I. Supposons d’abord qu'il s'agisse de développer en

quelconque, ou, comme on le dit, uñe quantité variable.

série la quantité , dans laquelle æ est un nombre

Nous poserons l'égalité (a) re =A + Bx + Ca + Ca Dot HE Letc....

et A, B, GC, D, etc., seront donc les coefficiens dont il faut déterminer la valeur,

Avant de poursuivre, nous devons faire observer que la forme de l'égalité (a) n’est point arbitraire, mais qu’elle est fondée sur la proposition suivante dont nous

donncrons ailleurs la démonstration.

Une fonction quelconque d'une quantité variable

x peut toujours étre développée en série procédant sui-

vant les puissances progressives de x, c'est-à-dire @x

étant une fonction quelconque de x etA,, A,, A, etc.

des quantités indépendantes de x, maïs déterminées par la nature de La fonction, on a (2)

pr =Aÿ+A,x+A,x + ATH Ari Letc...

Oéti posé ; et la forme de l'égalité (a) ainsi légitimée (voy. Foxcrio x), multiplions les deux membres de cette

égalité par b+x, et faisant passer ensuite a dans le second membre , nous aurons (b)

0 = Ab + Bbx + Cbx? + Dbx3 + Ebxi— etc.

—a + Ax + Bz + Cri + Dri + etc.

L’éfalité (a) devant subsister quellé que soit le valeur de x, il en est nécessairement de méme de cette dur. nière ; mais lorsqu'on fait x=—6 elle devient Ab—a—o,

d’où l’on tire À = nm .

donc cette valeur de A dit restér la ième pour toute autre valeur de x, ét pair conséquent Ie preltiiér coëfficieut Se trouve ainsi déterminé: Rétrañchatt dans (D) les quantités Ab; et==a qui se détruisent, cetté équation se réduit à:

0 — Bbx + Cha? + Dr + Ebri + Fbx L etc.

+ Ax + Baf L Cr + Dai + Ex + etc., ou , divisant par æ, à (c)

o — Bb + Chr À Dh + Fr À TEA ele :

+ A + Br + Cr + Dr + Exf etc Cetté équation deVant encore Subäicter pour toute valeur

de x, faisons x—o et nous aurons

Be + À O0, D'où À B— = pa et enfin a B=— Re 7e

en substituant À fa place de À, sa Valeur Ÿ trouvée ci- »

dessus.

Retranchant B5-HA=0 de (ec) ct divisant par æ, il nous restera (d) = Cb + Dbx + Eba? + Fbaxÿ + Gbzf — etc.

+ B + Cx + Dar + Ex + Fri + etc.

faisant de nouveau x—0 , nous aurons Cb + B= o d'où B,A4& C—=— 3 =5

- , a en substituant à la place de B sa valeur — -—.

Il est évident qu’en continuant de la même manière nous tomberions sur les égalités

Dr +C—=0o Eb + D —=o Fb+E —o etc. = etc.

à l’aide desquelles les coefficiens D, E, F, etc., se trouxent déterminés.

Remplaçant dans (a), À, B, C, D, etc, par leurs valeurs, nous aurons définitivement (71)

a [74 sb ut pe — 57 a + etc...

ce qui est le développement demandé.

En se reportant à l'équation (b), on voit aisément que la marche que nous venons de suivre se réduit à égaler séparément à zéro les quantités qui multiplient une même puissance de x; et, en effet, il faut nécessairement que ces quantités soient toutes o pour que cette équation puisse subsister daus toute sa généralité, c’està-dire x étant une quantité quelconque.

Si dans l'expression (m)nous faisonsa=1 , elle devien-

I ; ee dra, pus étant la même chose que (b4+x) o —{ ï TZ “2 x° x4 G+x) Rp pal pe lp els)

ce que nous obtiendrions également en développant

ainsi qu’on arrive aux mêmes résultats par des procédés

‘ par la formule de Newton (v0y. Binome). C’est

pien différens, et que se manifeste la certitude de la

science.

IT. Appliquons maintenant la méthode des coefficiens indéterminés à des questions plus importantes, et commençons par la détermination des quantités À,, À,,A,, A,, etc., qui entrent dans le développement général (z) de toute fonction en série ; soit donc (1)

px—=A,+ A,;x + A,at + A;xi LA ri etc...

si, dans cette expression nous faisons x—o, nous aurons

CO le point placé sur x indiquant qu'il faut faire æ=o dans la fonction gx pour obtenir la valeur de A. Prenant ensuite la différeutielle des deux meinbres de

l'égalité

(1), nous obtiendrons dx = Aidx + 2A,xdx +3A,x'de + 4A aux + etc.

et, divisant par dx, (2)

d = A:+2A,x+3A;x + 4A,t + etc.

cette égalité devant aussi avoir lieu quel que soit x, on

a, en faisant x=0,

Différentiant de nouveau les deux membres de l’égalité (2) et divisant ensuite par dx, nous aurons (3)

d PT OA, pasle 3. (A mé At Det

dx?

ce qui donne , en faisant x—0,

do 2dx*

Aa

Différentiant encore les deux membres de (3) et divisant par dx, nous trouverons aussi dx

és = 2.3A5+2.3.4A4x+3.4.5A x etc.

d’où nous tirerons, en faisant x—0,

Do

Às 2.342

Il est évident qu’en poursuivant de la même manière nous obtiendrons successivement

d'gx = 2.3.4dxt?

too PATENT LA etc. etc.,

et en général, # étant un indice quelconque,

Fe d'où Fo .23.4. (1). pe dE”

substituant ces valeurs dans (1), nous avons enfin (n)

Le æ

qu=qu+ HET, a

de 1.2

dx x “da 1.2.

mie

dont la loi est manifeste, ainsi, ilsuffit de savoir prendre les différentielles successives d’une fonction quelconque pour obtenir son développement en série.

Soit, pour fixer les idées, x—(a+x)", nous aurons (voy. DirFÉRENTIEL)

co

ee = m(a+zx}r-1,

LCR ca = m(m—1)(a 4x):

LORD nms)(m—)(a+a—, CL. etc.

faisant dans toutes ces expressions x—0o, et substituant dans (7) en observant que

gi =(a+ à)" =a, nous aurons

(a + x)r — am + man—1 2 + a am—222 m(m—1)(m—)2)

am—3x3 + etc...,

c’est-à-dire le binome de Newton.

Or, comme les expressions précédentes sont indépendantes de toute valeur particulière de #2, le binome de Newton se trouve ainsi démontré pour un exposant quelconque.

La loi générale (7), dont nous venors de donner une déduction, est connue sous le nom de théorème de Maclaurin, nous verrons ailleurs en exposant le ‘hcorème de Taylor{voy. ce mot), qu’elle n’est qu’un cas particulier de ce dernier.

II. Une fonction quelconque d’une variable æ pouvant être encore développée en série, procédant suivant les factorielles progressives xl, x?*, x3l:, etc., de la variable, cherchons maintenant la loi des coefficiens de ce développement. Nous poserons donc (1)

dx =A,+A,xtls+ A als HA ,xsls E Aile etc.

Prenant les différences successives des deux membres de cette égalité, en prenant = pour l’accroissement de la variable # (voy. Dirrérence), nous aurons les égalités

Aÿx —7A;—+923A,xti + 3zA ,x21:Letc....

Mr = 27%À,+4 9.37" Arts 3./4zA,xtl: E etc.

Apr = 2.37/À, + 2.3.425A xls +

+ 3.4.5 A xl: L etc. ...

Afpx — 2.3.47AÀ, + 2.3.4.5z4A ils + 3.4.5.623A xl Letc..

etc. CO

faisant dans toutes ces égalités, à commencer par (1), x=0, nous obtiendrons

Aie 27?

Az me 2:32 etc. , etc. ,

et en généra', 72 étant un indice quelconque 2 q q ?

ArQX DDR LT

mm

le point placé sur x indiquant, comme ci-dessus, qu’il faut faire æ—0o après avoir pris les différences. La loi demandée est donc (2)

k Apt xl | A als TT = TX se —— —— # ? EH FA I 2? 1.2 Aÿx al:

——. —; etc LA z4 1:23 sr

Lorsque l'accroissement z est infiniment petit, les factorielles deviennent de simples puissances et le développement (2) se réduit à celui de Maclaurin qu'il embraste ainsi comme un cas très-particulier, quoiqu’ilne soit lui-même que le cas le plus simple de la formule donnée par M. Wronski, pour le développement des fonctions en séries (voy. Facurrés et Séries). Nous nous contenterons ici d'appliquer cette loi au binome des factorielles , soit donc

gx = (a+).

Quelles que soient les quantités a, x, m, =, nous avons, # étant un nombre entier quelconque, (voy. Dirré- RENCE)

Aa) = m(m—i)...(m—u+i)atc)-#zs,

et, par conséquent »P ;

gi = a"t, Aÿx = — mails, A°Dx és = m(m—1)a"—21, etc., etc.

substituant dans (1) nous aurons donc (a + Cyr = al: + man—1l: œil: +

+ DATE) am-als, xls, etc...

etle binome des factorielles se trouve ainsi généralement

démontré.

Nous donnerons dans plusieurs articles d’autres applications de la méthode des coefficiens indcterminés (voy. FRACTIONS CONTINUES , SERIES RÉCURRENTES); Ce qui pré-

sres) CO

cède est suffisant pour montrer la haute utilité de cette méthode, qu’on peut appliquer à la recherche des lois les plus générales de la science.

COEUR pu on, où RecuLus (Astr.). Étoile de la première grandeur , dans la constellation du Lion. Foy. RecuLus.

COEUR 5e ’uspre (Astr.). Étoile de la seconde grandeur, dans la constéllation de l’Æydre. PVoy. ce mot. :

COIHÉSION (Mec). Force qui unitles parties des corps, les retient ensemble etles constitue en une même masse.

COIN {Héc.). Prisme triangulaire de fer que l’on fait entrer par uue de ses arètes dans la fente d’un corps pour en augmenter Pouverture. L'arète qui pénètre Je corps se nomme le tranchant du coin, la face opposée en est la téte, etes deux autres faces quadrangulaires er sont les cotes.

Le coin étant frappé sur sa tête (voy. PL. XVII, fig.) reçoit une impulsion que nous supposerons perpendieulaire, où agissant suivant la droite BE. Cette impulsion tendant à écarter les côtés de la fente re put être contrebalancée que par l'adhérence mutuelle des particules qui composent le corps; mais comme cette adhérence n’est pas la même dans toutes les substances, il devient impossible d'évaluer en général le rapport de la puissance à la résistance dans cette machine, que l’on compte parmi les six puissances mécaniques élémentaives. Nous pouvons seulement chercher le rapport de la puissance aux pressions exercées sur les côtés du coin.

Soit donc A BC le profil du coin ; représeutons par la droite arbitraire DO la force qui tend à le faire pénétrer, et ayant mené sur fes côtés AC, BC, les perpeudiculaires DE et DFE, achevons le parallé- Jlogramime IDHO , en représentant par DI et Dit

ies pressions exercées sur C

les côtés. Nommous donc F la force et P et P' ces pressions; les triangles semblables ABC , IDO , nous donnerGnt

DO : DI :10 :: AB : AC : BC où , en remarquant que IO—DH, :

F:P:P':: AB :AG:RC, nous aurons donc aussi, H étant un nombre quelconque, F:P:P'::H X AB:HX AG:}H X BG,

mais si H représente la largeur du coin, H % AB sera

CO la surface de la tête, ét H X AB, H % BC les surfaces

des côtés; ainsi la puissance F etles efforts P et P', qui agissent sur les côtés du coin, sont preportionnels à sa tête et à ses cotés.

Il suit de cette théorie que plus le coin deviendra tranchant et plis a mênre puissance acquerra d'avantage sur les résistances, et plus, par conséquent, le coin trouvera de facilité à s’enfoncer.

Nous avons supposé que la force agissait perpendiculairement à la tête, et il suffit en effet &e considérer ce cas ; car lorsque la force agit obliquement on peut la décomposer en deux autres, lune perpendiculaire à la tête du coin et l'autre dirigée dans son plan : or, comme cette dernière force ne tend qu’à faire glisser la puissance sur le plan de la tête, elle demeure sans action sur la résistance.

COÏNCIDER (Gcom.). Lorsque deux lignes ou deux surfaces appliquées l’une sur l'autre se confondent de manière à ne former qu’une seule ligne ou qu’une seule surface , on dit qu’elles coëncident.

La coincidence désigne donc une égalité parfaite dans les figures ; et tous les géomètres, d'après Euclide, dé: montrent la plupart des propositions élénrentaires par le seul principe de Ix coïncidence ou superposition.

COLLIMATION {Opr.) (de colimo, je vise). Nom dela ligne optique, supposée passer par les deux pinules d'un graphomètre lorsqu'on vise un objet. Dans une lunette, c’est l’axe optique, ou la ligne qui passe par le centre des verres.

COLLINS (Jean), géomètre anglais, né à Wood- Laton , près d'Oxford, en 1624. Il avait des connaissances étendues dans les diverses branches des mathématiques et passa surtout pour un des plus habiles calculateurs qui eüt jamais existé. Ces connaissances et la publication de quelques ouvrages sur des sujets de mathématiques 1e firent admettre, en 1€67, dans la société royale de Londres. Les relations qu’il établit alors entre les savans , par ses correspondances avec eux , l’ont fait surnommer le Jersène anglais, et comme le Françaisil servit utilement la science par l’émulation qu'il excita entre ceux qui les cultivaient. Les papiers de Collins, tombés vingt-cinq'ans après sa mort entre les mains du savaut William Jones, ont jeté du jour sur plusieurs questions controyersées et qui intéressent l’histoire des sciences mathématiques. Ils ont fourni la plupart des pièces d’après lesquelles quelques savans anglais ont voulu attribuer à Newton seul l'invention des calculs différentiel et intégral, dant Leïbnitz doit au mots partager l'honneur avec lui. (Foy. Prrrérenrrez.) Ces pièces ont été publiées sous ce titre : Comnrercium epistolicum D. Johannis Collins et aliorum de analysæ promotd, jussu societatis regiæ in lucem editum,

Londres, 1912, in-4° et 1725 in-8°. — Jean Collins,

Co

savant modeste, dont la vie fut marquée par peu d’événemens, est mort le 16 novembre 1683. Outre plusieurs dissertations curieuses dont il est l’auteur, et qu'on trouve dans les Transactions philosophiques , voici les principaux ouvrages qu’il publia : 1. Zntroduction à la tenue des livres , 1652, in-f° et 1665, avec un supplément. IL. The Sector on aquadrant, 1658, in-4°. Cet ouvrage contient la description et l'usage de quatre sortes de cadrans. IT. Za gnomonique géométrique, 1659 , in-4°,

COLLISION (Mec.), (de collisio, choc}. C’est la même chose que Cnoc. Foyez ce mot.

COLOMBE ( 4str.). Nom d’une constellation méridionale placée près du tropique du Cancer, au-dessus du Lièvre et à côté du Grand Chien (voy. Pr. X). Elle ne contient que 10 étoiles dans le catalogue de Flamstead ; mais La Caille en à considérablement augmenté le nombre, dans la description qu’il en a donnée, AMém. de l’'Acad. des Sc., 1752. La plus brillante étoile de cette constellation, marquée #, est de la seconde grandeur ; elle est visible en Europe, puisqu'elle est au mnéridien près de 7° au-dessus de l'horizon de Paris.

COLURES ( Astr.). On donne ce nom à deux grands cercles qui passent par les pôles du monde : l’un par les équinoxes, et l’autre par les solstices. Foy. ArmirraIRe.

COMBINAISON (4/g.). Réunion de plusieurs objets en groupes composés d’un nombre quelconque de ces objets. Par exemple, les cinq lettres a, b, e, d, e, étant données, les groupes ab, be, ed, de, ac, etc., formés par la réunion de ces lettres deux à deux, ou les groupes abc, abd, cbd, etc., formés par la réunion de ces mêmes lettres trois à trois, et ainsi de suite, sont les combinaisons des cinq lettres a, b,c, d,e.

Lorsqu'il s’agit de nombres représentés par des let: tres; comme les produits sont les mêmes , quel que soit l'ordre des facteurs, on ne donne proprement le nom de combinaison qu'aux groupes qui expriment des produits différens : ainsi les trois quantités À , B, C, admettent bien six arrangemens en les combinant deux à deux, savoir :

AB, BA, AC, CA, BC, CB; mais dans ces six arrangemens il n’y en a que trois : AB, AC, BC.

qui donnent des produits différens; et. c’est seulement ces trois derniers qu'on désigne sous le nom des combinaisons deux à deux des trois quantités À, B, C.

Par la même raison, quoique les arrangemens des quatre lettres À, B, GC, D, combinées trois à trois, puissent former 24 groupes, leurs combinaisons où produits différens ue sont qu’au nombre de quatre :