Ë COL A
Ai GO —
De plus, les angles GOk et AOy ainsi que les angles: AOGet AOy, sont supplémens l’un del'autre; on a donc
sin GOA — sin kOy
CH
sin AOy = sin AOG = sin (GO4 — hOAÿj.
D'où (Foy. Sinus) sin AOy — sin GO. cos AOA — sin AOA. cos GO
et, substituant les valeurs de sin GOZ et de cos GO ,
—-, cos AOA DM
ee PE sin AOA
sin AOy — Le triangle AO étant rectangle en , les deux angles AOA et OA sont complémens l’un de lautre. Ainsi, ayant désigné OA par @, nous avons
cos AOA — sin ét Sin AOA = cos?, d’où : Æ dx . dy sin AOy= Te » Sin®— 7 cos ?.
Etenfin, en substituant les valeurs précédentes dans (a), on obtient (b)
dredr dy ni ST 2 snpE 5 COS @:
De cette dernière proportion, on tire (c)
é d S—=nSINŸ —n ——
dx SP:
En différentiant l'équation (c), elle devient
ds——n T cos ?.
dx Mais pas la nature du triangle élémentaire »ny, on a aussi.
ds — Vdx'+dy..
Donc, Var = n0T. 606 4 HE ,
D où l’on tire facilement
À EE nos pa
Intégrant cette dernière équation, on obtient
Y=—n cos ? 17128. it
qui, en mültipliant par dx et dégageant le rapport
pl < A devient ( /)
dy V{C—r)—n0c0s?
dx n cos @ |
Nous déterminerons la constante C en remarquant qu’au point A ,ona
X—= 0,7 —0 €t dy —= tango.
Ces valeurs substituées dans (d) donnent ntang . cos ? — VC cos’?
ou, à cause de tängÿ. cos à — sii @(Poÿ. Sixvs), n sin ÿ = V/Ü—rc05@ Élevant au carré, ôn obtient sin 9 — Crncos 9 et par conséquent,
Ch" sing—cos ?)=7?*
Ainsi C = n et l'équation différentielle de la chainette, est définitivement (e)
dy LV (a—yÿ cos g dx A COS ® :
Pour intégrer cette équation ; faisons
N—Y=3, n COS —IM
now aurons dy = — d, et elle deviendra indé dx = — —— VE —7r
Sous cetté forme, l'intégrale est (log. désiguant le logarithme naturel),
x=m log nc — V3 ns |+ C.
Ainsi , en remettant pour z et 72 leurs valeurs, on a X=n cos @ log[ (unir cure | +C.
Pour déterminer la constante C, faisons æ — 0 et !
y = 0 dans cette dernière équation, et nous obtien-
drons = — A COS @. Log[ x (1— Vi cor) |,
d’où résulte pour l'équation élémentaire de la chaînetter l'expression (f)
(n —y) =V{n—r) Pan LEee)
æ=ncoseog|
de laquelle on peut aisément déduire toutes les propriétés de cette courbe. Nous verrons ailleurs qu’elle est rectifiable et quarrable. Voy. QUADRATURE et RECTIFICA-
