F (A+TB+EC)A

Pour que le point désigné soit le centre d’oscillation,

il n’est pas seulement nécessaire que ces deux vitesses soient égales dans le premier moment, elles doivent l'être encore à chaque instant de la descente : c’est pourquoi x restant le même, l’équation aura lieu, quelle que soit la position de ce point et celle du centre de gravité, relativement à la Verticale, c'est-à-dire, quêls que soient

$ s et r; le rapport - est constant, et nous avons par F

conséquent en même temps r—0, $ —0; ce qui prouvé que le cëntre d'ostillation, lé centre de gravité, et le point de suspetision, sütit dans une seule et mêmi ligne droite d'où il résulte s = r; et

Âa 4 Bb: + Ce

FTUATFBEOR Le même gente de raisonnement s'applique éxactement,; quel que soit le nombre des molécules. Donc; pour trouver le centre d’oscillation d’un système de molécules ou de corps, il faut multiplier le poids de chacune d'elles par le carré de sa distance au point de suspension, et diviser la somme de ces produits par celle des poids mulupliée par la distance du centre de gravité au centre

de suspension ; le quotient exprime la distance du centre d'oscillation au point de suspension mesurée sur la droite menée par le centre de gravité et ce point.

Pour rendre l'expression ci-dessus homogène à celles des articles précédens, nommons $S le point de suspension, O le centre d’oscillation , ou SO Ja distance du centre d’oscillation au point de suspension; soit ds la différentielle du corps à la distance x, la formule cidessus devient alors

Proposons-nous pour exemple de trouver le centre d’oscillation d’une ligne droite, ou d’un cylindre suspendu à à un point.

Dans ce cas

C'est-à-dire que le centre d’oscillation est aux 4 de toute la longueur, à partir du point de-suspension. Si du centre d’oscillation nous faisons le point de suspension ; le point de suspension deviendra le centre d'oscillation. | |

Les centres d'oscillation pour différentes figures yibrantes sont, comme on le voit ci-dessous, savoir :

Nature de la figure.

Triangle isocèle. .

Suspendue par le sommet.

3 de sa hauteur.

Parabole commune. de sa hauteur.

ss... 7

—s X Ja hauteur.

Toute parabole. ...........

Comme dass les figures mues latéralement ou par côté, le mouvement se fait autour d’un axe perpendiculaire au plan de la figure, il est difficile de trouver le centre d’oscillation, parce que toutes les parties du poids, dans le même plan horizontal, ne se meuvent pas avec la même vitesse en raison de leurs distances inégales du point de suspension, C’est ce qu a démontré Huy gens dans son /Zorol. oscil. nl trouve, dans ce Cas, la distance

du centre d’ oscillation au- PS de |’ axe, . say oir :

Dans un cercle..... DDR 3 du ddtre.

ss.

Dans un rectangle suspendu | ] L .. 3 de la diagonale,

par un angle.

Dans une parabole + tt

5 1 : - axe 3 param, par son sommet 7 F- 3 P:

La même perdue par le +. axe ++ param.

milieu de la base.

3 arc X rayon

Dans un secteur de cercle... LD pe 4 corde

(rayon base}

baxe

Dans DUNCONDe en. ?axe+

Dans une sphère... ......,...: +2 où rest le rayon, et g—=a—+r le rayon ajouté à la longueur a du fil par lequel elle est suspendue.

Emerson , dans sa Mécanique, place le centre d’oscillation d’un cône aux + de son axe, à compter du sommet ; partant de la supposition erronée que chaque molécule, dans Ja base du cône, se meut avec la même yitesse; mais quand la hauteur du cône est égale au demi-diamètre de sa base, le centre de la base est le centre d'oscillation ; et quand le demi-diamètre de la base excède la hauteur, ce centre tombe toujours audessous de la base : ce qu'on peut déduire de l'expression donnée ci-dessus pour le centre d'oscillation d’un cône.

Le CENTRE de percussion, dans un corps en mouvement, est le point où la percussion ou le choc est le plus fort; le point dans lequel toute la force de percussion du corps est supposée réunie, ou autour duquel l'élan des parties est balancé de chaque côté de manière à être arrêté par un obstacle immuable à ce point, et à y res-

ter sans agir sur le centre de suspension.

1e Quand] le corps Ten roule autour d’un point fixe, le centre de percussion ne fait qu'un avec le centre es et il est déterminé de la même manière, savoir, en considérant le choc violent des parties comme autant de poids appliqués : à une ligne droite, inflexible, sans gravité; ÿ € ’est-à-dire en divisant ei par leurs distances du point de suspension , par la somme des forces. C’est pourquoi ce qui a été démontré plus baut pour le centre d' oscillation peut s'appliquer aussi au centre de percussion , quand ! le corps tourne autour d un point fixe. Par exemple, le centre de percussion dans un cylindre est à + de sa longueur, à partir du point de suspension; ainsi un bâton, de figure cylindrique, en supposant le centre de mouvement à la main ; frappera le coup le plus fort au point qui se trouve enyiron aux ; de sa longueur, à partir de la main.

2. Mais si le corps se meut avec un mouvement parallèle, ou qu'il meuve toutes ses parties avec la même vitesse, alors le centre de percussion est le même que le centre de gravité; car les momens sont les produits des poids et des vitesses ; et multiplier des corps d’un poids égal par la même vitesse est la même chose que de prendre des multiples égaux : mais les multiples égaux de corps de poids égaux pèsent également aussi ; donc des momens équivalens sont disposés autour du centre de gravité, et par conséquent les deux centres coïncident dans ce cas, et ce qui a été montré pour l’un sert

pour l'autre. à

CENTRE phonique (Acoust.). C'est la place où l’auditeur entend des échos polysyllabiques et articulés.

CenrTre phonocamptique. C’est la place où est l’objet qui renvoie le son.

Cenrre de position (Méc.), désigne un point d’un corps quelconque, ou d’un système de corps choisi de manière à ce que nous puissions estimer exactement la situation et le mouvement du corps ou du système par le mouvement et la situation de ce point.

Cenrre de pression, ou Meta centre d’un fluide contre

‘un plan, est le point que soutient une force égale et opposée à toute la pression appliquée contre lui, de sorte que le corps sur lequel s'exerce la pression demeure en équilibre ; c’est le même que le centre de percussion, en supposant l'axe de mouvement à l'intersection de ce plan avec la surface du fluide; et le centre de pression sur un plan parallèle à l'horizon ou sur tout plan où la pression est uniforme, est le même que le centre de gravité de ce plan.

Le cexvre de rotation spontanée est le point qui reste en repos au moment où un corps est frappé, ou autour duquel le corps commence à tourner. Dans un court écrit intitulé Specimen theoriæ turbinium , Segnes a démontré que si on abandonne entièrement à lui-même, après des mouvemens de rotation ou circulaires, tout corps de telle forme ou dimension que ce soit, il aura toujours trois axes principaux de rotation; c’est-à-dire, tous les mouvemens de rotation peuvent constamment se réduire à trois, lesquels sont accomplis autour de trois axes perpendiculaires l’un à l’autre, passant par le centre de gravité, et conservant toujours la même position dans un espace absolu , tant que le centre de gravité demeure en repos ou avance dans une ligne droite. Ce sujet est plus développé dans un des Mémoires de l'Acad. des sciences, 1761, sur l’Arrimage des vaisseaux , par A. Euler, fils du célèbre Léonard Euler. Ce dernier a écrit aussi sur le méme sujet dans les Mem. d: Berlin, 1759, et encore dans sa Theoria motus corporum rigidorum. Foyez aussi les OEuvres de d’Alembert, vol. I et IV.

Cexrne vélique ou point vélique, est le centre de gravité d’une voile équivalente , ou d’une seule voile, dont la position ct la grandeur seraient telles, qu’elle püt recevoir l'action du vent, de manière que le mouvement du vaisseau soit le même que celui qui a lieu pendant que les voiles ont leurs positions usuelles. Bouguer, dans son Traité sur les vaisseaux, publié en 1746, examine la meilleure position pour les mäts, l'extension à donner aux voiles, et les différens mouvemens de tourner par rapport aux changemens du point vélique; et la science pratique qu’il unissait à ses profondes connaissances théoriques, le rendirent capable de jeter une telle lumière sur cette question, que s’il eût continué, il aurait pu être d’une grande utilité aux navi-

gateurs pratiques.

CE CENTRER ( Opt.). Action de placer ie centre de

l'axe d’une lunette , de manière que toutes les parties du champ soient semblables et situées de la même manière par rapport à cet axe. De tous les movens emplovés pour obtenir ce résultat, le plus simple est celui de couvrir l’objectif avec un diaphragme que l’on promène sur sa surface, en le présentant au soleil : il faut alors que l’image réfléchie par la partie convexe fasse un cercle concentrique et parallèle à celui de l’image donnée par la surface concave.

CENTRIFUGE (Méccan.), force centrifuge (de centrum, centre, et de fugare, chasser). C’est celle par laquelle un mobile qui tourne autour d’un centre, fait effort pour s'éloigner de ce centre.

Pour avoir une idée précise de cette force , considérons un point matériel P attaché à un centre fixe C par un fil CP, et supposons qu’on lui imprime une vitesse quelconque dans une direction PM perpendiculaire à ce fil. Ce point matériel décrira un cercle dont le cen-

tre sera le point fixe

C, etle rayon la lon-

gueur du fil CP. Pen-

dant le mouvement,

le fil éprouvera une

tension qui sera précisément la force centrifuge. En faisant abstraction du fil, et appliquant au mobile une force égale à cette tension, et constamment dirigée vers le point fixe C, on pourra considérer le mobile comme entièrement libre, mais obéissant à l’action simultanée de deux forces , dont l’une, la force centrifuge, si elle agissait seule, l’entrainerait dans la direction PM, et dont l’autre, la force centripète, si elle agissait également seule, lui ferait prendre la direction CP, tandis que le concours de ces deux forces oblige le mobile à décrire le cercle C. Voyez CENTRAL.

CENTRIPÈTE (Mécan. ), force centripète (de centrum, centre, et de peto, je tends). C’est celle par laquelle un mobile lancé suivant une droite PM ( fig. cidessus), est continuellement détourné de son mouvement rectiligne, et se meut dans une courbe. Cette force est ioujours égale à la force centrifuge. Foyez CENTRAL

et TRAJECTOIRE.

CENTROBARIQUE (Mecan.), (de xirrper, centre, et de Bagos, pesanteur, gravité). Méthode centrobarique, ou procédé pour déterminer le volume des solides de révolution par le mouvement des centres de gravité.

Le père Guldin, jésuite, se rendit célèbre dans le XVII siècle par le théorème suivant, dont la décou-

verte fui fut ensuite contestée par plusieurs savans.

Toute figure formée par la rotation d'une ligne ou d'une surface autour d'un axe immobile, est le produit de la grandeur génératrice par le chemin de son centre de gravité.

Cette belle proposition se trouve énoncée à peu près de la même manière dans la préface du septième livre des Collections mathématiques de Pappus d'Alexandrie ; et ii paraît difficile de disculper Guldin du plagiat dont ii fut accusé. Quoi qu'il en soit, Guldin ne put parvenir à démontrer son théorème d’une manière satisfaisante ; et ce n’est qu’en l’appliquant à des problèmes déjà résolus, qu'il conclut par induction qu'il était rigoureux et général. La première démonstration géométrique qui eu fut donnée est due à Antonio Roccha, disciple de Cavalleri. Depuis la découverte des calculs différentiel et intégral, le théorème de Guldin à été démontré de plusieurs manières.

Soient x' et y’ les coordonnées du centre de gravité G d’une surface plane PMM'P' J dont nous représenterons l'aire par =; le moment de l'élément de cette surface, par rapport à l'axe des æ, est +y Xydy; mais la somme des momens des élémens est égale à celle du centre de gravité (voy. CENTRE

DE GRAVITÉ ), et nous avons

SEvdr= y. à P° P A

En multipliant les deux membres de cette égalité par 27, 7 étant la demi-circonférence du cercle dont le rayon est 1, elle deviendra

JSry?dx = ?ry'3.

Or, l'expression f'ry’dx cest celle du volume engendré par la révolution de PMM'P' autour de l’axe Ax, et 2ry'E est le produit du chemin décrit par le centre de gravité autour de l’axe Ax par la surface génératrice PMM'P', d'où il suit le théorème énoncé ci-dessus,

Pour donner quelques applications de cette méthode, proposons-nous de déterminer les volumes du cône ct du cylindre, c

La génératrice du cône est le triangle rectangle CAB, qui fait une révolution autour de l’axe AC; cette génératrice a donc pour aire + AB X AC. (J’oyez Arme.) Menows les droites BE et AF sur les milieux des côtés BC et AC, le centre de gravité du triangle | CAB est au point de concours O 2 de ces droites,etl’onaLO—1BE.

( Voyez Cenrax pe cnayisé. ) L'ordonnée du centre de

gravité sera donc la perpendiculaire OD, dont la valeur

s’obtiendra par la proportion

EO : EB :: OD : AB, ou

2209.11: OD : AB, d’où l’on tire OD — 5 AB.

Mais dans la révolution de CAB autour de AC, le centre de gravité O décrit un cercle dont OD est le rayon, et dont par conséquent la circonférence est égale à 27 X OD, où 57 X AB. En multipliant cette circonférence, ou le chemin du centre de gravité, par l'aire de la génératrice qui est + AB X AC, on aura 37. AC X AB”, pour le volume du cône. Or, r.AB° est la surface du cercle dont AB est le rayon. ( J’oyez Cercre.) Donc le volume du cône est égal au tiers du produit de sa base par sa hauteur.

Le cylindre étant produit par la révolution du rectangle ABCD autour de l’axe AB, et l’ordonnée GE du centre de gravité G de ce rectangle étant égale à + AC, le chemin décrit par le centre de gravitéserar.AC.Multipliant cette expression par l'aire de la génératrice qui est égale à £B K AC, r.AC X AB, pour le volume du cylindre, c’est-à-dire que

nous aurons,

ce volume équivaut au produit de sa base par sa hauteur.

Lorsque la génératrice est une ligne, sa révolution autour d’un axe produit une surface à laquelle le théorème s'applique également. ( Foyez Poisson, Traité de mécanique statique, 114.) Varignon a fait plusieurs applications curieuses de cette propriété du centre de gravité, dans un mémoire intitulé : Réflexions sur l'usage que la mécanique peut avoir en géométrie, et inséré dans les Mémoires de l'Académie pour 1714.

CÉPHÉE ( Astr. ). Nom d’une constellation boréale composée de 35 étoiles, dans le catalogue britannique. Elle est située entre le Dragon et Cassiopée. Voyez Prancne IX.

CERBÈRE ( Astr. ). Nom d'une constellation boréale introduite par Hévélius. Flamstead l’a adoptée dans son catalogue, et elle est figurée à côté d'Hercule dans son Atlas céleste. Cette constellation renferme seulement quatre étoiles qui sont aux environs de la main d'Hercule.

CERCLE (Gcom.). Figure plane terminée par une

ligne courbe dont tous les points sont à égale distance d'un point pris dans l’intérieur de la figure, et qu'on nomme le centre.

Le cercle est la seule figure plane curviligne dont la géométrie élémentaire s'occupe, et les anciens géomètres ne donnaient le nom de constructions géométriques qu'à celles qui peuvent s'exécuter à l’aide de la ligne droite et du cercle. Plusieurs problèmes fameux dans l'antiquité, tels que la quadrature du cercle, la duplication du cube et la trisection de l'angle n’ont conservé la popularité dont ils jouissent encore aujourd'hui parmi les personnes les plus étrangères aux mathématiques, que par l'aveugle obstination avec laquelle on s'est efforcé de les ramener dans le champ borné des constructions géométriques élémentaires. Nous devons faire observer à cette occasion qu'il ue faut pas considérer comme une imperfection de la science l'impossibilité où elle se trouve de satisfaire à des exigences qui n’ont rien de rationnel : la véritable imperfection, ou plutôt l'ignorance, réside dans les efforts infructueux qui ont été faits pour résoudre avec. la ligne droite et le cercle des questions qui sont du ressort d’une géométrie plus élevée.

Le cercle est donc une des figures les plus importantes de la géométrie élémentaire ; et, sans rappeler i ici les définitions que nous avons données ailleurs, ainsi que les noms que prennent les lignes droites dans leurs rapports avec sa circonférence (voyez Norions PRELI- MINAIRES, n° 42), nous allons exposer les théorèmes principaux qui le concernent.

Turoxème. La perpendiculaire abaïssée du centre d'un cercle sur une corde , partage cette corde en deux parues égales.

Soit le cercle À, la perpendiculaire AM menée du centre sur la corde BC, partage cette corde en deux parties égales.

Car en supposant les rayons AB, AC, le triangle BAC est isocèle, et par conséquent la perpendiculaire AM menée

du sommet à la base BC, partage cette base en deux parties égales. ( 7’oyez IsocÈre. )

Tuéonème. Dans un méme cercle ou des cercles égaux, les cordes situces à égale distance du centre sont égales. Boss

Soient le cercle O et les deux cordes AB, CD, situées à égale distance du centre de ce cercle, ces cordes sont égales.Carsi on suppose menées les perpendiculairesOM, ON. ces perpendiculaires seront égales, puisqu'elles sont les distances du centre O aux cordes AB, CD , et de plus

elles partageront ces cordes en parties égales (1); supposant de plus les rayons” OA, OC, on pourra considérer ces rayons comme

deux obliques égales par

a D «M HAE p< R

rapport aux perpendiculaires égales OM, ON : ces obliques s’écartent donc également de leurs pieds :

AM est donc égal à CN; mais AM, CN sont les moitiés des cordes AB, CD.

Donc ces cordes elles-mêmes sont égales.

3. Tnéorème. De deux cordes inégalement éloignées du centre d'un cercle, La plus proche est la plus grande, et réciproquement.

1. Soit dans le cercle O les deux cordes AB, AC, inégalement éloignées du cen-

tre, de manière que AB soit la plus proche; elle sera la plus

longue; Car si on mène les deux

perpendiculaires OE, OD, on

aura