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préférée à une autre parce qu'elle à une éauauon plus

simple, mais bien parce qu'elle est d'une construt tinn

plus facile (Joy. Arithimetique universelle de Newton). Les lignes ont été classées suivant le degré des équa-

tions qui les expriment. Lesligues du premier ordre qui

sont toutes comprises dans l'équation Ay-+Bx+C=o,

exprimant seulement des droites, ne peuvent, à proprement parler, être rangées parmi les courbes ; aussi les lignes du second ordre ont-elles reçu le nom de courbes du premier ordre. Elles sont exprimées par l’é-

quation Ay?+Bzxy+Ca+Dy+Ex+F=o.

Ces courbes, qui sont aussi appelées sections COnIqUes,

comprennent le cercle, l'ellipse, l'hyperbole et la pa-”

rabole (Voyez ces mots).

L’équation qui comprend toutes les lignes du troisième ordre, ou les courbes du deuxième, est la sui-

vante

A+ Bay°+ Caiy+ Dai Eye + Fay + Ga + Hy+ +Kr+L=o.

Les courbes du troisième ordre sont exprimées par

l'équation

Ayi+ Bay? + Cry? + Day + Ext + Fri + Gay? + + Hay + Ka + LD May +Nx°+ Py + Qx + +R=—0,

et ainsi des autres.

L’équation des iignes du troisième ordre contenant dix constantes arbitraires, on voit que ieur nombre doit être extrêmement considérable. Newton le porte à 72; mais Sterling avant découvert quatre nouvelles espèces d’hyperboles de cet ordre, et Stone en ayant aussi trouvé deux, le nombre total devrait être porté à 78. Cependant Euler, qui les classe en seize genres, affirme qu'il y en a quatre-vingts variétés. Il dit aussi qu'il y a plus de cinq cents espèces de lignes du quatrième ordre, ce qui fait juger à quel nombre doivent s'élever les lignes des ordres suivans.

La théorie des courbes forme une des branches les plus importantes des sciences mathématiques, et pour traiter ce sujet avec tout le développement qu’il comporte, il ne faudrait pas être restreint par des limites aussi étroites que celles de cet ouvrage qui, embrassant la science dans tout son ensemble, ne peut donner sur les différentes parties dont elle se compose, les détails qu'on trouve dans les traités spéciaux ; aussi nous bornerons-nous à exprimer ici des idées générales sur la manière dont ou peut traiter les deux grands problèmes dans lesquels se décompose la théorie des courbes planes.

TI. Trouver lequation d'une courbe, sa description et ses pl cpriclés carack ristiques clant données.

1° On se propose de déterminer l'équation d’une circonférence de cercle, sachant qu'une de ses propriétés caractéristiques est d’avoir tous ses points également éloignés d’un point intérieur appelé centre.

Pour cet objet, imaginons par le centre O d'un cercle les deux droites OX et OY perpendiculaires entre elles; menons un rayon quelconque OM, et du point M abaissons sur OX la perpendiculaire MP. Dans

le triangle rectangle OMP nous aurons la relation ——2 ——-2 — »

OM = PM + OP Or, pour tout autre rayon, nous pourrons construire

un triangle semblable au triangle OMP , et exprimer ce

rayon en fonction d'une partie de la OX et | |

d'une perpendi-

droite

culaire à cette x #5

droite. Si donc

nous désignons

par r le rayon du cercle, par x Île

côté suivant la droite OX, et par y le côté qui lui est perpendiculaire, la relation ci-dessus prendra la forme n=p+x;

et elle sera évidemment l'équation de la circonférence du cercle dont le rayon est r, puisque la ligne qu’elle exprime est le lien de tous les points éloignés du centre O de ia distance égale à r.

2° Supposons que les deux droites rectangulaires XX" et YY' étant données, ainsi qu'un point O pris sur la

droite XX’, on demande le lieu du point milieu du côté EH de l’angle droit d’un équerre HEO, dont l'exrémité HE est assujétie à s'appuyer sur la droite YY', et

CO dont l’autre côté de l'angle droit EO prolongé suffisamment, doit toujours passer par le point O. Le côté EH de l’équerre étant de plus égal à la distance AO.

Nous prendrons les deux droites XX' et YY' pour axes des coordonnées, c’est à-dire nous appellerons æ les droites comptées sur la droite XX', ety les droites comptées sur la droite YY', ou parallèlement à elle. Soit M un point du lieu correspondant à la position OEH de l’équerre. Des points Met E, abaissons MP et ER perpendiculaires sur XX’, et menons EQ parallèle à XX’. Faisons AP=—x, MP—y, EH—AO—24. Le point M étant, d’après ce que nous avons supposé, le milieu de la droite EH, ME=a et QE = PR = AP = x; par conséquent on aura dans le triangle rectangle MQE

MQ = a — x’,

Mais les deux triangles OER et MQE sont semblables et donnent la proportion

ER : OR :: EQ : MQ,

ou bien ER : 2a+ox x: Va d'où ER = CES) va — 7?

Mais MP ou y — ER + MQ; denc

JT Mae LVa x

ce qui donne, en effectuant les calculs et élevant les deux

membres au carré

Y'= (at)

équation qui est celle d’une cissoïde ( Voyez Cissoipe).

Ces deux exemples doivent suffire pour faire voir comment , à l’aide des principes de la géométrie, combinés avec les moyens analytiques fournis par l'algèbre, on peut trouver une équation exprimant les relations qui existent entre les différens points d’une courbe dont on connaît quelques-unes des propriétés.

IT. Etant donnce l'équation d'une courbe, la décrire, et trouver ses principales proprictés.

Quand une courbe plane est donnée par son équation, afin de pouvoir la décrire, on concoit deux droites fixes qui se coupent, et sur lesquelles on porte les longueurs qu’on attribue aux variables contenues dans l'équation. Menant alors par ces points des droites parallèles à ces

droites fixes , qu’on appelle axes des roordennées, leu

intersection détermine les points de la courbe. L’angle

que les axes forment entre eux étant tout-à-fait arbitraire, nous le supposerons droit dans toutes les discussions qui vont suivre (J’oyez COORDONNÉES).

1° On demande de tracer la courbe exprimée par l’équation , (9-2 = x,

on en tire pour la valeur de y

Cette équation se décomposant en deux parties

Y=x (: +) ety=zx? ( —s)

On voit que la courbe aura deux branches , qui toutes les deux passeront par l’origine des coordonnées, puisque dans l’une et dans l’autre pour x=—o, ona y—0. Considérons d’abord la première équation. À mesure que x augmente positivement , y augmente aussi positivement, et pour æx=w,y=— ; cette branche s’étend donc à l'infini dans le sens des X et des Y positifs. Si on

donne à x des valeurs négatives, æ*devientimaginaire, et par conséquent cette branche de la courbe n’a pas de points du côté des X négatifs.

Quand, dans la deuxième équation on supposexæ=1, on a y—0,cette branche de courbe coupe donc l’axedesX au point » , la distance An étant supposée égale à l’unité.

Pour toutes les valeurs positives de +, plus grandes que

l'unité, le facteur 1x" devient négatif, et par conséquent les valeurs de y sont négatives. Et comme pour Z=X,7——, cette branche de courbe s'étend à l’infini dans le sens des X positifs et des Y négatifs. Pour

les valeurs négatives de +, x* devenant imaginaire, il

n’y a pas non plus de points de la courbe du côté des X négatifs.

Si l’on différentie l'équation, en regardant x comme la variable indépendante, on trouve, pour la dérivée, par rapport à y

en exprimant, pour abréger, la première dérivée différentielle dy !

—— par ÿ'.

dx PNY cette valeur devenant zéro pour x—0, lesdeux branches de la courbe sont à l'origine tangentes à l’axe des X (voy. Tancenres). Le point À, qui est commun aux deux branches de la courbe, est un point de rebroussement de deuxième espèce. ’oyez Point DE REsROoUs- SEMENT.

2° Supposons que nous voulions construire Île lieu de l'équation

on en tire pour la valeur dey

La valeur de y étant affectée du double signe, à chaque valeur de x correspondront deux valeurs de y égales et de signes contraires, et par conséquent la courbe

aura deux branches.

Prenons AB—b et AC—a. Pour x=o0, y, les deux branches de la courbe ne rencontrant l'axe des Y qu'à l'infini, cette droite leur estasymptote (roy. Asymp- Tore). Pour toutes les valeurs de x plus petites que D, le facteur x—b est négatif, et alors la première valeur ; de y est négative, et la seconde positive. Les valeurs décroissent à mesure que + augmente, et enfin pour æ=—b elles deviennent toutes les deux nulles. Les deux branches de la courbe passent donc parle point B. Pour æ>-b le facteur æ—4 devenant positif, la première valeur de y est positive et la seconde négative; c’est-à-dire que la branche de courbe qui se trouvait au-dessous de l’axe des X est passée au-dessus, et que celle qui était audessus est passée au-dessous.

* SFR LE 1 Enfin, pour x=—a le facteur Va? — x? devenantzéro, y=0 et les deux branches de la courbe passent par le

point C. Pour toutes valeurs de x plus grandes que a, le

facteur V/a— x? devenant imaginaire , il n’y a pus de

point de la courbe au-delà du point C. Le point B ; par lequel passent les deux branches de la courbe, s'appelle point multiple (voyez Poixr murripre); et la partie BdCsB est un nœud. Foyez Nour.

Si maintenant nous donnons àæ des valeurs négatives, la valeur de y devient

L'inue V'a— x?

pour æ—0 , =, par conséquent l'axe des Y est encore asymptote des deux branches de la courbe. A mesure que la valeur de x augmente, a valeur de y diminue ; enfin pour x—4, y=0, et en ce point les deux branches de la courbe coupent l’axe des X. Pour x>a le facteur VË—x devenant imaginaire, il n’y a pas de point de la courbe au-delà du point D.

Pour savoir s’il y a un point de rebroussement en D, il faudrait différentier la valeur de y en regardant x comme variable indépendante, et faire ensuite x=& dans la valeur de y’. Or, on trouverait que dans ce cas J'= ®, et par conséquent la courbe, en ce point, est tangente à l’axe des Y. J'oyez Tancenres.

Si dans l'équation de la courbe on avait a=b, alors il y aurait un point de rebroussement en B. Si a<b , on aurait alors un point conjugué (doy. PoINT CONJUGEÉ). Cette courbe est la conchoïde (roy. Coxcnoïve). Foyez les ouvrages de Mac-Laurin, Euler et Carnot.

Newton a fait voir que les courbes peuvent être engendrées par des ombres. Si, dit-il, sur un plan infini, éclairé par un point lumineux , on projette les ombres de certaines figures, on aura la projection des courbes. Les ombres des sections coniques seront toujours des sections coniques; celles des courbes du second ordre seront de cet ordre, et ainsi pour les autres courbes. La projeciogge l'ombre d’un cercle pouvant engendrer toutes les sections coniques, de même les cinq paraboles divergentes engendreront par leurs ombres toutes les autres courbes du second ordre. On pourra de mème, dans les autres ordres, trouver quelquescourbes parmi les plus simples qui , par leur ombre projetée sur ua plan, pourront engendrer toutes les autres courbes du même ordre,

On trouve dans les Mémoires de l'Académie une démonstration de ces propriétés, ainsi que des exemples de quelques-unes des courbes du second ordre, détcrminées par un plan coupant un solide engendré par le mouvement d’uneligne droite indéfiaie sarune parabole divergente, passant toujours par nn point donné audessus du plan de cette parabole.

Mac-Laurin, dans son ouvrage intitulé Geometria organica, indique les moyens de décrire plusieurs des courbes du second ordre, stutout celles qui ont un

point multiple, par le mouvement de lignes droites et

d'angles; mais Newtou regarde comme un des problèmes les plus difficiles, de décrire d’un mouvement continu celles qui n’ont pas de point multiple.

Lorsqu'on coupe une surface par un plan, on détermine une courbe plane. Les intersections des surfaces du second degré par une suite de plans parallèles sont des courbes semblables ct semblablement placées (r0y: Sunraces pu seconp prGr£). Deux courbes d'un ordre quelconque , situées dans le même plan ou dans des plans parallèles , sont semblables et semblablement placées , lorsqu’après avoir pris dans la première un point O quelconque et mené divers rayons vecteurs OM, ON,

on peut trouver dans la seconde un point O' tel que Îles rayons vecteurs O'M', O'N' menés parallèlement aux premiers et dirigés dans le même sens, soient avec les premiers dans un rapport constant, c’est-à-dire qu’on ait