AE >> AD

Or, AE, AD, sont les moitiés des cordes AB, AC (r); donc aussi AB est plus grand que AC.

Soient dans le cercle O les cordes AB, AC, de ou e que AB soit plus grande que AC. Elle sera plus près du centre;

Car, si cela n’était pas, sa distance au centre ne pourrait être que plus petite ou égale à celle de l’autre. Mais dans le premier cas, d’après la proposition directe elle serait la plus petite, et dans le second cas elle serait égale à l’autre, ce qui est également contre l'hypothèse. Elle ne peut donc être que la plus proche du centre.

4. Corozvarre. On peut conclure de cette proposition la réciproque de la précédente, c’est-à-dire que les cordes égales dans un méme cercle ou dans des cercles égaux sont à Cgale distance du centre;

Car il est évident qu'on ne peut le supposer autrement.

5. Turonèmr. Dans un méme cercle où dans des cercles égaux, les arcs égaux sont soutendus par des cordes égales , el réciproquement.

1”. Sotent les deux cercles O , o égaux, et les deux

arcs égaux ACB, acb : les cordes AB, ab qui soutenden: ces arcs sont égales; car si l’on conçoit le cercle O su”

perposé au cercle o, de manière que les deux points A, a coïncident, ces cercles étant égaux coïncideront dans toutes leurs parties, et par conséquent les circouférences ACB , acb se confoudront; mais puisque le point A coïncide avec le point a, et que les arcs ACB, acb sont égaux, le point B coïncidera avec le point b, et les deux cordes AB, ab, ayant leurs extrémités confondues , evincideront parfaitement, et sont donc égales

2°, Soient dans les cercles égaux O, o les cordes égales AB, ab. Les arcs ACB, acb soutendus par ces cordes sont égaux ;

Car si l'arc acb w’était point égal à l’arc ACB, on pourrait en concevoir un autre ac, plus grand ou plus petit; qui le serait; et alors menant la corde &m, d’après ce qui précède, on aurait

AB = am.

Mais am est plus près ou plus éloigné du centre que &b; dans le premier cas on aurait

am > ab, et dans le second (2) am < ab.

On en conclurait donc dans le premier cas

AB < ab, et dans le second AB > ab,

ce qui est également contre l'hypothèse. Donc l'arc ACB ne pouvant être ni plus grand ni plus petit que l'arc acb, lui est égal.

6. CorozLaimE. La perpendiculaire menée du centre d'un cercle sur une corde, partage l'arc soutendu en parties égales ( fig. du n° 1).

On a démontré, n° 1, que cette perpendiculaire partageait la corde BC en deux parties égales. Donc, puisque BM — MC, en supposant menées les cordes BD, DC, ces cordes seraient égales, et par conséquent les arcs soutendus égaux : le point D est donc le milieu de l’are BDC.