Tüéorème. Les cordes parallèles interceptent dans

cercle des arcs égaux.

CE 207 Soient les cordes parallèles AB, CD, dans le cuicie O, Les arcs AC, AD, qu'elles interceptent; son: égaux ; Car, en supposant menée la droite CB, on aurait les angles BCD, ABC qui auraient pour mesures les moitiés des arcs BD, AC, qu'ils interceptent (voy. ANGLE O).

Mais ces angles sont égaux internes.

comme alternes Donc les moïitiés des arcs AC, BD, sont égales, et par conséquent ces arcs eux-mêmes sont égaux.

S. Taronème: Lorsque deux cercles se coupent, la droite qui joint leurs points d'intersection est partagée en deux parties égales et à angles droits par celle qui joint leurs centres.

Soient lés deux cercles A; B; qui se coupent aux points GC, D, la drusite CD qui joint leurs points d’intersecton est parti- £ gée en deux parties r égales et à anples  ; droits, par la droite &

ABquijointleurscen- "D

tres : car ie centre A

estégalement éloigné des d ux points C, D, extrémités de Ja Jroite CD, 6es points se trouvant sur la circonférence de son cercle; par la même raison, le centre B est ass! également éloigné de ces deux extrémités. Donc la droite AB ayant deux de ces points également éloignés des extrémités de la droite CD, lui est perpendiculaire, et la partage en deux parties égales. Foy. PERPENDICULARE.

9. Tuéorèue. Par trois points dorines qui ne sont pas en digne droite, on peut toujours faire passer une circonférence de cercle.

Soient les trois points À; B;, C qui ne sont pas en ligne droite, on pourra toujours faire passer une cir: conférence de cercle par ces trois points.

Pour le prouver, il ne s’agit que de faire voir qu’il existe un point à égale distance des points donnés À, B, C. Or, si l’on eonçoit ces points joints par les droites AB, BC, et que sur les milieux dé ces droites on ait élevé les perpendiculaires EO, DO, cés perpéndiculaires se rencontréront nécessairement en un point quelconque O, car elles ne peuvent être parallèles, puisqu'en menant la droite ED, la somme des angles internes OED , EDO est évidemment plus petite que deux angles droits. Mais le point O, comme appartenant à la perpendiculaire EO, est également éloigné des deux

points À, B, et, comme appartenant à la perpendiculaire DO, il est également éloigné des deux points B, C : donc il est également éloigné des trois points A, B, C,et par conséquent c’est le centre de la circonférence qui passerait par ces points. On se sert de cette construction pour trouver le centre du cercle qui doit passer par trois points donnés.

10. CorozLatrE. La perpendiculaire élevée sur le milieu d'une corde passe par le centre du cercle ;

Car les droites AB, BC, deviendraient des cordes si on faisait passer une circonférence de cercle par les trois points A, B, C.

11. ScoutE. On peut conclure des numéros 1,6 et 10, que le ceutre d’un cercle, le milieu d’un arc et celui de la corde qui le soutend, sont en ligne droite, et que par conséquent , en faisant passer une ligne droite par deux de ces points, elle passera par le troisième.

12. Turorème. Un triangle quelconque peut étre inscrit et circonscrit à un cercle.

Soit un triangle quelconque ABC; ce triangle peut être inscrit et circonscrit à un cercle.

D'abord il peut être. inscrit, puisqu'on peut toujours faire passer une circonférence de cercle par trois points qui ne sont pas en ligne droite (9).

Il peut être aussi drconscrit, car si l’on suppose les angles À, B, divisés en deux parties égales par les droites AO, BO, le point O, rencontre de ces deux droites, est à égale distance des trois côtés du triangle.

Pour le prouver,

supposons menées les droites Oa, Ob, Oc, perpendiculaires aux côtés AB, BC, AC, et le triangle BO& transporté sur le triangle BOb de manière que le côté BO reste commun : alors, comme par construction, l'angle OBa est égal à l'angle OBb, le côté Ba prendra la direction du côté Bb; mais ces deux triangles étant rectangles, le troisième angle BOa est égal au troisième angle BOP, et par conséquent, à cause de l'égalité de ces angles, le côté Oa prendra la direction du côté Oh. Donc le point «a devant être en même temps sur les directions des droites Ab, Ob, ne peut tomber qu’au point à commun à ces deux droites; donc les deux perpendiculaires Oa, OL coincideront parfaitement et sont égales.

On démontrerait de même que Oa, Oc, et par conséquent que les trois perpendiculaires Oa, Ob, Oc, sont égales.

On peut donc faire passer une circonférence de cercle

par les trois pointsa, b, ce, et alors les trois côtés du

CE

triangle ABC étant perpendiculaires aux extrémités des rayons Oa, Ob, Oc, seront des tangentes, et ce triangle sera circonscrit. Donc, etc.

13. Tuéorème. Un polygone régulier, d’un nombre quelconque de côtés, peut étre inscrit dans un cercle.

Soit le polygone régulier ABCDEF, Il peut être inscrit dans un cercle;

Car si des points M, N, milieu des côtés AB, BC, on suppose élevées les perpendiculaires Mo, No, à ces côtés, le point d’intersection O de ces perpendiculaires est le

centre de la circonférence (9) qui passerait par les trois points A,B, C.

Il ne s’agit donc que de prouver que les autres sommets D, E, Fse trouvent sur cette circonférence, ou qu’ils sont également éloignés du point O. Pour cet effet, supposant menées les droites AO, BO, CO, etc., les deux triangles OAB , OBC auront les deux angles AOB, BOC égaux, puisque ces angles ont leurs sommets au centre d’un même cercle, et qu'ils interceptent des arcs égaux AB, BC, sur la circonférence; la somme des deux angles OAB, ABO du triangle OAB, sera donc égale à la somme des deux angles OBC, BCO du triangle OBC (52); mais ces deux triangles sont isocèles par construction, puisque les trois côtés OA, OB, OC, sont rayons d’un même cercle; on a donc

OBC — BCO et OAB — ABO, donc OBC + BCO — OAB + ABO est la même chose que 20BC — 2ABO, d’où l'on conclut

OBC — ABO.

La droite OB partage donc en deux parties égales l'angle B du polygone; mais l'angle OBC étant égal à l'angle BCO, ce dernier sera aussi la moitié de l’angle B ou de son égal C, et par suite l'angle OCD sera l’autre moitié.

Donc si l’on suppose le triangle OBC transporté sur le triangle DOC, de manière que le côté OC reste commun, le côté BC prendra la direction du côté CD, à cause de l'égalité des angles OCB , OCD; et comme de plus ces côtés sont égaux, le point B tombera sur le point D, et le côté OB ayant ses extrémités confondues avec celles du côté OD, lui coïncidera parfaitement: ces

deux côtés sont donc égaux,

CE

On démontrerait de même que OD—OE—OF= etc.

Donc tous les sommets du polygone sont également distans du point O, et par conséquent la circonférence ABC devra passer par tous ces sommets, et ce polygone peut donc être inscrit.

14. Scoue. Les angles AOB, BOC, COD, etc., se nomment angles au centre du polygone; ils sont tous égaux puisqu'ils interceptent des arcs égaux , et ilssont équivalens au quotient de la division de quatre angles droits par le nombre des côtés du polygone :car la somme de tous ces angles équivaut à quatre angles droits, puisque cette somme a pour mesure la circonférence entière, et qu’il y en a autant que de côtés de polygone.

Par exemple, l'angle au centre de l'hexagone régulie est équivalent à 4 ou 3 d'angle droit.

15. Tuxonème. Un polygone régulier d'un nombre quelconque de côtés peut étre circonscrit à un cercle.

Car soit le polygone régulier ABCDEF, nous avons démontré (13) que ce polygone pouvait être inscrit; donc tous les côtés AB, BC, CD, etc., peuvent êtreconsidérés comme des cordes égales ; mais alors ces cordes sontégalementéloignées du centre (4), et

par conséquent les perpendiculaires om, on, op, etc., que l’on peut concevoir menées du centre sur ces côtés sont égales, et les points m, n, 0, p, etc., sont également éloignés du centre 0. On peut donc par tous ces points faire passer une circonférence de cercle : alors tous les côtés du polygone seront des tangentes, puisqu'ils sont perpendiculaires aux extrémités des rayons, et le polygone sera circonscrit.

Un polygone régulier peut donc toujours être circonscrit à un cercle.

16. ScoLiE. Dans un polygoné régulier les centres des cercles inscrits et circonscrits sont le même point.

La perpendiculaire om, qui est le rayon du cercle inscrit, se nomme aussi l’apothéme du polygone.

17. Tuéorème. Dans un demi-cercle, si de l'extrémilé du diamètre on mène des cordes, et que de l’autre extrémité de ces cordes on abaisse des perpendiculaïres sur le diamètre, les carrés de ces cordes seront entre «uæ comme les segmens adjacens.

Soit le demi-cercle ABCE ; si de l'extrémité À du diamètre, on mène les cordes AB, AC, et que de l’extrémité de ces cordes on abaisse sur le diamètre les perpendiculaires BF, CG, on aura