. Il suivit également la carrière des sciences, et cultiva surtout les mathématiques; mais les succès qu’il y remporta n’ont pu, malgré son rare mérite, le placer au même rang que ses illustres parens. Nicolas Bernouilli a été l’éditeur de l’Ars conjectandi de son oncle Jacques, et il a résolu d’une manière brillante plusieurs des problèmes proposés par Jean Bernouilli. Il est juste de remarquer que le germe de la théorie des conditions d’intégralité des fonctions différentielles, se trouve dans la solution de l’un de ces problèmes. Il a successivement professé à Padoue les mathématiques et la logique, et la science du droit à Bâle. Membre de l’Académie de Berlin, de la Société royale de Londres et de l’Institut de Bologne, Nicolas Bernouilli est mort à Bäle, le 29 novembre 1759. Ce géomètre n’a point publié d’écrits séparés. On trouve quelques morceaux de lui dans les œuvres de Jean Bernouiili, son oncle, dans les Acta eruditorum de Leipzig, et dans le Giornale de’ Letterati d'Italia. BERNOUILLI ( Nicozas IT), fils aîné de Jean Bernouilli, naquit à Bäle, le 27 janvier 1605. Il hérita, sinon des talens, au moins dés heureuses dispositions que son père avait montrées des l’enfance pour les mathématiques. Objet des prédilections paternelles , il put, dès l’âge de seize ans soulager Jean Bernouilli dans sa correspondance avec les savans. On sait au reste peu de choses sur ce géomètre, dont le nom se perd dans les rayons de gloire qui environnent celui de son père. En 1925, il fut appelé à Saint-Pétersbourg, avec son jeune frère Daniel, pour y professer les mathématiques. Une maladie cruelle l'enleva tout à coup dans cette ville à la science et à sa famille le 26 juillet 1726. Les œuvres de Jean Bernouilli et les Acta eruditorum de Leipzig contiennent quelques-uns de ses mémoires sur diverses branches des sciences mathématiques. BERNOUILLI (Daxier), second fils de Jean Bernouilli, géomètre célèbre et digue de son nom, naquit à Groningue, le 9 février 1760. Par une étrange bizarrerie, sa famille voulut le destiner au commerce; mais il ne montra pas plus de goût que son père n’en avait montré lui-même pour cette profession. Il parut plus disposé à étudier la médecine, science dans laquelle il prit le grade de docteur. Au milieu de ses études, ses dispositions naturelles pour les mathématiques , dont son père lui avait donné des leçons, se manifestèrent avec force. Il continua néanmoins, en Italie, sous Michelotti et Morgagni, à étudier à fond: les diverses bran-

ches de la médecine, et il ne tarda pas à prendre part aux

discussions des géomètres, et à s’acquérir une brillante réputation. Il refusa à vingt-quatre ans la présidence d’une Académie nouvellement fondée à Gênes, et accompagna son frère à Pétersbourg, où il professa les mathématiques. Il quitta cette ville en 173, revint se fixer dans sa patrie, où il occupa successivement une chaire d'anatomie et de botanique , de physique et de philosophie spéculative. C’est là qu’il s’occupa de la mécanique, dont il démontra les principes fondamentaux avec plus de précision et de rigueur qu'on ne l'avait essayé jusqu'alors. Son Traité d'hydrodynamique est fort estimé, bien qu’il soit fondé sur un principe indirect, celui de la conservation des forces vives : c’est en effet le premier ouvrage qui ait été publié sur ce sujet aussi difficile qu'important.

Daniel Bernouülli, doué d’une rare sagacité, et remarquable par son assiduité au travail, s’est rendu célèbre par les nombreux mémoires académiques qu’il a publiés. Ses biographes citent parmi les sujets qu'ilatraités, et qui offrent des applications utiles et des résultats piquans par leur singularité , ses recherches sur l’inoculation , sur la durée des mariages, sur le milieu pris entre des observations, sur la détermination de l'heure à la mer lorsqu'on ne voit pas l'horizon. Il a également traité d’une manière fort remarquable deux questions d'astronomie physique: la première, concurremment avec son père, sur l'inclinaison des orbites planétaires; la seconde, sur le flux et le reflux de la mer. Il partagea le prix proposé pour la première, en 1734, avec son redoutable rival; et celui de la seconde, en 1740, avec Euler, Maclaurin, et un autre-personnage dont le nom n’est pas connu. C’est à l'occasion du concours de 1734, que Condorcet s’exprime ainsi, dans son éloge de Daniel Bernouilli : « Jean, dit-il, ne vit dans ce fils qu’un rival, et dans son succès qu’un manque de respect qu’il lui reprocha long-temps avec amertume. » Le célèbre écrivain dont nous venons de rapporter quelques paroles , a exposé avec l'élégance et la précision qui caractérisent son talent, les tœavaux et la marche de l'esprit de Daniel Bernouilli. 11 fut associé étranger à l'Académie des sciences de Paris, et se fit assez long-temps une sorte de revenu des prix qu'elle proposait : il les a remportés ou partagés dix fois. Cet illustre savant a été membre des Académies de Saint-Pétersbourg , de Berlin et de la Société royale de Londres. Environné de respect et d’admiration , d’un commerce doux et agréable, Daniel Bernouilli eut une vie très-heureuse : il conserva dans un âge très-avancé toute sa présence d'esprit, toute la force de sa haute raison : il ne se fit remplacer dans ses fonctions de professeur, par son neveu Jean Bernouilli, qu'à l'âge de soixante-dix-sept ans; il en avait quatre-vingt-deux quand il mourut à Bäle le 17 mars 1782. Ses ouvrages mathématiques sont : 1. Danielis Bernoulli e xercita-

tiones quædam mathematicæ. Vencetis, 1724, in-4°,

1 vol. IL Danielis Bernoutlli hydrodynamica, seu de vrribus el motibus fluïidorum commentarti, opus academicum ab auctore dum Petropoli ageret, congestum. Ar-

gentorati, 1738, in-4°, 1 vol. Ses divers mémoires sur les autres branches des sciences mathématiques et physiques n’ont point été recueillis ni imprimés séparément des collections académiques où ils se trouvent. BERNOUILLI (Jean IT), troisième fils de Jean I Bernouilli, uaquit à Bâle, le 18 mai 1710. Comme les autres membres de sa famille, il s’est distingué ‘dans les sciences mathématiques qu'il professa à Bâle, en 1743, dans la chaire illustrée par son oncle Jacques et par sou père. Il a concouru avec son trère Daniel, pour les prix proposés par l’Académie des sciences de Paris. Trois de ses mémoires + ont été couronnés; ce sont : celui sur la propagation de la lumière, celui sur le cabestan , et celui sur l’aimant. Membre de l’Académie de Berlin, il est mort à Bâle, le 17 juillet 1790. BERNOUILLI (Jran I), fils du précédent, est également né à Bâle, le 4 novembre 1744. Ses dispositions naturelles le portèrent vers les mathématiques, l'astronomie et la philosophie. Ses études, qu’il acheva à Bâle et à Neuchâtel, furent dirigées dans ce sens. Il acquit de bonne heure une éclatante réputation, etil n’était âgé que de dix-neuf ans quand l'Académie de Berlin l'appela dans son sein comme astronome. Après avoir obtenu la permission de voyager, et avoir visité la plus grande partie de l'Europe, il revint, en 1779, se fixer à Berlin, où il fut nommé directeur de la classe des mathématiques de l’Académie, et honoré du titre d’astronome royal. Jean Bernouilli a aussi étéémembre des Académies de Pétersbourg et de Stockholm. Il est mort à Berlin le 13 juillet 1803. Il est le dernier de cette illustre famille qui ait rendu son nom célèbre dans notre siècle. Ses travaux sont nombreux; nous ne citerons ici que ceux qui ont les mathématiques pour objet. L. Aecueil pour les astronomes, 1772-76, 3 vol. in-S°. IT. Lettres astronomiques, 1781. TT. Élémens d’algébre d'Eurer, traduits de l'allemand. Lyon, 1585, 2 vol. in-8°. Il à publié avec le professeur Hindenburg trois années du Magasin pour les sciences mathématiques. Un grand nombre de ses observations 5e relrouvent dans les Mémotres de l’Académie de Berlin, et dans les Ephémérides astronomiques de cette ville. BERNOUILLI (Jacques 11), frère du précédent, naquit à Bâle, le 17 octobre 1759. C'est le dernier de cette pléiade de savans, dont uous n'avons pu que rappeler succinctement les titres à la gloire. Il n’a point eu une destinée aussi brillante. Jacques Bernouilli fat le disciple de son oncle Daniel, et c’est lui qui fut son suppléant à la chaire de physique de l’université de

Bâle. Mais il ne put lui succéder. L’inquiétude de son

esprit, ou le chagrin d’avoir échoué dans ime espérance

que son nom et ses talens avaient du lui faire légitimement concevoir, le porta à voyager. Il vint se fixer à Pétersbourg, où il occupa une chaire de professeur de mathématiques, et s’unit à une petite-fille d’'Euler. Il était membre de l’Académie de cette ville, de la Société de physique de Bäle, de la Société royale de Turin. Ses premiers travaux insérés dans les Nova acta Academ. Petropol., donnaient une haute idée de ses talers, et annonçaient qu'il allait marcher sur les traces de son oncle Daniel ; mais il périt tout à coup d’une attaque d’apoplexie, à l’âge de trente ans, en se baignant dans la Néva. Ce malheur arriva le 3 juillet 1780.

BÉROSE. Deux personnages de ce nom, dont l’un se serait rendu célèbre par des travaux astronomiques, et l'autre comme historien, ont-ils existé dans l’antiquité, ou ne sont-ils en effet que le même individu? Cette question toute littéraire ne saurait être résolue ici. Pline parle d’un astronome chaldéen, nommé Bérose, à qui les Athéniens avaient élevé une statue, dont la langue était d’or, pour faire allusion à son éloquence. Vitruve en parle avec plus de détail, comme d’un prêtre de Babylone, contemporain d’Alexandre. I] lui attribue l'invention d’un cadran solaire de forme semi-circulaire, et qui pouvait recevoir une position convenable à diverses latitudes. La détermination précise de ce fait intéresserait sans doute l’histoire de la gnomonique, mais il n’y a pas d'espoir d’y arriver aujourd’hui. Bailly, dans l'Histoire de l'astronomie antique, s'est malheureusemont appuvésur les absurdités apoeryphes, publiées à diverses époques sous le nom de Bérose, pour donner à la civilisation et aux connaissances humaines une antiquité impossible.

BEZE ou ALBEZE. Nom que nos anciens astronoines ont prétendu mal à propos avoir été employé par les Arabes pour désigner la constellation du Centaure.

BEZOUT (Ériexxe), mathématicien distingué, est né à Nemours, le 31 mars 1730. Le nom de cet estimable géomètre est cher aux hommes de notre génération qui ont puisé les premières notions de la science dans ses ouvrages élémentaires. On a peu de détails sur son éducation et ses premières années; on sait seulement qu'il fut obligé, par son peu de fortune, de donner de bonne heure des leçons particulières de mathématiques. Cette situation pénible n'éteignit point en lui, par la fatigue et le dégoût qu’elle inspire souvent, la noble ambition de pénétrer dans les régions les plus élevées de la science. La persistance et le généreux enthousiasme de Bezout ne lui furent point défavorables. L'Académie des sciences distingua plusieurs de ses mémoires, et l'appela dans son sein en 1758; le duc de Choiseul le plaça, en 1763, à la tête de l'instruction

de fa marine royale, comme examinateur des gardes du pavillon. Ce fut cette circonstance qui valut à la France la publication d’un cours complet de mathématiques, où Ja science est exposée avec autant de clarté que d’élévation.

Les travaux de Bezout sont trop généralement connus de toutes les personnes qui cultivent les mathématiques, pour qu'il soit nécessaire de les énumérer ici, même d’une manière sommaire; il nous suffira de dire que, s’il s’est rendu célèbre par ses ouvrages élémentaires, | ses recherches sur la résolution des équations algébriques lai ont mérité une place distinguée parmi les mathématiciens de son époque. Le caractère de cet excellent et honorable professeur lui mérita toute sa vie une considération digne d'envie, comme sa réputation deviut populaire par les nombreuses éditions de ses cours. Sa vie a été paisible, pure et heureuse. Condorcet a relevé, dans l’éloge de ce géomètre, un trait qui honore à la fois, suivant nous, son courage et la bonté de son cœur. Deux jeunes aspirans de la marine à Toulon étaient malades de la petite-vérole que Bezout n'avait pas eue. [Il était alors dans un âge déjà avancé, et il eüt été dangereux pour lui de contracter à cette époque cetie cruelle maladie. Mais il n’hésita pas entre cette crainte et celle de retarder d’un an l'avancement de ses jeunes disciples : it alla les examiner dans leur lit. On ne dit pas que Bezout ait eu l'habitude de n’agréer que ceux de ces élèves qui avaient étudié les mathématiques dans ses livres ; les professeurs de notre époque ont seuls le triste droit de réclamer l'honneur d’un pareil progrès. Etienne Bezout est mort à Paris, le 27 septembre 17583. Ses ouvrages, souvent réimprimés, sont : I. Cours de mathématiques à l'usage des gardes du pavillon et de la marine. Paris, 6 vol. in-8°, y compris son Zraïtc de la navigation. I. Cours de mathématiques à l'usage. du corps royal de l'artillerie. Paris, in-8°, 4 vol. II. T'corie générale des équañons algébriques. Paris, 1779, in-4°, 1 vol.

BILLION ( 4rith.) Mille millions. Un billion est une unité du dixième ordre : on l’écrit 1 000 000 000. Dans l'usage ordinaire on se sert plutôt du mot nulliard pour exprimer les quantités de cet ordre. Foyez Arnira- MÉTIQUE. |

BIMÉDIAL ( Géom. ). Terme inusité aujourd’hui, employé par Euclide pour désigner la somme de deux droites commensurables seulement en puissance. Cette somme est toujours incommensurable par rapport à l'une des deux lignes composantes. J’oyez Evcur, livre X, prop. 33. |

BINAIRE. Nombre binaire. C'est un nombre composé de deux unités.

ARITHMÉTIQUE rBINAIRE. Nous avous vu ( ArtTu. IE. ), que le problème fondamental de l’arithmétique est la

construction de tous les nombres, au moyen d’une quantité limitée de nombres que l’on considère comme simples ou comme donnés immédiatement. Or, cette quantité de nombres simples est entièrement arbitraire, et si l'échelle décimale de la numération indienne a été généralement adoptée, c’est qu’elle présentait un avantage tellement frappant sur la numération grecque, que personne ne s’est avisé de rechercher si une autre échelle composée de plus ou de moins de dix caractères, ne rendraient pas l'exécution des calculs plus simple et plus facile. Cependant le choix de l'échelle décimale, déterminée sans doute primitivement par l'usage umversel de compter par périodes de dix, n’est pas le plus avantageux qu'on aurait pu faire, car une échelle de douze chiffres simplifierait singulièrement le plus grand nombre des opérations. ( F’oyez Numérasion.) De toutes les échelles de numération, la plus sunple est évidemment celle qui ne serait composée que

de deux chiffres Oureb ES

Or, l'aritimctique binaire est précisément fondée sur cette echelle numérique.

1. Pour exprimer tous les nombres à l'aide des deux caractères O6 et 1, on assigne au chiffre 1, outre sa va= leur absolue, une valeur relative dépendante de la place qu’il occupe. Ainsi, 1 isolément désigne une unité; 1 à la seconde place, tel que 10, exprime une dixaine; mais ici la dixaine ne se compose que de deux unités; 1 à la troisième place, tel que 100, exprime 10 fois 10, c’est-à-dire 4 unités; 1 à la quatrième place, tel que 1000, exprime 10 fois 100, ou 8 unités. Enfin, le caractère 1 vaut 2 fois plus à la seconde place qu’à la première, 2 fois plus à la troisième qu’à la seconde, ou 4 fois plus qu’à la première, 2 fois plus à la quatrième qu'à la troisième, ou 8 fois plus qu'à la première, et ainsi de suite. C’est absolument le même principe que celui de notre numération décimale ; seulement, au lieu d'augmenter de dix en dix en allant de droite à gauche, les chiffres croissent de deux en deux.

2. Ilest facile de voir que tous les nombres quelconques peuvent s'exprimer dans le système binaire aussi bien que dans le système décimal, et que

Système binaire. Système décimal, HCXPAIME eee LT TO der eisete sete 00

Ilossoosoeoosoeeoese

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Sans la grande quantité de figüres qu'il faut pour exprinier des nombres, iiême très-petits , mille ; par exemple, exige déjà dix figures : 1r11100100, l'arithmétique binaire serait supérieure à la nôtre, car les opérations les plus compliquées n'y présentent aucune difficulté, puisqu'on n'opèrce jamais que sur l'unité, et que, par conséquent, les multiplications et les divisions pourraient s'effectuer aussi facilement que les additions et les soustractions, Mais la prolixité des figures est un inconvénient tellement grave qu'il détruit tous ces avantages,

3. Leibnitz, à qui nous devons la première idée de l'arithmétique binaire, pensait que dans des recherches difficiles elle pourrait conduire à des spéculations plus élevées que l’arithmétique ordinaire, et nous croyons avec lui qu'il est possible d’en faire des applications importantes. C’est une question qui sera traitée ailleurs. Voyez LocariTaMEs.

Le père Bouvet, célèbre jésuite, missionnaire de la Chine, à qui Leibnitz avait communiqué son invention, lui écrivit qu'il était convaintu que l’arithmetique. binaire donnait le véritable sens d'une ancienne inscription chinoise laissée par l’empereur Fohi, et dont l'intelligence s'était perdue depuis près de mille ans, malgré les recherches des lettres, qui ne voyaient plus dans ce monument qu'une allégorie puérile ou chimérique. Cette inscription consiste dans différentes combinaisons d’une ligne droite et d’une ligne brisée, en supposant avec le père Bouvet que la ligne droite ——, exprime l'unité, et la ligne brisée — — zéro, on trouve les mêmes expressions des nombres que donne l’arithmc:tique binaire ; ainsi les figures

— nt cn un mes cm Meme Gen DO MONMNENENN SEEN CNE MEN

us ms mms SEE CNE MES DE en LES nn — ee me st ns nn ÉNN s nns

signifieraient

D LUE — 14 ,5-8n0 cé EN 0.6 L , 7e Cette conformité des combinaisons des lignes de Folu et des deux uniques caractères de l’arithmétique de Leibnitz, fit croire au père Bouvet que Fohi et Leiboitz

avaient eu la même pensée.

4. A1 nous reste à exposer le moyen de traduire en arithmétique binaire un norabre écrit dans notre système, et réciproquement. Soit, par exemple, 29 à expri«

mer en système binaire; on divisera 29 par 2, ce qui donnera un quotient et un reste. Le reste sera le premier chiffre cherché ou le chiffre du premier ordre. On divisera de nouveau le quotient trouvé par 2, et lon obtiendra un nouveau quotient et un nouveau reste : ce nouveau reste sera le chiffre du second ordre; on divisera encore. le dernier quotient par 2, et l’on continuera de la même manière, en divisant successivement chaque dernier quotient par 2, jusqu'a ce que l'opération ne soit plus possible. Les restes des divisions seront les chiffres du nombre donné, exprimé dans le système binaire; ainsi,

; 14,reste 1, = 3, reste 1,

— = 7, reste o,

3 L - = 1,reste1, —— oO, reste 1.

29 sera donc exprimé par 11101.

De même, pour traduire 17 eu arithmétique bipaire, On aura -

= 9, resteo ,

11 = Greste 1, — = À, reste o ? D +

2 1 — = 1,resteo, — = 0, reste I, 2 2

donc 17 est exprimé par 10001.

5. Lorsqu'il s’agit au contraire de traduire em arithmétique décimale un nombre écrit dans le système binaire , il suffit de former une table des puissances de 2, et une simple addition donne immédiatement l’expression demandée. En effet, le nombre 11101, par exemple, est composé d’une unité simple, d’une unité du troisième ordre, d’une du quatrième et d’une du cinquième. Or, dans notre numération, l'unité du premier- ordre vaut 1, celle du troisième vaut 2 — 4, celle du quatrième vaut 2? — 8, et celle du cinquième vaut 24 = 16, le nombre 1101 vaut donc

Ces transformations sont trop simples pour qu'il soit besoin d'entrer dans de plus longs détails, les principes sur lesquels elles reposent devant être d’ailleurs exposés à l'article NumÉRATION.

BINOME (Ælg.) (de Bis, deux fois , et de vou, part). Quantité composée de deux parties ou de deux termes. Ainsi, AB, a+ 3x, ba—x, 8x — 3a«b, etc., sont des binomes.

Une quantité qui n’a qu’un seul terme se nomme »10nome. On lui donne le nom de trinome lorsqu'elle en a trois, comme A+ B—C, et en général celui de polynome ou multinome.

Binome ne Newron. On donne ce nom à la formule qui exprime le développement d’une puissance quel-

conque d’uu binome. Cette formule, l'une des plus importantes de l'algèbre, et qui forme la première loi théorique de la scieuce des nombres, fut découverte par l'immortel Newton dès ses premiers pas dans la carrière qu'il parcourut avec tant de gloire. Voici en quoi elle consiste : Soit a + b un binome quelconque et x un nombre également quelconque, positif ou ñégatif, entier ou fractionnaire, on a (74)

m(In—

(a+b}" = a" LE mani b + D us be +

m(m—1)(rr—2) 1:2:3

Lorsque »2 est un nombre entier positif, le second membre de cette égalité a un nombre fini de termes;

— am—5 bi + etc.

mais , dans tous les autres cas, ce nombre est infini. Si nous faisons, par exemple, m=3, le cinquième cocffcient m(m—1) (m—2) (m—3) 1.294

devient o à cause du facteur (#1—3) qui devient 3—3— —0; et comme ce facteur entre également dans tous les coefficiens suivans, l'égalité (m1) se réduit à

(a+b) = a 3ab + 3abr + bi, Lorsqu’au contraire l’exposant 2 est négatif ou fractionnaire, aucun facteur ne devient o, et le second

membre de (”) a un nombre indéfini de termes. Si, par exemple, »2——1, nous aurons

(a+ b) = a a? b + a br — a 4b5 + etc, à l'in-

fini.

D'où ar Mb Ab DE Di Et (a + b) A mate ete, à l'infini.

Si m—"+, nous aurons a Ta ÉG— 1) à (@+D za tra F4 a + + RE T a bi Letc.

ou + + SU , À (a+b) = « [r+iis |

Ce théorème se démontre très-facilement lorsque »2 est un nombre entier positif. En effet,

Pour avoir la puissance 72 d’un binome (a+4-b), il faut observer que, d’après les lois de la multiplication (Foy. Murrirzicarion), cette puissance doit se composer de la somme de tous les produits formés par toutes les combinaisons »2 à m des deux lettres & et b. Par exemple, le produit de a + b par a4-b. ou la seconde puissance de (a4-b) est

aa + ab + ba + bb,

ou la somme des produits deux à deux des lettres à, b; et ces produits se trouvent exprimés par toutes les conibinaisons deux à deux de ces mêmes lettres. Si l’on multiplie cette dernière quantité par a+, le résultat

aaa + aab + aba + baa + abb + bab bba + bbb,

ou la troisième puissance de a+ b, contient la somme des produits exprimés par toutes les combinaisons érois à trois des lettres a et b.

De même, en multipliant encore cette dernière quantité par a+b, on formerait la quatrième puissance de a+b, qui serait évidemment composée de tous les produits formés par les combinaisons quatre à quatre des deux lettres a et h, et ainsi de suite.

Le produit de » binomes a+-b, ou la puissance m du binome &æ+- b doit donc contenir la somme de tous les produits formés par toutes les combinaisons 73 à m3 des deux lettres a et b.

Mais des groupes différens de combinaisons peuvent exprimer le même produit, ab, par exemple, est la même chose que ba; abb, que bab, ou que bba, etc., etc. (roy. ALGÈsrE, 7 et 11); il faut donc remarquer qu'un produit quelconque se trouve, de cette manière, répété autant de fois que les lettres qui le composent admettent entre elles d’arrangemens différens ou de permutations. Si l'on demandait donc, par exemple, la quatrième puissance de (a+4-b), il faudrait commencer par former les groupes de combinaisons qui ne contiennent pas les mêmes lettres, tels que

aaaa , aaab , aabb, abbb, bbbb;

et ensuite on donnerait à chacun de ces produits tous les arrangemens différens dont les lettres qui les composent sont susceptibles pour former toutes les autres combinaisons. On aurait donc

aaaa + aaab + aabb + abbb + bbbb + aaba + abab Æ babb + abaa + baab + bbab + baaa + baba + bbba —+ bbaa + abba.

D’où l’on conclurait :

(a+ bi = ai Lab Æ Gab? Æ 3ab3 + bé,

On doit donc considérer-deux espèces de groupes de combinaisons, savoir: ceux qui expriment des produits différens, tels que aaab et aabb, et ceux qui expriment le même produit, tels que aaab et abaa. Les premiers se nomment simplement combinaisons, les deux ensemble se nomment combinaisons avec permutations : ainsi, aa, bb, ab, sont les combinaisons deux à deux deaet deb,et aa, ab, ba, bb, sont les combinaisons deux à deux avec permutations des mêmes lettres,

BI 295 Pour former la puissance »# d’un binome a+b, il ne faut donc que former toutes les combinaisons m2 à m des deux lettres a et b, prendre les permutations de chaque combinaison , et la somme de tous les groupes exprime la puissance demandée.

Or, les combinaisons » à m de « et de b sont : a répété 71 fois, ou AAA A Ailirres —=A7, a répété »—1 fois, et b une fois, ou

a répété 77 —2 fois, et b deux fois, ou

a.a.a.a.. = ani,

BoBililrsc ob = AIR,

arépété m—3 fois, et b trois fois, ou

a. a.a.a.....b.b,b = an-3b5, etc. etc.

Et enfin b répété m fois, ou bb: bib:b. =:

Chacun de ces groupes doit se trouver à son tour répété autant de fois qu’il admet de permutations.

Pour avoir l’expression générale de la puissance 7# du binome a+b, il ne s’agit donc plus que de connaîitre le nombre des permutations qu’admet chaque groupe de combinaisons, représentant un produit différent. Car, désignant par À, le nombre des permutations du groupe exprimé par a"—tb, par A, celui du groupe a—b; par A; celui du groupe a"—b?, et ainsi de suite, nous aurons évidemment (n\

(a+-b}" = an HA, am—1 DH A, am—2 D + A, am—3 B+etc.... + A4 abm—1 Lhn

Les groupes a”, b", n’admettent point de permuta: tions, puisqu'ils sont composés d’une seule lettre.

On sait, d’après la théorie des permutations, qu’un groupe de »2 lettres différentes admet un nombre de permutations représenté par le produit

c’est-à-dire par le produit de tous les nombres entiers depuis l'unité jusqu'a m. Et que si ce groupe ne contient que deux lettres différentes , il faut, pour connaitre son nombre de permutations, diviser ce produit général par le nombre des permutations que pourrait former la quantité de chacune de ces lettres, si elles étaient différentes.

Ainsi, lorsqu'un groupe de m lettres a et b contient n fois la lettre b, et m—n fois la lettre a, le nombre de ses permutations est exprimé par (4) 1.2.3.4.5.6..(m—1)m 1.2.3..(m—n).1.2.3..n

Voyez PERMUTATION.

Ceci posé, if est facile de trouver la valeur des coef- À; , Ày, ele, dans l’expression (n); car A; , désignant le nombre des

ficiens que nous avons désignés par A; ,

permutations d’un groupe de deux lettres dans lequel une de ces lettres se trouve une fois, est égal à