AZ R'X(QQ'Q'+Q+40") B=R'X (QQ

c'est-à-dire, que R'est diviseur exact de A et B;il est donc en même temps le plus grand commun-diviseur , puisque d’après ce qui précède ce dernier doit diviser A;B,RetR'.

En continuant de la même manière, il devient évident que, quel que soit le sombre des divisions successives, lorsqu'on est parvenu à trouver o pour reste, le

co sAY

dernier diviseur est le plus grand commun-diviseur des deux nombres sur lesquels on opère.

Les applications de la théorie du plus grand commundiviseur , ne sout pas moins importantes dans l'algèbre que dans l’arithmetique. Nous allons les indiquer.

Deux polynomes étant ordonnés par rapport aux puissances d’une même lettre, tels que

(4 ai—5a+bartix—6 (2)....x—109x+30,

on désigne sous le nom de leur plus grand commun-diviseur, le polynomele plus grand, sous le rapport des puissances de cette lettre, qui les divise l’un et l’autre exactement.L'opérations’exécute d’ailleurs delamème manière que pourles nombres entiers ; seulement il faut avoir le soin, à chaque division, deretrancher les facteurs numériquesouautresquinesetrouventpasen même temps dans le dividende, et dans le diviseur : ces facteurs ne pouvant faire partie d'aucun diviseur commun ; c’est ainsi qu'en

divisant (1) par (2), nous aurons pour premier reste (3)....24x—1907+ 144,

polynome dont tous les termes sont multiples de 24. Or, comme 24 est un facteur qui n'entre pas dans (2),

il faut le retrancher; ce qui réduit (3) à (4) æ—5x +6 ;

opérant la seconde division, c’est-à-dire celle de (2) per (4), on obtient zéro pour reste, et l’on en conclut conséquemment, que x?—5x4-6 estle plus grand commun diviseur des deux polynomes proposés. Nous avons en effet

at—523+ 5x4 5x —6—(x—5x+6) (x7—1).

Le retranchement des facteurs communs à tous les termes d’un polynome, et qui ne se trouvent pas dans l'autre, est l’objet de plusieurs règles particulières qui ne sont que des conséquences de la règle générale. Elles sont exposées dans tous les traités d’algèbre. Nous verrons plus loin quelques usages importans du plus grand commun-diviseur. Foy. Eiminariox , Racixis ÉGALES.

COMMUNICATION pu mouvemenT (/éc.). Action par laquelle un corps met en mouvement un autre corps. Voy. Cuoc et Mouvemenr.

COMMUTATION (Ast.). L’angle de commutation est celui qui est formé au centre du soleil par le ravon vecteur de la terre et celui d’une autre planète, Où peut encore définir la commutation : là distance entre la terre et lé lieu d’une planète 1 éduit à l'écliptique.

COMPAGNIE, rèGrx DE comeaGnis (4ruh.), Opc-

ration qui a pour but de partager le gain ou la perte d’une association entre tous les intéressés, proportionnellement à la mise de chacun. Cette règle n’est qu’une application des propriétés des rapports géométriques (voy. ce mot); car la mise de chaque associé doit être à sa part de gain ou de perte comme la mise totale est au gain total ou à la perte. Il s’agit donc seulement de faire autant de règles de trois {voy. ce mot) qu'ily à ‘d’associés. Un exemple suffit pour faire comprendre la Marche de l'opération.

Exemple. Trois négocians ont fait un fonds de 120000 fr., avec lequel ils ont gagné 24000 fr. Combien revient-il au premier dont la mise est de 20000 fr.; au second dont la mise est de 40000 fr. ; et au troisième dont la mise est 60000 fr. ?

Comme le rapport de la mise totale au gain total doit être le même que celui de chaque mise particulière au gain correspondant, nous aurons, en désignant par Li, 2, , &, les parts demandées, les trois proportions.

120000 : 24000 :: 20000 : Lr 120000 : 24000 :: 40000 : æ, 120000 : 24000 :: 60000 : x;

D'où nous conclurons, en effectuant les calculs

PE — 4000 x, = 8000 Ts = 12000.

La somme des gains particuliers devant être égale au gain total, il suffit de les additionner pour vérifier la justesse de tous les calculs précédens.

Nous avons supposé, dans ce qui précède, que les fonds mis en commun avaient été employés pendant le même temps et devaient alors rapporter proportionnellement les uns autant que les autres, mais ce n’est là que le cas le plus simple de la règle de compagnie. Les associations commerciales peuvent présenter un grand nombre de circonstances particulières, et quelquefois le partage des bénéfices entraînerait des calculs très-com- - pliqués si l’on exigeait une solution mathématique rigoureuse, Examinons, par exemple, le cas suivant, qui est un de ceux qui se rencontrent le plus communément.

Deux particuliers se sont associés pour une opération

trois ans ;

qui a duré ils ont mis d’abord : le premier une somme 72, et le second une somme 7. A la fin de la première année le second, a mis de plus une somme n',etle premier a ajouté une autre somme 772! à la fin de ta seconde année. Que revient-il à chacun sur le béuéfice réalisé à la fin de la troisième année.

Pour résoudre cette question , il faut considérer chaque sonime mise dans la société comme un fonds qui travaille pendant tout le temps que cette.somme y de-

meure, c’est-i-dire, depuis le jour de son versement

jusqu’à celui du partage; ce qui revient à l’envisager comme de l'argent placé à un certain intérêt dontle taux dépend du bénéfice total , mais doit être le même pour tous les intéressés. Ainsi, désignant par æ cetaux pour une année, comme on sait qu’en général une somme quelconque A devient A(1+x}r, en p année, et que, par conséquent le bénéfice qu’elle produit est (voy. InTé- RÊT.)

A(1+x} — À — A[ti+ey 1] :

les sommes m» et r ayant travaillé pendant trois ans, 1 urs produits seront

m [ar — | 2 [+ — | ,

tandis que ceux des sommes 1! ct n! seront

mx, n [u+ar — 1] ;

puisque la première n’a travaillé qu’un an et la seconde deux.

Le bénéfice du premier intéressé sera donc

mm [ua — | + mx et celui du second

n [+a 1] +» [o+er 1]:

Quantités qui seraient faciles à calculer si l’on connaissait la valeur de +. Mais la somme des gains partiels doit être égale au gain total ; nous aurons donc, en désignant le gain total par g, l'équation

(min) Lo: | + nt — ‘| m'x—g,

à Paide de laquelle on pourra déterminer cette valeur.

Où voit que la qnestion très-simple qui nous occupe nous conduit à une équation du troisième degré, et qu’en supposant une durée de société plus grande, le degré de l'équation finale serait égal à cette durée. On ue peut donc résoudre les questions de ce genre que par approximation ; mais dans le commerce on ne tient pas compte de l'intérêt des intérêts et les calculs deviennent plus faciles. Par exemple , le taux étant toujours x pour un an, les produits des sommes »2 et n sont 3mx et 3nx, pour trois ans, et ceux des sommes 72’ et »' sont m'x et an'x, la première pour un an et la seconde pour deux.

Le bénéfice du premier intéressé est donc alors

3mx + m'x; celui du second, | 4 3nx+on'x,

FF CO et l’on a, pour déterminer x, l'équation

3mx + m'x+ 3x +onx=g

de laquelle on tire

pese un pen 3m + m'+3n+2m

Substituant cette valeur dans les expressions précédentes , on a définitivement pour la part du premier,

(Gm+ m").g 3mm'+3n+2m

et pour celle du second,

Gn+on)g 3m + 3n + om"

Si l’on examine la forme de ces valeurs , on voit aisément qu’en les désignant par x etæa, elles donnent les

proportions

(Bm+m'+3n+on) : g::(3m—bm) :x (3m+m'+3n+on):g::(3n4on") : Ls

c’est-à-dire que la somme totale des mises, multipliée chacune par le temps pendant lequel elle a été employée, est au gain total, comme les mises particulières de chaque associé, multipliées par le temps correspondant , sont à la part de gain de cet associé. Cette règle serait la même pour un nombre quelconque d’intéressés. On la nomme, règle de compagnie à temps

Soit, pour en montrer l'application, la question suivante : 5642 fr. ont été gagnés en 25 mois par une compagnie de trois régocians dontle premier a fourni2436f., le second 3542 fr., et le troisième 4848. Mais le second seul a fait travailler ses fonds pendant les 25 mois, ceux du premier n’ont travaillé que pendant 15 mois, et ceux du troisième que pendant les 7 derniers mois de l’association. Il s'agit de déterminer la part de chacun. Multiplions chaque somme par son temps , nous trouverons d’abord

104... 124360 10 — 36540, du... 03542005 — 88550, SU 4BASIX. 7—133036,

et la somme de ces produits étant 159026, nous aurons les trois proportions

159026 : 5462 :: 33936 : x,, d’où nous tirerons Lr=11206, x, — 3142, x, —= 1204.

Telles seront les parts demandées.

COMPAS (Géom.). Instrument composé de deux branches s’ouvrant à charnière, dont on se sert pour décrire des cercles, mesurer des lignes, etc.

L'invention du compas ordinaire remonte aux temps fabuleux de l'antiquité, les poètes grecs l’attribuent à Talaüs, neveu de Dédale. Il est certain que l’idée de cet instrument a dû venir avecles premières conceptions géométriques, car la ligne droite et le cercle sont les fondemens de toute la géométrie élémentaire. Aujourd’hui, nous avons des compas de différentes espèces : les uns ont leurs pointes droites, d’autres les ont courbes ; ceux-ci ont diverses pointes que l’on peut ôter et remettre selon le besoin; quelques-uns ont trois branches : ils servent à prendre trois points à la fois. Enfin, on a varié Ja construction et la forme du compas de manière à satisfaire aux besoins des arts graphiques. Mais nous croyons qu’il est inutile de donner la description d’instrumens qui se trouvent entre les mains de tout le monde, et dont l'usage est trop simple pour présenter aucune difficulté.

Compas DE ProporTION. Instrument dont l'invention a été disputée à Galilée par Balthasar Capra, un de ses élèves. Il consiste en deux règles de cuivre fixées l’une à l’autre par une extrémité, et pouvant s'ouvrir angulairement comme le compas ordinaire. Sur ces règles, sont tracées plusieurs échelles , dont les principales sont celles des parties égales, des cordes, des polygones, des plans, des solides, etc. La figure 7 et 8 de la planche XXV représente le compas de proportion vu de ses deux faces.

Cet instrument , fondé sur les propriétés des triangles semblables, sert dans l’arpentage , lorsqu'on n’a pas besoin d’une exactitude rigoureuse. Nous allons indiquer quelques-uns de ses usages.

Pour diviser une ligne droite en plusieurs parties, en 11, par exemple, après avoir pris, avec un compas ordinaire la longueur de cette ligne, on ouvrira l’instrument du côté des parties égales, jusqu’à ce que l’une des pointes du compas ordinaire, étant placée sur un multiple de 11, tel que 110, prissur la ligne des parties égales, l’autre pointe tombe exactement sur le point 110 correspondant de la double ligne des parties égales. Le compas de proportion étantainsi ouvert, on prendraavec le compas ordinaire la distance du point 10 au point 10 des deux lignes des parties égales, et cette distance sera la onzième partie de la ligne qn’on voulait diviser. En effet, il est facile de voir qu’on a formé deux triangles isocèles semblables, dont les côtés du premier sont à ceux du second comme 110:.10, Où COMMEIT: TI.

La ligne des cordes, ainsi nommée parce qu’elle comprend les cordes de tous les degrés du demi-cercle qui a pour diamètre la longueur de cette ligne, sert à mesurer les angles tracés sur le papier; à diviser un angle

350 co

Ju un arc donné en parties égales, etc. Pour mesurer un augle, après avoir de son sommet décrit un are de cercle avec un rayon quelconque, on porte ce rayon sur le compas de proportion ouvert de manière que l’une despoiutes du compas ordinaire étant placée sur le point Go de la ligne des cordes, l’autre pointe torabe sur Go de la double ligne des cordes. On prend ensuite la grandeur de la curde de l'angle donné, et on cherche à la faire correspondre aux mêmes points du compas de proportion : le nombre de cette correspondance indique celui des degrés de l’angle proposé. Si lon voulait, au contraire, tracer sur le papier un angle d’un nombre de degrés donné, il faudrait chercher sa corde en prenant pour rayon une distance arbitraire des deux points Go de la ligue des cordes, et à l’aide de cette corde et du rayon , on pourrait construire l'angle.

Les lignes des polygones , des plans, des solides, ser. vérit à inscrire des polygones dans le cércle, à construive des figures dans un rapport donné avec d’autres figures, à trouver les côtés de solides multiples lesuns des autres, etc., etc. Nous ne pouvoris qu’'indiquer ici les divers emplois du compas de proportion; ils ont fourni la matière d’un volume à Ozanam ; et cet ouvrage, intitulé : Usage du compas de proportion, doit être consulté par tous les dessinateurs de cartes et de plans; ils y trouverout beaucoup de constructions qui peuvent leur être très-utiles pour abréger leur travail. Le professeur Garnier, auquel on doit plusieurs ouvrages éstimables ; a donné une nouvelle édition revue et corrigée du Treilé d'Ozonam:

I ya un autre compas de proportion, que les Anglais nomment secteur, sûr lequel sont marquées les lignes des sinus, sécantes, tangentes ; etc. On peut résoudre graphiquement par son moyen tous les problèmes de la trigonométrie rectiligne.

Compas DE MER. V’oy. BoussoLe:

Compas DE VariATION. Il re diffère de la boussole que parce que la boîte extérieure est garnie de deux pinuules par lesquelles on vise aux objets dont on veut connaître le fisement, c'est-à-dire l'air de vent auquel ils répondent.

Compas AzimuriL. Boussole surmontée d’un cercle divisé en degrés, et portant un index mobile; avec une féfite pour viser les objets, au-devant de laquelle est un fil tendu ducentre de l'instrument au sonimet de l'index. (Pe. VITE, fig. 5.) Pour preudre la direction du séleil ou d’une étoile près de Fhorizoi, on tourne l'index jusqu'à ce qué l'ombre du fil, s’il s’agit du soleil, tombe sur la fente de l'index, ou jusqu’à ce que ce fil coupe l'étoile vue au travers de la fente, s’il s'agit d’une étoile. Lé cercle divisé fait connaître l’angle entre la direction de l'aiguille aimantée et celle dé l’astre, c'est-à-dire, l'azimut ma-

guctique de l’astre; ce qui fait connaître la variation de

l'aiguille, en comparant cet azimut avec l’azimut réel. Voy. Azimur.

COMPAS (Astr.). Constellation. méridionale placée entre le centaure et le triangle austral. Elle fait partie des constellations formées par l'abbé de La Caille. Sa plus belle étoile n’est que de la quatrième grandeur.

COMPLEMENT. Se dit en général de toute partie qui ajoutée à une autre forme une unité naturelle ou artificielle.

C'est ainsi que l’angle droit étant pris pour unité et l'arc qui le mesure étant divisé en go degrés, d’après la division sexagésimale, deux angles dont lès mesures font ensemble 90 degrés, ou dont la somme épale un angle droit, sont dits complémens Vun de l’autre. Par exemple, le complément d’un angle ou d’un arc de 60° est un angle ou un arc de 30°, parce que 60°+30°=90"; et ainsi dés autres.

Le sinus du complément d’un arc se nomme le cosinus de cetarc; c'est-à-dire, que le sinus de 30° est ia même chose que le cosinus de Go°. 11 en est de même des cotangentes et des cosécantes , qui ne sont que les tangentés et sécantes du corrpléméit. Voy. ces divers mots.

ComPLEMENT Artrumérique. Noñibre dont un autre diffère de l’unité de l’ordre immédiateéinent su dessus. Par exemple, 4 ést le complément dé 6, parce que 10 où l'unité du second ordr2 est immédiatement au-dessus de 6, et que 4+6—10; 373 estle complément de 63, parce que 37 +63=7100, et que 100 est l'unité du trorsième ordre au-dessus de 63; 3545 est le complément de 6455, parce que 3545 + 6455 — 10000; et aiusi d' suite.

Pour avoir Le complément arithmétique d’un nombre, il suffit de prendre pour chacun des chiffres qui le com. posent ce qui lui manque pour égaler 9, sauf pour le chiffre des unités, dont il faut prendre ce qui ini manque pout égaler 10. Ainsi le nombre 55056432, par exemple étant donné; on écrit comme il suit, pour

former toujours 9,

ï au-dessous de 8, 2 au-déssous de 7 ;ÿ âu-déssous de 0, 4 au-dessous de 5 ; 3au-dessous de6, 5 au-dessous de 4, 6 au-dessous de 3; et enfin arrivé au chiffre 2. des uuités; on écrit 8 au-dessous pour former 10, et de cette manière, on a effectivement formé le complément du nombre proposé car Ja somme totale ést 100000000, unité de l’ordre immédiatement au-dessusde 85056432.

La facilité de former les complémens aritlimétiques, les font employer avecavantage pour changer les soustractions en additions. ce qui est particuliérement utile dans les calculs où l’on emploie des logarithmes: En

effet, À étant un nombre quelcoique qu'il s'agit de

soustraire d’un autre nombre B, si, au lieu d'effectuer directement la soustraction

B—A, on prend le complément arithmétique de À, ce com-

plément sera

m désignant le nombre des chiffres de A. Or, ajoutant ce complément à B, on a

résultat qui ne diffère de B—A que par une unité de l’ordre 72. Il suffit donc de retrancher cette unité pour

avoir le reste de la soustraction proposée. Soit, par exemple 5678124 à soustraire de 7005432, le complément de 5678124 étant 4321856, on opérera l'addition suivante

Retranchant l'unité la plus élevée, 1326308 est le reste de la soustraction ou la différence des nombres 7005432 et 5678124.

Les logarithmes étant des nombres composés d’une partie entière, et d’une partie fractionnaire, leurs complémens sont également composés d’une partie entière et d'une partie fractionnaire; mais on les forme comme si tout était entier, et la virgule seule indique la séparation des chiffres entiers et des chiffres fractionnaires. Ainsi le complément de

4,5451710 logarithme de 36089, est

Lorsqu'on fait entrer plusieurs complémens dans un calcul , il faut avoir le soin de retraucher du résultat autant d'unités de l’ordre le plus élevé qu’on a employé de complémens. Nous allons terminer par un exemple qui éclaircira toutes les difficultés.

Supposons qu'il s'agisse de trouver un nombre x dt-

pendant de plusieurs rapports, tels que

calculer y par la première pro- 35X 40

portion qui donne y — NN

ainsi, il faut d'abord c substituer cette valeur aans sa seconde qui devient alors

35 X fo, 39 : 80 :: —— :

O1 ras pe

et de laquelle on tire

35 X 40 X 80 7 boX37 à

etenfin, remplaçant 3, par sa valeur, dans la troisième proportiou , on a

GS at ue 0) LR CRE