BA , CA, BG

des trois lettres À, B,C, chaque produit différent se trouve répété deux fois : AB, BA; AC, CA ; CB, BC, parce que deux lettres admettent deux changemens de situations. ainsi, dans ce cas, le nombre des produits ou des combinaisons est la z2ort1é de celui des arangemens. De même dans les 24 arrangemens 3 à 3 des quatre lettres À, B, C, D, chaque produit ABC, ABD, BCD, ACP se trouve répeté G fois, parce que trois lettres présentent six changemens de situation

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Le nombre des combinaisons est donc la sixième partie du nombre des arrangemens.

En général, si M exprime le nombre total des arrangemens de 7» lettres en groupes de » lettres, et si N ex-

prime le nombre des changemens de situation qne peu-

M vent admettre » lettres, — sera le nombre des combi-

N naisons » à 7 des 71 lettres.

On donne le nom de permutations aux changemens de situation des lettres entre elles , ainsi

AB, PA, sont les permutations des deux lettres À et B,

ABC, ACB, DAC, BCA, CAB, CBA

sont les permutations des trois lettres A, B, C; ct ainsi de suite.

Il s’agit donc préalablemeut de déterminer le nombre total des arrangemens que peuvent présenter plusieurs lettres, en les réunissant deux à deux, trois à trois, etc.

Or, pour former les arrangemens de trois lettres deux à deux. il est évident qu’à côté de chacune d’elles il faut écrire les deux autres; de cette manière, &, b, © , étant

ces lettres, on a al ic} ou ab, ac

1 ac | ou ba, be

c| a, b Lou ca , cb

S'il s'agissait de quatre lettres «4, b, C, 4, arrangées deux à deux, ontrouverait de même

al b,r, a} ...ab, ac, ad b{a, cd |...ba, be, bd cla,b, d| ...ca, cb ,cd

d\a, b, c} da, db, de

Pour trouver les arrangemens #rois à trois, on voit aisément que devant chaque lettre il faut écrire tous les arrangemens deux à deux de toutes les autres lettres: ainsi pour quatre lettres, par exemple, on aurait

albe, cb, bd, db, cd, de

b{ac, ca, ad, da, cd, de)

c{ab, ba, ad, da, id, db}

d\a, ba, ac, ca, bc, cb}

et, en réunissant les groupes,

abc, acb, abd, adb, acd, adc bac, bca, bad, bda, bcd, bde cab, cha, cad, cda, cbd, cdb

dab, dba, dac, dca, dbc, dcb

En général, il est évident que pour former tous les arrangemens d’un nombre quelconque de lettresen groupes de n lettres , il faut écrire devant chaque lettre tous les arrangemens #7—1 à »—1 dont toutes les autres sont susceptibles. Si nous désignons doncpar An) le nombre des arrangemens de » lettres en groupes de » lettres, et par A{n—4,m—1) le nombre des arrangemens de m—1 lettres en groupe de 2—1 , nous aurons

Ajnm) = M. Â{n=1, m—1)

Mais cette relation ayant nécessairement Keu, quels que soient les nombres 77 et n, n étant d’ailleurs plus petit que 7, nous aurons aussi

A(n—1, mt) = (m—1) Ans, m3)

Aqn—i,ms) — (1—92) Âfn 3,m—3)

A(u—3, m3) = (M—3) A(n—$, mi) etc. .. etc.

A(ns,my) = (N—p) Afin i,m—u1);

substituant successivement ces valeurs l’une dans l’autre nous obtiendrons {1)

Afn,m) = Nm—1)m—2)....(m—p) Â(n-pu-1,m-;1)

expression dans laquelle tout sera connu si nous pouvons déterminer la valeur de

A(n=u 1,mu—1)

correspondante à une valeur du nombre arbitraire ge. Or, si nous faisons &—n—2, cette quantité devient

A1, mnt 1)

c’est-à-dire le nombre des arrangemens une à une de m—n+:1 lettres, mais un nombre quelconque de lettres admet autant d’arrangemens une à une qu'il y a de lettres, ainsi

Ann) = MR,

donnant donc, dans (1), la valeur 7—2 à la quantité arbitraire # nous aurons définitivement pour le nombre total des arrangemens » à » de "1 lettres, l'expression (b)

An, m) =m{m—i\m—2)....(m—n+4+2)\m—n+1).

Dans le cas de m—4 , n—3, nous avons

comme nous l’avons trouvé ci-dessus.

Le nombre des arrangemens étant ainsi exprimé , il ne s’agit plus, pour déterminer celui des combinaisons, que de connaître le nombre des permutations de chaque groupe formant un produit distinct; c'est ce que nous allons exposer.

Les permutations d’un groupe de deux lettres se forment en écrivant chacune de ces lettres devant l’autre, comme il suit

ab, ba.

Celles d’un groupe de trois lettres , en écrivant devant chacune d’elle les permutations des deux autres

{ | LE cb:

a . abc; acb

bac, ca} .. bac, bca

c\ab, ba ...cab, cha On trouvera de la même manière les permut tions d'un groupe de quatre lettres, c’est-à-dire qu'on écrira

a bed, bdc, cbd , cdb , de, deb)

blacd, adc, cad, eda, dac, dea|

c{abd, adb, bad, bda, dab, dba)

d\abe, acb, bac, bca , cab, cha

et, en réunissant

abcd , abde , acbd , acdb, adbc , adcb bacd, bade , bead , boda, bdca , bdca cabd, cadb, chad, cbda, cdab, cdba dabe, dacb, dbac, dbca , dacb, dcba.

Ainsi le nombre des permutations de trois lettres est égal à trois fois celui de deux lettres ; le nombre des permutations de quatre lettres est égal à quatre fois celui de trois lettres, et ainsi de suite. » étant un nombre entier quelconque si nous exprimons, CN général , par pes le nombre des permutations de # lettres, nous aurons la

suite d’égalités

Ps —5P4

Ps — 6GPs

etc. etc.

Piu = (n—1)Piee Le —= nP,-1

substituant chacune de ces valeurs dans celle qui la suit, nous obtiendrons

P,= n(n—in—2).....6.5.4.3.P:,

mais Ps—9, car deux lettres n’admettent que deux permutations: ainsi cette dernière expression devient (2)

c'est-à-dire que le nombre des permutations de » lettres est égal au produit de tousles nombres naturels depuis 1 jusqu’à 7.

Si l’on demandait combien dix objets peuvent ad-

mettre de variations de positions , ou de permutations

“il suffirait donc de faire 7—10 dans (3) et l’on aurait

Ceci posé, comme le nombre des combinaisons de m lettres 7 à n se trouve en divisant le nombre total des arrangemens 7 à n, par celui des permutations des groupes de » lettres, si nous désignons ce nombre de combinaisons par C{um), NOUS aurons (4)

m(m—\)\m—92)....(m—n+#1) SNA SE Te =

C(nm) =

En faisant successivement, dans cette expression géné-

rale, n=1,n—2,n—3, etc., on trouve

mm—1) mm—i)(m—0) m(m—i)(m—2)\m—3) 2 NET ——<etc

ER EE A HEAR 2.3 à

qui sont , respectivement, les nombres des combinaisons 1à1,2à2,3à3,4à4,etc., de m lettres, et qui forment la suite des coefficiens de la formule de Newton, Voyez Binoue.

Pour donner au moins un exemple de l’application de la formule (4), supposons qu’il s'agisse de trouver le nombre des combinaisons 4 à 4, de 8 lettres; nous ferons m= 8 etn—4, etcommele dernier facteur du numéra-

teur devient 7—n—+1=8—4+1=5, nous trouverons,