V.mn mE

le produit de la racine de l’abscisse par l'élément de l'arc correspondant étant divisé par la différentielle de l’ordonnée , donne toujours une quantité constante. Désignons cette quantité par V/a, et nous aurons

V2. Vide? + dy?)

dy =V/a.

D'où l’on tire

æxdzx?

PE ae et = D CARE [ES | 2V/(ax—x) L2V/{ax—x:)

Ce qui donne en intégrant , C étant une constante,

adx DE J' aV/(ax—x) Supposons que AB — a soit le diamètre du demi-cercle AQB, l’ordonnée QP sera —\/{ax—2), et

— V/(ax—x).

adx = Ladx pre V/ax — x)

sera l’arc AQ ; donc C+y—AQ—QP.

Mais lorsquey—o, l'arc AQ et l’ordonnée QP deviennent o ; donc C=—0, et l’on a définitivement

7 =AQ—QP.

C'est-à-dire l’ordonnée de la courbe cherchée est égale à l'arc du cercle correspondant , dont le diamètre est 4, moins le sinus de cet arc; ce qui est une des propriétés fondamentales de la cycloïde. La courbe demandée est donc une cycloide. Foy. ce mot.

L'équation de la brachystochrone réclame le secours du calcul des variations pour être déterminé d’une manière directe, Voyez le Traité de mécanique de Poisson. C’est à l’aide de ce calcul que cet habile géomètre résout le problème de Jean Beruouilli avec cette clarté et cette élégance qui distinguent si éminemment toutes ses productions.

BRADLEY (Jacques), grand et célèbre astronome, naquit vers la fin de l’aunée 1692, a Shireborn, en An gleterre, dans le comté de Glocester. La vie de cet bomme illustre, qu'on a surnommé avec raison le m0dèle des astronomes, est tout entière dans ses travaux, qui en renferment les événemeus les plus importans. Destiné à l’état ecclésiastique, il prit ses grades, et ter. mina ses études à Oxford, Il fut successivement pourvu des cures de Bridstow et de Welfrie, dans le comté de Pembroke. Mais il renonça aux espérances d’ svancement qu’il était à même d’obtenir dans cette carrière pour se livrer aux observations astronomiques, dont l'étude des mathématiques avait développé en lui le goût exclusif, En 1721, à l’âge de 29 ans, Bradley, qui avait résigné ses fonctions évangéliques, fut nommé professeur d'astronomie du collége de Saville, à Oxford. Dès ce moment sa vie appartient tout entière à la science, dont il allait hâter les progrès et développer, les connaissances par d’immortelles découvertes. Ge fut

en 1727 qu'il publia ses importantes observations sur l’aberration de la lumière (’oy. AsenraTion). Dans la même année, il exposa dans une lettre adressée à lord Masclesfield sa découverte du phénomène de la mutation de l'axe terrestre (Foy. Nurariow). Ces deux découvertes de Bradley ont eu une grande influence sur les progrès de l'astronomie; elles portent en effet sur les plus grands phénomènes de la nature, et expliquent la cause, jusqu'alors inconnue , des petits mouvemens des corps célestes. Elles ont permis d'apporter dans les observations astronomiques une exactitude rigoureuse et un degré de certitude dans celles des spéculations de la science qui en paraissaient le moins susceptibles. C’est aussi Bradley qui, ayant reconnu la principale inégalité du premier satellite de Jupiter, démontra comment les éclipses de ce satellite , corrigées de cette inégalité, pouvaient servir à mesurer les différences de longitude. Trois aunées après la découverte de l’aberration de la lumière, en 1730, Bradley, que l'éclat de ses travaux astronomiques avait environué d’une brillante réputation, fut nommé professeur d'astronomie et de philosophie naturelle au muséum d'Oxford. Plus tard, en 1741, après la mort du célèbre Halley, on lui déféra la place d'astronome royal, et il alla résider à Greenvich. On peut dire qu’alors Bradley n’eut plus de vœux à former: toute l’ambition qui avait pu remplir ce ‘cœur simple et bon était alors satisfaite. Il se trouva au milieu des objets et des instrumens utiles à la science dans laquelle se concentraient toutes ses affections et toutes ses pensées ; et il commença ces longues et admirables observations, dont il remplit plusieurs volumes in-folio ; collection unique par son importance, et qu’on a peine à croire l’auvrage d’un seul homme. De cette mine féconde, dit un savant biographe, on a tiré des milliers d'observations du soleil, de la lune, des planètes, qui, habilement combinées, et, pour ainsi dire, fondues ensemble par le calcul, ont porté l'exactitude dans toutes nos tables astronomiques. Ce fut là que le célèbre astronome Mayer puisa les élémens de ses Tubles de la lune , les premières qui aient rempli par leur exactitude l'espoir des marins et des géomètres. Bradley se voua entièrement, et avec un désintéressement sans exemples, à ce grand travail, qui a rempli sa vie. On ne trouve de lui que quelques mémoires insérés dans les Transactions philosophiques; mais son nom, recueilli par la reconnaissance et l'admiration des savans, peut se passer de tous les autres titres de gloire qu'il sacrifia à des travaux solitaires et spéciaux. Bradley était associé-étranger de l’Académie des Sciences de Paris, membre de la Société royale de Londres, de l’Académie impériale des Sciences de Pétersbourg et de l'Iustitut de Bologne. Comme le biographe dont nous venons de rapporter le jugement sur quelques tra-

BR

vaux de Bradley, nous sommes heureux de pouvenr dire que les savans français devancèrent, par les hommages qu'ils rendirent au talent de ce grand homme, ceux qui dans sa patrie récompensèrent son génie, son admirable patience et ses vertus. Jacques Bradley mourut, après deux années de souffrances cruelles, à Greenvich, le 13 juillet 1562, âgé de 50 ans.

BRANCHE DE COURBE (Géom.). C'est un terme usité pour désigner les parties d’une courbe qui s'étendent indéfiniment sans retourner sur elles-mêmes. On les appelle aussi branches indéfinies. Tels sont les deux côtés de la parabole et de l’hyperbole (Foy. ces mots). Pour mieux faire comprendre la nature de ces branches, designons par x l’abscisse, par y l’ordonnée, et par gx une fonction de x, de manière que

soit l'équation d’une courbe. En donnant successivement à x des valeurs arbitraires, nous trouverons les valeurs correspondantes de y, qui nous donneront autant de points différens de la courbe, au moyen desquels nous pourrons la construire. Or, si pour chaque valeur posttive de x la fonction #x donne deux valeurs pour y, l'une positive et l'autre négative, cette circonstance nous indiquera que la courbe a deux branches: l'une située à droite de l’axe des x, et l’autre à gauche; et si de plus les valeurs de y croissent en même temps que celle de +, ces deux branches s’étendront indéfiniment. De plus, en faisant æ négatif dans la fonction @x, si nous obtenons également deux valeurs pour y, l'une positive et l’autre négative, nous aurons deux autres branches s'étendant également à la droite et à la ganche de l'axe des x, mais du côté des x négalifs. Lorsqu’en faisant x négatif, la fonction 9x devient imaginaire, c'est qu'alors la courbe n’a pas de branches du côté né. gauf de l'axe des abscisses.

Soit, par exemple, ° = px l'équation d’une courbe, cette équation donne y = V/pz. Ainsi, pour chaque valeur de x correspond une valeur positive et une valeur négative pour y; la valeur +\/pr appartient aux ordonnées situées à la droite de l'axe des x, et la valeur —\/px appartient aux ordonnées situées à la gauche de cet axe. Nous avons donc d’abord dans ce cas deux branches différentes ; et comme y augmente indéfiuiment à mesure que æ augmente, ces deux branches sont indéfinies. Mais si nous faisons x négatif, l'équation devient

Y=EV re.

Ce qui nous apprend que la courbe n’a pas de branches du côté des x négatifs, puisque V/—=pz est une qua

tité imaginaire. Cette courbe est la parabole apollos

nienrie,

BR

Si l'équation de la courbe était

d’où l’on tire + 2

nous aurions d’abord évidemment deux branches infinies du côté des x positifs. Faisant x négatif, l'équation devient

EN ME 5 V'(x—Bx).

Or, cette quantité est imaginaire tant que Bx est plus grand que x? , et devient o lorsque x? — Bx, ou lorsqu'on fait x—B. Ainsi, pour toutes les valeurs négatives de æ, depuis-r = o jusqu’à æ=B, il n'existe pas de valeurs réelles pour y; mais si l’on donne à æ des valeurs plus grandes que B, on trouve pour y des valeurs réelles; ce qui nous apprend qu'à la distance B de l’origine et du côté négatif de l'axe des æ recommencent deux branches s'étendant à l'infini à droite et à gauche de cet axe. La courbe dont nous examinons l'équation a donc quatre branches infinies. C’est l’Ayperbole apollonienne.

Parmi les courbes du second degré, la parabole et l’Ayperbole ont seules des branches infinies : le cercle et l'ellipse n’en ont point; ces dernières sont des courbes qui rentrent en elles-mêmes.

Les branches infinies des courbes supérieures se divisent en deux espèces. On les nomme branches paraboliques lorsqu'elles sont susceptibles d’avoir pour asymptotes des paraboles d’un ordre quelconque , et branches hyperboliques lorsqu'elles ont pour asymptotes des lignes droites ou des hyperboles également d’un degré quelconque. (Voyez l’Zntroduction & l'analyse des lignes courbes, de Cramer.) Foy. Counress.

BRAS DE LEVIER (#Méc.). Partie d’un levier coraprise entre le point d'appui et le point où est appliquée la puissance ou la résistance. Voyez Levier.

BRASSE. Ancienne mesure de longueur en usage dans la marine. Il y en avait de trois espèces : la grande brasse dont se servaientles vaisseaux de guerre ; elle avait six pieds (1,94904 mètres). La moyenne dont se servaient les vaisseaux marchands, elle était d’une longueur de cinq pieds et demi (1,78662 mètres); et enfin, la petite brasse, en usage parmi les patrons de barque, dont la longueur était seulement de cinq pieds (1,62420 mètres.)

BRIGGS (Hewni). Célèbre mathématicien anglais, né vers lan 1560 dans le York-shire, de parens pauvres et d’une condition qui, d’après lès prejugés du temps, semblait devoir lui fermer la carrière des sciences. Mais les premières études du jeune Briggs furent si brillantes, et il y manifesta des dispositions si extraordinaires,

que sa famille se condamna à tous les sacrifices pour l'envoyer à l’université de Cambridge, où il fut admis en 15709. C’est là, dit-on, qu'il connut pour la première fois les mathématiques, dont il embrassa l'étude avec ardeur. Il ne tarda pas d’y faire des progrès tellement supérieurs, que le chevalier Gresham, qui établit et dota en 1569 le collége de Londres qui porte son nom, nomma Briggs à la chaire de géométrie. Il sy distingua dans des entreprises utiles aux progrès de l'astronomie et de la géographie; mais son plus beau titre de gloire est d’avoir le premier saisi toute l'utilité de la découverte des logarithmes de Neper, alors toute récente. Henri Briggs fit plusieurs voyages de Londres à Edimbourg pour canférer avec cet homme célèbre sur cet important sujet. On pense qu'il forma, concurremment avec Neper, le projet de changer la forme de ses logarithimes, Ce dernier n'eut que le temps de lui en recommauder l'exécution, car il mourut au moment où Briggs se disposait à faire un troisième voyage auprès de lui pour cet objet. Il + travailla avec tant d’ardeur , que dès 1618 il publia une table des logarithmes ordinaires des 100 premiers nombres, comme essai d’un travail beancoup plus étendu, qu'il promettait. Il se proposait de composer deux immenses tables : l’une contenant tous les logarithmes des nombres naturels depuis 1 jusqu’à 100,000 , et l’autre, ceux des sinus et des tangentes pour tous les degrés et ;4; de degré du quart de cercle. Il ne put exécuter qu'une partie de ce prodigieux travail; la mort vint le surprendre à Oxford , le 25 janvier 1630. Henri Briggs fut ainsi le premier promoteur de la théorie des logarithmes, et il est sans contredit celui qui contribua le plus par son travail à la propagation de cette mémorable découverte. Cet éloge suffirait à la gloire de plusieurs noims. Voici la liste de ses principaux ouvrages : L. Logarithnorum chilias prima, Londres, 1617, in8°. Il. Arithmetica logarithmica, Londres, 1624, in-fol. ; ouvrage d’un travail immense, et qui à servi de modèle à toutes les tables de logarithmes publiées depuis cette époque- Celles de Briggs contiennent les logarithmes des nombres naturels de 1 à 20,000 et de 00,000 à 100,000 , avec 14 décimales ; elles renferment aussi ceux des sinus et des tangentes pour chaque -E, de degré, également avec 14 décimales, les sinus naturels avec 15 décimales, et les tangentes et sécantes naturelles avec 10 décimales. On attribue aussi à Briggs des travaux fort estimables sur les géomètres de l'antiquité, et la plus grande partie de la trigonométrie britannique; Trigonometria britannica , Goudal , 1623, in-folio.

BROUETTE (HMce.). Caisse suspendue sur une roue, qui sert à transporter des matériaux de construction et autres. Cet appareil d’un usage extrêmement commun

est susceptible de plusieurs perfectionnemens qui ont