IX, X, XI, XIE, XIII, XIV, XV, XVI

010, 11; 19 ÿ 14, 16, et ainsi de suite jusqu'à XXXIX, 30.

Le chiffre X agit par rapport aux chiffres L et C de la même manière que Î par rapport à V; c’est-à-dire que

placé à leur gauche il les diminue de 10 ; tandis que placé à leur droite il les augmente dé la même quantité. Ainsi, XL signifie 40, et LX, 60; XG signifie go, et CX, 110.

De 1 à 100 les dixaines sont donc exprimées par X, XX, XXX,XL,L,LX,LXX, LXXX, XC, C.

10, 36, 36, 46,50, 60, 76, 86, A la suite de ces dixaines, on écrit les caractères qui désignent les unités, de manière que 63 s'écrit LXVIT; 84, LXXXIV ; 105, CV, etc.

De 100 à 1000 , les centaines sont exprimées par

G, CG, CCG, CECC, D, DC, DEC, DCEC, PCCCC, M 160, 560, 300, 460, 5od, 600, 700, 800, 900, 1000

go , 100.

et l’on écrit également à la suite de ces caractères ceux qui expriment les dixaines et les unités ; ainsi, 547 s'écrit DXLVII; 839 s'écrit DCCCXXXIX,, etc., etc.

On agit de la même manière pour les nombres audessus de mille. Par exemple,

MDXCVII signifie 1597.

MDCCCXXXIV signifie 1834.

Outre la lettre D, qui exprime 500, on peut encore

désigner ce nombre par un Î devant un € renversé de cette manière In. Quelquefois aussi, au lieu de M, on se sert de I entre deux C, dont l’un est renversé comme Cl). Suivant cette notation, on peut exprimer 600 par 19C; 700 par 19CC, etc.

L'addition de C devant et après CI augmente ce nombre en raison décuple. Ainsi, CCI exprime 10000, CECI 99) exprime 100000 , etc.

Les Romains exprimaient encore les nombres au-dessus de mille par une ligne — placée sur les caractères. Par exemple, V signifiait 5000; XL, 40000 ; M, 100000; MN, 2000000 , etc. , etc.

On n’est pas d'accord sur la manière dont les Romains

effectuaient leurs calculs avec un système si incommode de numération; mais on peut attribuer en grande"partie à ce système la longue nullité de ce peuple sous le rapport des connajssances mathématiques.

À CARACTÉRISTIQUE, La caractéristique d’un logarithme vulgaire est le nombre entier qui entre dans ce logarithme. Par exemple, 2 est la caractéristique de 2,02118930, logarithme de 105; et o est la caractéristique de 0,6989700 , logarithme de 5.

Les logarithmes vulgaires des nombres étant les exposans des puissances auxquelles il faut élever 10 pour obtenir ces nombres, et les puissances successives de 10 étant

OL — I 0! = 10 10 — 100 10? — 1000 10$ — 10000 10Ÿ — 100000 etc. etc.

On voit que les nombres compris entre 1 et 10 ont pour logarithmes o plus une fraction; 1 plus une fraction, lorsqu'ils sont compris entre 10 et 100; 2 plus une fraction, entre 100 et 1000, etc., etc. On connaît donc immédiatement la caractéristique du logarithme d’un nombre par la quantité de chiffres qui le composent ; car cette caractéristique est toujours égale à cette quantité moins un. Ainsi la caractéristique du logarithme de 4799 est 3, parce que ce nombre a 4 chiffres, ou qu'il est compris entre 1000 et 10000, Il suffit donc de connaître la partie fractiounaire d'un logarithme, pour le connaître entièrement; et c’est par cette raison que dans les tables de logarithmes on ne trouve que cette partie fractionnaire, et que les caractéristiques y sont sousentendues. Foyez Locantrumes.

On nomme en général caractéristique une marque, ou caractère, par laquelle on désigne une certaine fonction d'une quantité : c'est ainsi que la lettre d est la caracleristique des quantités différentielles, ou que dx

exprime la différentielle de x, suivant Leïbnitz. Dans la notation de Newton, cette caractéristique est un point (.) placé sur la quantité : +, est donc, d’après Newton, la fluxion ou la différentielle de x. Voyez DirrérenTiez et FLuxton.

CARDAN (Jérôme), médecin et géomètre célèbre, naquit à Milan suivant quelques-uns de ses biographes, et à Pavie suivant d’autres, le 23 septembre ou le 24 novembre de l'an 1501. Cardan, qui a souvent parlé de lui dans ses écrits, n’avait lui-même aucune certitude À cet égard , d’où l’on a cru pouvoir tirer la conséquence que sa naissance était illégitime. Quoi qu'il en soit il est du moins certain que le jeune Jérôme fut élevé h Milan dans la maison de Faccia Cardan, son père, savant médecin et jurisconsulte éclairé, qui fut son premier maître. Il ne s’en sépara qu’à l’âge de 0 ans, époque à laquelle il alla à Pavie pour achever, à l'Université de cette ville, ses études et recevoirses grades. Ce fut dans cette célèbre institution que Jérôme Cardan acquit les premières notions des mathématiques, sciences dans lesquelles il devait plus tard illustrer son nom. Il fut bientôt à même d'expliquer Euclide, et dans la suite:il professa successivement la médecine et les mathématiques à Pavie, à Bologre, à Milan et à Rome. Cardan était doué d'un génie fertile et d’une brillante imagination. Si ces heureux dons de la nature lui facilitèrent l'intelligence de toutes les connaissances humaines, car il fut À la fois, à un degré remarquable, orateur, naturaliste, géomètre, médecin, physicien, moraliste et philologue, ils contribuèrent aussi à égarer quelquefois sa raison , en le jetant dans des travers et des contradictions inexplicables. Ainsi, il cultiva avec une incroyable ardeur , et défendit avec un fanatisme aveugle les vaines pratiques de lastrologie judiciaire; erreur à laquelle la plupart des savans de son siècle ont au reste payé un large tribut, Mais Cardan exagéra même les folies que l'astrologie a pu suggérer à des hommes beaucoup moins familiers que lui avec les vérités de la science. Il avait tracé plusieurs fois, et toujours inutilement, comme cela devait être, l’horoscope de sa mort, et il eut le courage d'attribuer publiquement la fausseté de ses prédictions, non à l’incertitude de l’art, mais à l'ignorance de l'artiste. Cardan avait si bien réussi, sous ce rapport, à établir sa réputation, que le bruit se répandit, après lui, qu’il s'était laissé mourir de faim à l’âge de 75 ans, pour ne pas faire mentir sa dernière prédiction, ou plutôt pour éviter la honte ou les railleries que ce nouvel essai de son art mensonger devait attirer sur lui. Enfin, Cardan a publié deux traités sous ces titres : De subtilitate et De rerum varietale, où sont consignées toutes les extravagances que l'astrologie inspira à cette imagination vive et exaltée. Ces traités, dit un de ses biographes, embrassent l'ensemble de sa physique, de sa métaphysique et de

ses connaissances en histoire naturelle, et peuvent paraitre curieux à ceux qui aiment à voir dans quelles erreurs s'est promené l'esprit humain. Jules Scaliger s'attacha particulièrement à réfuter le traité De subtilitate avec l’urbanité et la modération, dont ce célèbre critique avait coutume d’'user envers les malheureux auteurs des livres qui avaient pu exciter son irritabilité pédantesque : il se vanta d’avoir tué à la fois Cardan et son livre par la vivacité et la force de sa critique. Au reste, la vie agitée de Cardan a trouvé en lui-même un juge plus sévère que celui qu’auraient pu inspirer la haine et les passions des nombreux ennemis que son caractère lui avait attirés. Dans celui de ses ouvrages intitulé : De vita propria, et qu'on peut regarder comme des Mémoires d'une irréprochable authenticité, il a dépassé, en parlant de ses vices, toute la hardiesse de la calonnie. Il nous apprend dans ce livre, ajoute son biographe, que dans le monde il ne savait dire que ce qui devait déplaire à ceux qui l’entouraient, et qu’il persévérait dans cette mauvaise disposition, quoiqu'il en vit les effets; qu’il recherchait les souffrances physiques, parce qu’elles le préservaient des orages qui s’élevaient fréquemment dans son esprit en proie à une sombre mélancolie; qu'il se procurait lui-même des sensations douloureuses dans cette vue , et pour jouir de la volupté qu'il éprouvait à leur cessation ; enfin, qu'il employait aussi ce moyen comme un remède ou comme un palliatif dans les grandes afflictions morales. Nous abrégeons ces tristes aveux d’un homme de génie luttant avec un inconcevable cynisme contre des souvenirs qui, sans doute, venaient troubler sa vieillesse. De grandes infortunes l'avaient déjà puni de ses erreurs et de ses vices, dans tout ce que l’homme a de plus cher et de plus doux sur cette terre, les affections de famille. Son fils aîné, Jean-Baptiste Cardan, jeune homme de 26 ans, qui s'était déjà acquis de la réputation dans la médecine, fut convaincu d’avoir empoisonné sa femme, et eut la tête tranchée à Milan. Les désordres de son second fils n’eurent pas un résultat aussi funeste, mais causèrent à ce malheureux père d’inexprimables chagrins qui peut-être troublèrent sa raison et lui occa- sionnèrent des accès de folie. C’est ainsi qu'ont pensé de lui lillustre Leibnitz et Naudé, et c’est sous ce rap- - port seulement que Cardan peut être jugé avec quelque indulgence.

Tel fut l'homme cependant qui a conservé des titres réels à la gloire et à la reconnaissance des savans, quoique ses découvertes en mathématiques se rattachent encore à une conduite peu délicate et peu scrupuleuse de sa part, si l'on doit ajouter foi à l'opinion que ses contemporains en ont manifestée. Cardan était depuis long-temps étroitement lié avec Nicola Tartalea ou Tartaglia de Brescia, mathématicien, que son savoir ct ses

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productions avaient déjà rendu célèbre. L'algèbre était une connaissance pour ainsi dire au berceau, et qui, depuis son introduction en Europe, n'avait guére été cultivée qu’en Italie. A l'époque où vivaient Cardan et Tartalea, les recherches dont cette science était l’objet excitaient une vive émulation entre les mathématiciens de ce pays. On était alors dans l'usage de proposer et d'accepter des défis publics dans les sciences aussi bien que dans les arts, etlesgraves géomètres, cornme les musiciens et les peintres, allaient de ville en ville exposer leurs découvertes et leurs talens devant les curieux, qui se réunissaient dans les églises, où l’on jugceait du mérite de ces rivaux de gloire et de savoir : c’étaient les temps chevaleresques de la science. fl paraît que Tartalea avait triomphé plusieurs fois dans de semblables défis, au moyen de la résolution des équations du troisième degré. Cardan conçut, dit-on, le vif désir de conuaiître la méthode qu'emplovait son ami pour obtenir an résultat si important et si inutilement cherché par les géomètres. Comme ses premières sollicitations avaient été inutiles, et que Tartalea avait besoin de la protection d’un grand, suivant l’usage du temps, Cardan employa, pour décider son ami à se rendre à ses désirs, une étrange supercherie, Il lui fit savoir que le marquis del Vasto désirait faire sa connaissance, et s’entretenir avec lui de sa découverte. Tartalca se rendit avec empressement à cette invitation; mais Cardan se trouva seul dans l'hôtel du marquis, où le rendez-vous avait été'indiqué. Ce fat ainsi que ce dernier, après de vives instances, obtint, sous la foi du secret et du serment , la communication des méthodes de Tartalea.

Telle serait, suivant les partisans de Tartalea , la vérité sur la découverte de la résolution des équations du troisième degré, attribuée à Cardan , qui la publia peu d’années après dans son 4rs magna. Mais selon Cardan, il n'aurait point ainsi violé la foi de sa promesse, ni trahi la confiance de Tartalea, dont il n'aurait reçu que la formule du procédé de la solution, tandis que seul il avaittrouvé la démonstration. Quant à la formule même, Cardan soutenait que la première découverte n’appartenait ni à lui ni à Tartalea, mais à Scipion Ferrco, mathématicien bolonais. La publication de l'4rs magna exata les vives plaintes de Tartalea : il reprocha amèremeut sa conduite à Cardan, et publia leur correspondance pour prouver sa duplicité. Il proposa aussi à son ancien ami, maintenant son adversaire et son ennemi, la solution de plusieurs problèmes , et l'on doit convenir que l'honneur de la lutte ne demeura pas à Cardan.

Quoi qu'il en soit, Jérome Cardan est, en résultat, le premier qui ait publié la méthode de résolution des équations du troisième degré, et celui à qui est restée la gloire de cette découverte. On donne encore aujourd’hui à cette méthode le nom de formule de Cardan. West

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enfin beaucoup mieux établi encore que Cardan découvrit plusieurs cas nouveaux dont nous allons parler, et qui, d’après l'aveu de Tartalea, n'étaient pas compris dans la règle qu’il avait donnée.

On doit en effet à Cardan la remarque de la limitation du cas irréductible, cas particulier des équations cubiques , qui est celui où il arrive que l'extraction de la racine carrée, qui entre dans la formule, n’est pas possible. Il est également le premiér qui ait aperçu la multiplicité des valeurs de l’inconnue dans les équations, et leur distinction en positives et négatives. Mais il ne paraît pas qu'il ait reconnu l’usage de ces racines négatives, découverte cependant qui, avec celle de Viète, a servi de fondement à celles d'Harriot et de Descartes sur l'analyse des équations. Si l’on ajoute à l’exposition de ces importans travaux, que la résolution des équations du quatrième degré a été l'ouvrage, non contesté, de Louis Ferrari, disciple de Cardan, on re saurait refuser à cet homme extraordinaire, malgré les récriminations de Tartalea, une grande part dans ces progrès de l'algèbre. ( J’oyez Ferranr. ) Telle est l'opinion du savant Cossali, dans son Histoire de l'algèbre en Jialie ( Origine e trasporto in Ttalia del algebra, 1.11), qui ayant eu à sa disposition les plus anciens manuscrits italiens, ajoute qu’on peut revendiquer en faveur de -Cardan la méthode de l'application de l'algèbre aux problèmes de géométrie déterminés. Il y a sans doute quelque exagération dans ce jugement de Cossali, car cette découverte est justement et généralement attribuée à ‘notre célèbre Viète.

On croit communément que Jérôme Cardan mourut VA Rome en 1575, quoiqu'il y ait quelque incertitude sur la date précise de cet événement. Nous nous croyons ‘dispensés de donner ici la liste deses nombreux ouvrages, qui ont tous été réunis et publiés par Charles Spon , sous ce titre : Hieronymi Cardani opera. Lyon, 1663, 10 vol. fin-folio.

CARDINAUX ( Astr. ). On a donné ce nom aux quatre points les plus diamétralement opposés de l'horizon, l’est et l’ouest, le nord et le sud. Les points cardinaux du zodiaque sont les premiers degrés des signes où l'entrée apparente du soleil détermine les saisons, c’est-à-dire le Bélier, le Cancer, la Balance et le Capricorne. «

CARNOT ( Lazare-Nicozas-MarGUERITE ), mathématicien célèbre, général, membre de l'Institut et de la Légion-d’'Honneur, naquit à Nolay en Bourgogne, le.10 mai 1753. L'illustration de Carnot appartient à la science et à l’histoire moderne; les grands événemens dans lesquels il a figuré sont encore jugés en France avec trop de passions, pour qu’il nous soit convenable d'apprécier, sous ce dernier point de vue, une vie si pleine de nobles actious et d'erreurs déplorables, C’est

du savant seul que nous avons à nous occuper. La famille de Carnot occupait dans le morale une position recommandable, elle avait déjà fourni à la France des officiers de mérite et des jurisconsultes distingués. Il fit d'excellentes études, et manifesta de bonne heure le goût qui l’entraiîna vers celles des mathématiques. En 17971, Carnot entra au service dans l'arme du génie. En 1780, il n’était encore parvenu qu'au grade de capitaine, quoique son Éloge de Fauban eût été couronné par l’Académie de Dijon, et que son Essai sur les mathématiques eût obtenu un grand succès. En 1797, le département du Pas-de-Calais, où résidait le corps dans lequel il servait, le nomma député à l'Assemblée législative. Dès ce moment sa vie fut entièrement consacrée aux triomphes des opinions politiques qu'il avait embrassées. On sait qu’il occupa les plus hautes dignités de l'État dans ces temps désastreux, où la France se souvient avec reconnaissance qu'il organisa en peu de mois ses nombreuses armées. Lorsque Napoléon parvint à la couronne, Carnot résigna les fonctions de ministre de la guerre qu’il occupait, et se livra dans la retraite aux travaux qui avaient honoré sa jeunesse. Il publia, en 1808, son traité si remarquable De la défense des places fortes. Cet ouvrage le rappela à Napoléon, qui lui fit offrir les brillans avantages auxquels il avait renoncé. Carnot vivait alors dans un état voisin de l'indigence, lui qui avait un moment présidé aux destinées politiques de la Nation française. Il eut le courage de sacrifier ces avantages à ses principes, et il demeura dans la retraite. Mais en 1813, à la suite des désastres qui frappèrent alors son pays, il offrit spontanément son épée à l'empereur, qui accepta le dévouement de cet homme antique. Il s’enferma dans Anvers qu’il défendit jusqu’à l’époque où une nouvelle révolution changea en France la forme du gouvernement. Il s’acquit pendant ce siège mémorable qu'il soutint, une renommée digne de ses talens et de son caractère. Après les Cent-Jours, Carnot qui était un moment rentré au pouvoir, dans des espé-à rances qui ne devaient point se réaliser, fut compris $: dans une liste de personnes que le gouvernement des, Bourbons crut devoir éloigner de la France. Il fixa d sa résidence à Magdebourg, où il reprit ses travaux : scientifiques, et continua à vivre dans la solitude. Il mourut en 1823 avec le calme d’une âme pure et chrétienne, si l’on doit s’en rapporter aux journaux du‘ temps; digne de respect pour les travaux dont il a enrichi la science, et du regret de toutes les âmes élevées, pour des erreurs vers lesquelles du moins ne l'entrainèrent jamais les calculs d’un vil intérêt.

Ses meilleurs écrits sont : I. Traité de la défense des places fortes, 1 vol in-4°, avec planches; 3° édition; 1819. IL. Mémoire sur la fortification primitive, pour servir de suite au Traité sur la défense des places fortes,