Toutes les sections faites suivant l'axe AC sont des

CO J9Ù triangles isocèles, tels que BAE, doubles du triangle générateur.

3. Toutes les sections faites dans le cône par des plans qui ne sont ni parallèles à la base, ni suivant l'axe, sont des lignes courbes connues sous le nom de SEcrions co- NIQUES. Ÿ’oy. ce mot. :

4. On nomme cône tronqué une portion de cône dont on a retranché la partie supérieure, en le coupant par un plan parallèle à la base. ACDÉ, fig. 8, est un cône tronqué. On peut le concevoir comme formé par la révolution du trapèze AFCG autour de son côté FG..

5. Un cercle devant être considéré comme un polygone régulier d’un nombre infini de côtés, toutes les propriétés des cônes peuvent se déduire de celles des pyramides ; et c’est même la seule manière directe d’arriver à la connäissance de ces propriétés: car les supposer d’äbord, comme on 16 fait dans les ouvrages élémêéntaires, puis les déiiontrer pit une contlüsion à l'absurde (boy. AnsurpE), n'indique En aucuñe manière la génération d'idées qui a pu amener à les découvrir. Ce serait peut-être ici l’occasion de signaler les défauts des Élémens de Géométrie adoptés en France pour l’enseignement pnblic, défauts dont le plus essentiel est de retenir constamment l'esprit des élèves enchaîné dans les mêmes formes de raisonnement, de sorte que lé. tude de cette science, Join de concourir à développer l'intelligence, arrête son essor , et paralyse ses facultés. La plupart des géomètres, entièrementétrangers à toute idée philosophique, ont cru donner une grande r'gueur à Icurs démonstrations, en écartant avec soin les considérations de l’énfinr, et en les remplaçant par un échafaudage d’argumens et de constructions qui cependant n'auraient aucune siguification sans cet infeni qu'ils s’efforcent si maladroitement de bannir. Quelques auteurs élémentaires se sont imaginé de démontrer les axiornes, sans s’apercevoir que leurs argumens étaient beaucoup moins évidens que les objets en discussion; et il en est même de très-estimables du reste, qui, après avoir passé une grande partie deleur vie à faire età défaire la théorie des parallèles, ont présenté ensuite comme une belle découverte une prétendue démonstration de l'égalité des trois angles d’un triangle à deux angles droits, fondée sur une construction successive de triangles, dont le dernier doitavoir deux angles infiniment petits! (Voyez Géométrie de Legendre, 19° édition, pag. 0 et 277.) Mais nous reviendrons autre part sur toutes ces questions qui réclament une réforme complète. 7 oy. GÉote ét Pitôsopni£ prs Maru.

G. Théorème. La surface convexe du cône droit est égale à la moitié du produit de la circonférence de sa base par le côté du cône.

Où nomme cèté du cône toute droite menée sur Ja

surface convexe du sommet à la base.

Lasurface d’une pyramide régulière (voy. ce mot) est, sans y comprendre sa base, égale à la moitié du produit du périmètre de la base par l’apothème. Or, plus la pyramide a de côtés, et plus la différence entre son arête et son apothème devient petit; et lorsque le nombre de ces côtés est infiniment grand, cas où la pyramide devient'un cône, l’arête et l’'apothème se confondent , et deviennent l’une et l’autre le côté du cône : donc la surface convexe du cône est aussi égale au demi-produit du périmètre ou de la circonférence de sa base par son côté.

Si nous désignons par r le rayon de la base d’un cône droit, et par k la hauteur de ce cône, son côté sera

VFEF car, dans le triangle générateur (fig. 4) ABC, nous avons AB'—BC’+AC*. Si donc 7 exprime la demi-circonférence dont le rayon est l'unité, 27r sera la circonférence dont le rayon est r, ou la circonférence de la base du cône, et

VE HET sera sa surface convexe.

La surface convexe du cône oblique est l’objet d’un problème très-difficile qui réclame les secours du calcul différentiel. Foy. QuapraTurE.

7- Théorème. La surface convexe da cône tronqué ACDB (fig. 8) est égale au produit de son côté AC par la demi-somme des circonférences des deux bases,

En effet , la surface convexe du cône entier AEB est, d’après ce qui précède , égale à Lcir. AFXAE, cir. AF désignant la circonférence, dont AF est le

rayon, Ou la circonférence de la base. De même la surface convexe du cône retranché CED est égale à

L'cir. CG X CE.

Donc la surface convexe du cône tronqué ACDE, différence entre la surface convexe du cône entier et celle du cône retranché , est égale à Lcir. AFXAE — 1 ir. CGXCE.

Or, AE—AC+HCE, nous pouvons donc mettre cette dernière expression sous la forme (1)

Loir. AFXACHZTcir. AF—cir. CG] X CE; mais nous avons, à cause des triangles semblables AFE, CGE,

AF : CG:: AE : CE ct par conséquent,

cir. AF : cir. CG :: AE : CE,

CO proportion d'où l'on tire cir. AF—cir. CG : cir. CG :: AE—CE : CE, ct, par suite [cir. AF—cir. CGT X CE = cir. CGX AC

Substituant cette valeur dans (1), nous aurons pour fa surface convexe du cône tronqué l’expression

+[cir. AF— cir. CG] X AC.

donc, etc.

8. Théorème. Le volume du cône est égal au tiers du produit de sa base par sa hauteur. Voyez Pyra- MIDE.

Désignant, comme ci-dessus, par 7 le rayon de la base, et par A sa hauteur, qui, dans le cône droit est la même que l'axe, nous aurons, V étant le volume,

V=3rrh.

9. Corollaire. Le volume d’un cylindre étant égal au produit de sa base par sa hauteur (voy. CYLiNDRE), un cône est le tiers du cylindre de même base et de même hauteur.

10. Tuéorime. R étant le rayon de la base inférieure d’un cône tronqué, r le rayon de la base supérieure et H la hauteur du tronc, le volume du cône tronqué est égal à |

3 rH[R + ERXr], car, si À désigne la hauteur du cône total, —H sera

celle du cône retranché, et les volumes de ces cônes seront

37rRh , 377 (h—H,. Ainsi le volume du cône tronqué, étant la différence de ces deux volumes, sera

3 Re — 1 re (h—H), ou (2)

3 (rRA — rh + 7H];

mais les circonférences des bases sont entre elles comme

les hauteurs des cônes ; nousavons donc rR:rr::h:h—H, proportion qui nous donne rrh = rRh — rRH, et par suite

RH = Rh — rh.

Substituant dans (2), à la place de #r°h, la quantité rRrh — rRrH, qui lui est égale, et réduisant , on ob-

tient 37 [r Eh — rh) + RrH + rH| F

ou Le [run +RrH +]

ce qui est la même chose que la proposition énoncée.