D = SE
On continuera les transformations jusqu’à ce qu’on soit parvenu à un reste N,—o, comme s'il s'agissait de trou+ ver le plus grand commun diviseur des deux nombres N et M (voy. Commun-niviseur), opération qui est identiquement la même que la précédente.
Des égalités ci-dessus on tire les suivantes :
Ne, enr
Le as + V
N, né 1
hE a + .
None,
DE as + .
Ny=—, fn. I Ne ONE
dont la dernière est simplement
Non I Nn—2 Wan
à cause de Ny=0,
CO 369 Substituant ces valeurs les unes dans les autres, à : ; ! 6. UN Ne partir de l’expression primitive NW = + M° * obtient définitivement N I ——=4«4 —— M ’ + a+ I a+ a;+x a;+etc.
+1 Ami 1
Am
et telle sera la génération de la quantité fractionnaire ns énération qu’on désigne sous le nom de fraction M ? ÿ G q G S continue.
2. On nomme fractions intégrantes les fractions : I I . > simples —, — etc., quientrent dans la composition
As «3
de la fraction continue. Ces fractions donnent le moyen d'obtenir des valeurs approximatives d’une quantité
fractionnaire quel N : effécti la génér ractionnalre que conque M’ effectivement la gene a
tion de cette quantité étant
si l’on s'arrête succcessivement à la première, seconde troisième , etc. , fraction intégrante, on a les quantités
(mr)
I I FN RE At SAR : ai etc.
ai qui approchent d’autant plus près de la véritable valeur
des qu’on prend un plus grand nombre de fractions
intégrantes. Il est évident d’ailleurs que cette véritable valeur n’est donnée que par toutes ces fractions.
3. Les quantités (#1) que l’on obtient en s’arrêtant successivement à la première, seconde, etc. fraction intégrante, sont alternativement plus grandes et plus pe-
tites que la quantité ni Fe Pa M”
car , en s’arrêtant d’abord à la
première fraction —; onnéglige la partie jointe au dé- Aa
nominateur @,,et on rend par conséqnent ce dénomina-
Pne © ar
teur plus petit qu’il ne devrait être ; d’où
CO
et en opérant de même pour Ja suite des valeurs appro-
suite &i + plus grand, ainsi
