m—1).m mi

Enfin, faisant successivement n—2, n=3, n—4,etc., dans l'expression générale (a), on trouvera de même

etc., etc.

La puissance 72 du binome (a+b) est donc définitivemeént

(a+b)"— a+ mail LÀ 1) a"

m(m—1)(m—9) m—3 ( X VE

1209 suis

dont la loi de génération des termes est visible, Si l’on voulait, au moyen de cette expression générale trouver la quatrième puissance de (ab), il faudrait

commencer par calculer les coefficiens 72, ee , etc., en faisant m = 4, on trouverait m = 4 m(m—1) 4:3 ENCORE n—i)(n—2) 4.3.2 4 FAT ES ne mm—i1Xm—2\m—3) 4.3.2.1 1:92.3:4 T Roe3.4 m(m—1Xm=2\m—3Xm—#) 4.3:2.1.0 2.3.4 MÉNTS TiS

1 n’y a donc plus de termes passé le cinquième, et Ja puissance demandée est

(a+ bi = ai b+Geb ab 4; comme nous l’avions déjà trouvé ci-dessus.

Foutés les considérations particulières sur la forme - de l'expression générale (2), ses termes , toujours égal à 2241, Fégalité des cocffi-

telles que le nombré de

ciens également éloignés des extrémités, elc., etc., pouvant se déduire sans aucune difficulté de cette ex-

pression méine où de Fi marche qui nous v a conduits,

BI

nous nous coutenterons de faire remarquer une propriété des coefficiens qui consiste en ce que leur somme, pour une puissance quelconque n, est égale à 2° , et que la somme des coefficiens de l’ordre impair, c’est-àdire le premier, le troisième, le cinquième, etc. , est toujours égale à la somme des coefficiens de l’ordre pair. En effet, dans l'expression générale (n) faisons a—1 et b=1, nous aurons

iles n(n—1\n—2)

QG+1)" = 27 =1+° + — + etc...

Faisons actuellement a=— 1, et b —— 1, nous aurons

En PRE ner

I1)} =O—=I—- ( ) I 1,2 1:2:8 etc...

Or, cette dernière égalité ne peut avoir lieu qu’autant que la somme des coefficiens positifs est égale à la somme des coefficiens négatifs, ce qui est la même chose que la propriété énoncée.

L'expression générale (m1) a été gravée sur le tombeau de Newton, l’une de ses plus brillantes découvertes. Nous devons

dans l’abbave de Westminster, comme

dire cependant que le cas des puissances entières positives avait été entrevu par Viète et surtout par Briggs

(Voy.

même dans ce simple cas, ne s'était élevé à la forme gé-

Trigonometria britarnica): mais aucun d'eux,

nérale des coefficiens

te ...(nm— n + he rB O4 s si

forme qui constitue la /oi du développement. Ainsi, quelqu'emprunt que Newton ait pu faire à ses devanciers, il lui reste l'honneur plein et entier d’avoif feconnu que l'expression qui porte lé nom de son binôme embrasse toutes les valeurs de l’exposant »1. La première communication qu'il fit de cette importante découverte se trouve dans une lettre écrite à Oldenbourg, le »{ octobre 1676; il paraît qu’il y fut conduit par l'étude du célèbre ouvrage de Wallis : l’Arithmetique de l'infini. Le binome fut donné par Newton sans démonstration; mais la grande utilité de cette formule la rendit bientôt l’objet des travaux des mathématiciens : Jacques Bernouïlli, Moivre, Euler et d’autres, en donnèrent diverses démonstrations; cependant, mêmeé aujourd’hui, il n’en existe pas encore une entièrement satisfaisante pour le cas général de l’exposant quelconque; le plus grand nombre des démonstrations connues ne sont rigoureusement que des vérifications ; les autres, fondées sur le développement des fonctions en séries, sont de véritables cercles vicieux dans lesquels on regarde comme établi ce qui est précisément en question.

L'examen de ces démonstrations nous entrainerait trop

: BI loiu, et n’est point d’ailleurs notre objet. Nous devons nous contenter de donner ici les formes particulières de l'expression (#), dont nous aurons l’occasion de faire de nombreuses applications. Lorsque 72 est entier, positif, ou négatif, on peut donner au binome les formes suivantes, plus commodes pour les calculs,