m+1) Gino ttc is

faisant donc x — betm—a, les seconds membres de (2) et de (4) deviennent identiques, et l’on à nécessairement (5)

pa far dr =bii,a-tit, =)

ER SE * a =}, b=—;

Pour les valeurs déterminées p=2, LR

cette intégrale devient (6)

à cause de

d’où 1 + (—37* f=o(:) |

Or, lorsque x = 1 est le sinus d’un arc, l'intégrale est la valeur de cetarc, alors égal à + #,car en différentiant l'égalité

CE Ainsi dans Je cas de x = 1 , nous avons de ps |

Vas.

#=[@ LR T

et par conséquent

d’où enfin TC

Cette élégante expression de 7 nous apprend que ce nombre est une quantité irrationnelle d'un ordre supérieur aux irrationnelles élémentaires.

34. Jean Bernouilli, par la considération des logarithmes des quantités dites imaginaires, est arrivé à une expression de 7 également remarquable : c’est la suivante :

1, log. Vs ? V3

C'est en faisaut observer qu’il entre dans cette égalité

des logarithmes qui sont déjà des fonctions dérivées, et que pour obtenir l'expression théorique d’un nombre (ce qui constitue sa nature), il ne faut employer que des fonctions élémentaires entièrement primitives (l'addition, la multiplication, les puissances et leurs inverses), que M. Wronski parvient à la belle expression

Le) ss —

Her Vers CV — a) — (iv —:1)°

qui ne contient plus en effet que des fonctions primitives et qui dévoile la nature entièrement transcendante de ce fameux nombre. (Vov. /ntroduction à la phil. des math. , page 26.)

Æn développant les binomes( (HV GevMEsf

par la formule de Newton, on retrouve la série de Leibnitz.

35. Pour compléter, autant que la nature de cet ouvrage nous le permet, ce qui a rapport au cercle, nous ne devons pas passer sous silence les produites continues de Wallis. Ce célèbre géomètre a trouvé