O'M' __ ON

ON

ON ÆURL ER

Les points O et O’ sont dits centre de similitude, et il suffit de leur existence pour qu'il y en ait une infinité d’autres.

Si les rayons vecteurs de la seconde courbe n'étaient pas parallèles à ceux dé la première, mais faisaient des angles égaux avec deux droites OX et O'X' de direction différente, les courbes seraient seulement semblables , et pour qu’elles fussent semblablement placées, il suffi rait de faire tourner Ja seconde courbe autour du point O’ d’un espace angulaire égal à l'angle compris entre les deux droites OX et O'X’. Si après ce mouvement on transportait la seconde courbe parallèlement à ellemême, de manière à faire coincider les deux points O ut O", les deux courbes deviendratent concentriques

quant à leur centre de similitude.

Ces conditions de similitude peuvent être exprimées analytiquement. Supposons que F(x,7)=0 et f{x',y')=0 Shiént les équations de deux courbes rapportées aux mêmes axés. Prenons pour origine dés coordonnésle centre de similitude de la prémière, et désignons par x et Blésco:donnces dur eeritre de similitude de la seconde.

La Molation qui doit éxister , pour quelles deux courbes

soient semblables, est

O'M' OM = Or, à cause des triangles semblables MOP et M'O'P', on aura É z'—s OM rJ$ OM % z OM 7 OM

on déduit de ces deux équations

Re RS 7e +

en substituant, dans l’équation de la première courbe,

fx'—0 TP) ‘à rh = ( KR "Æ 8

équation qui devra être identiqueavec f (x'.7')=0. Sion

onobtient

trouve alors pour «, 8, et K des valeurs réelles et finies, la similitude existera. Cépendant K peut être imaginaire sans que la similitude cesse d’avoir lieu sous le rapport analytique, cequiarrive dansles hyperboles conjuguées. Voyez HYPEnBOLE.

Lorsque deux surfaces se pénètrent elles déterminent, par leur intersection une courbe qui, en général, est à double courbure. Si les deux surfaces se traversent, il y aura deux courbes d’intersection; et si la première, ou courbe d’entrée, est plané , la seconde, ou courbe de sortie , sera aussi plane. Si on conçoit qu'un point matériel, retenu par une force normale sur une surface courbe, se meuve en vertu d’une force agissant constamment dans une direction différente, il décrira une courbe qui participera aussi de Ja courbure de la surface, et qui, par conséquent, sera à double courbure. En général, les courbes à double courbure sont déterminées par les équations des deux surfaces courbes dans lesquelles on exprime que les coordonnées sont les mêmes pour certaines valeurs particulières.

Uue famille de courbes comprend toutes celles qui peuvent être exprimées par la même équation générale. Ainsi a—1x—7" représente une famille de courbes, dont le degré varie avec #2.

COURSE AUX APPROCHES ÉGALES. Voyez APPROCuE.

UNE COURBE EXPONENTIELLE est une courbe définie par une équation exponentielle.

Courte FUNICULAIRE. Ÿoy. CHAÎNETTE.

Course DE nIVEAU. Voyez Nivrau.

COURBE REFLÉCHISSANTE. l’oyez ANACLASTIQUE.

Côvnre DE LA PLUS VITE DESCENTE. Ÿoyez BnacnisTos

a CHRONE.

COURBURE (Géom.). On nomme courbure la quantité dont un arc de courbe infiniment petit s’écarte de

400 co

la ligne droite. Comme on peut supposer que cet arc infinimeut petit appartient à un cercle, on mesure la courbure d’une courbe quelconque, en un point donné, par celle du cercle qui lui coïncide en ce point. Or, la courbure des cercles étant d'autant plus grande que les

grayons sont plus petits, la courbure d’une courbe, à chacun de ses points, est en raison inverse du rayon du cercle coïncident. Le cercle coïncident se nomme cercle osculateur. Foy. OscuLATEUR.

Le rayon du cercle osculateur, à l’aide duquel on détermine la courbure d’une ligne courbe, en un point déterminé, s'appelle rayon de courbure. Nous donnerons au mot osculateur la déduction de l'expression différentielle de ce rayon; ici, nous ne considérerons que ses applications particulières.

fx étant une fonction de x, soit y=/fx, l'équation d’une courbe quelconque; son rayon de courbure est douné par l'expression

oo e P— dxdy — dydx

(Déesse æ et y étant considérées comme dépendantes d’une autre variable.

Si l’on considère x comme une variable indépendante, on aura d'x=o, et cette expression deviendra

dy [: Tax —%

(dx+ dy) — dxdy —

dx?

ou, pour plus de simplicité

LE

en désignant par y' et y” les dérwces différentielles dy dy dx'dx*

La valeur de la normale, »=+yV/1+y", introduites dans (2) ramène l'équation du rayon de courbure à la forme très-simple

qui s'applique au calcul avec facilité.

Pour déterminer le rayon de courbure des courbes du second degré dont l'équation générale est

P=2pX + q2x?

on différentierait deux fois de suite cette équation, afin de déterminer y’ et y", pour lesquelles on trouverait

PIX 3 p v A ra Te 4 FE

CO

ce qui donnerait pour la valeur de p, en se servant de l'équation (3),

eue

frs ep= P Li e

appliquons ces formules à quelques cas particuliers. 1. Soit la courbe proposée une parabole vulgaire dont l'équation est J°=2px p exprimant le demi-paramètre.

Dans cette courbe, la normale étant » =V/7°+p?,

nous aurons, en substituant dans (4) et en ne prenant

que le signe +

+) P° C'est-à-dire que dans la parabole /e rayon de courbure est égal au cube de la normale divisé par le carré du demi-paramètre.

Ainsi pour avoir le rayon de courbure d’un point quelconque de la courbe, il suffit de donner à y la va-

EE

leur qui correspond à ce point, par exemple, sil s’agissait du sommet de la courbe où l’on a yÿ—0, en donnant cette valeur à + on aurait

P—P ce qui nous apprend que la courbure de la parabole à

son sommet, est la même que celle du cercle décrit avec le demi-paramètre pour rayon.

2. Cherchons maintenant le rayon de courbure de {a cycloïde , courbe dont l'équation est

z=rfae. co? |- vY (2r7—ÿ) |

r étant le rayon du cercle générateur. Voy. CycLoïne.

En différentiant deux fois de suite, on trouve pour ALT E

LA = = vYy

et on a de plus

=Vry, valeurs qui , introduites dans l’équation (2), donnent | pour p

p=aV/ary

Mais comme »=V/2ry, on arrive à cette conséquence très-remarquable que dans la cycloïde, le rayon de courbure est double de la normale.

Les équations d'un grand nombre de courbes étant données en fonctions de coordonnées polaires, il était

CO

nécessaire d’avoir p exprimé en fonctions des mêmes coordonnées. Sa valeur est

ee +) or" +7?

l'angle du rayon vecteur avec l'axe étanc pris comme variable indépendante, r étant le rayon vecteur variable, et r'et r”, les dérivées différentielles.

La valeur du rayon de courbure variant avec les coordonnées de la courbe, pour chaque point de celle-ci il ya un cercle osculateur différent. Les centres de ces cercles déterminent une nouvelle courbe qui est la développée de la première et à laquelle les rayons de courbure sont tangents. P’oy. DÉVELOPPÉE.

Pour déterminer le rayon de courbure d’une courbe à double courbure, on a la relation

Fr € dy, / diz ( er ds: =)

La variable indépendante étant l'arc de courbe s qui

est déterminé par l'équation differentielle, ds=dx+dy+dz Proposons-nous de chercher le rayon de courbure d’une hélice. L’une des équations de cette courbe est

(1). +...2—=ararc tang T,

L’axe des Z est l'axe du cylindre sur lequel est tracé l'hélice, et l’origine des coordonnées est à un des points de la surface du cylindre, rest le rayon du cercle générateur du cylindre; a—tang 9; 9 étant l’angle d’inclinaison de la droite engendrant l’hélice avec le plan des XY, qui est perpendiculaire à l’axe des Z.

La seconde équation de l'hélice est

(2) Eee:

équation de la projection du cercle générateur du cylindre sur le plan des XY.

En différentiant deux fois de suite les équations (1) et (2), regardant s comme la variable indépendante , on trouve

dx ds?

dy ds?

ds?

nGi+e) rite)

Ën portant ces valeurs dans celle dep, on obtient

p=i+e)=rp sec?

ce qui indique que dans l’hélice le rayon de courbure est constant.

La courbure des surfaces en un point donné se dé-

termine par les rayons de courbure des sections faites dans la surface par des plans passant par la normale. Parmi ces sections, il y en a toujours deux principales dont les rayons de courbure, qui portent le nom de Les plans de ces rayons sont perpendiculaires l’un à l’autre.

rayons principaux, Sont /24xtmiuIm OÙ NUREMEN.

Pour déterminer le

rayon de courbure » d’unesection

normale quelconque , on a la relation

TEnUT lo.

==. COS’ —, SIN 2ç FR PEUR EeC

R' et R” étant les deux rayons principaux, et ® l'angle

que fait la section avec l’une des sections principales.

Cette relation a été trouvée par Euler.

Lorsque les deux rayons de courbure principaux sont de même signe, le rayon de courbure p a aussi le même signe ; et comme il en est de même pour toutes les sections normales, il suit que pour le point que l’on considère, elles sont toutes d’un même côté du plan tangent à la surface; on dit alors que la surface est convexe au point M. Le plus petit des deux rayous principaux est un minimum, et l’autre un maximum.

Si R'=R", alors s—R', ce qui prouve que toutes les sections normales ont même courbure, et quel’une quelconque d’entr’elles peut être prise comme section principale. C’est ce qui a lieu pour tous les points d’une sphère, et dans une ellipsoïde de révolution, pour les deux points qui sont sur l’axe.

Si R'est positifet R' négatif, la surface sera nonconvexe, puisqu'il y aura des sections normales au-dessus du plan tangent et d’autres au-dessous. R' sera un mipimurn ; et —R” un maximum analytique seulement par rapport aux rayons négatifs.

Le théorème de Meusnier donne les moyens de calculer le raÿon de courbure p', d’une section oblique quelconque, puisqu'il démontre qu'il est égal à la projection sur son plan du rayon de courbure p de la section normale passant par la même tangente. Relation exprimée par l'équation.

p=p COS w.

æ étant l'angle compris entre les plans des deux sec-

tions.

Ces différentes formules ne subsisteut que lorsque le plan tangent à la surface au point que l'en considère, est pris pour plan des XY; pour calculer ces, raxons dans le cas général ; il faut avoir recours aux ligues de

courbure, On appelle lignes de courbure d’une surface, la suite des points par lesquels deux normales consécutives! se

rencontrent. Sur toute surface , il existe deux séries de

lignes de courbure qui les partagent en quadrilatères curvilignes infiniment petits, dont les côtés se coupent à angies droits. Les deux ligues de courbure passant par un point, sont tangentes aux deux sections principales.

Si on calcule les rayons de courburede lasurface pour un point déterminé, c’est-à-dire les portions de la normale comprises entrele point, et ceux où eile est coupée par les deux normales voisines, on trouve qu'ils coïncident en grandeur et en position avec les rayons de courbure des sections principales, ce qui généralise les résultats énoncés ci-dessus.

Pour de plus amples détails sur une théorie importante, voyez les.ouvrages de Monge etde M. Leroy.

COURONNE (Zs4r.). Nom de deux constellations situées l’une dans l'hémisphère australe , et Fautre dans l'hémisphère boréal.

La couronne australe, qui parait à peine sur notre

1 Qui F F horizon au commencement du mois de juillet, renferme 12 étoiles dont la plus remarquable n’est que de la cinquième grandeur.

La couronne boréale, située entre le Bouvier et ercule, renferme 21 étoiles daus le catalogue britannique.

COURTINE. Masse de terre revêtue de maçonnerie, ayant pour but de réunir entre eux les plans de deux bastions, de manière à fermer l’enceinte fortifiée. PVoy. ForTiFicaTION.

COUSIN ( Jacques-Anroine-Josepx ), savant mathématicien, naquit à Paris, le 29 janvier 1739. Il acquit de la réputation par la publication d’un traité de calcul intégral , auquel on a reproché un peu d’obscurité et de désordre, mais qui contenait plusieurs propositions nouvelles dans les différéAtes branches de cette partie élevée de la science , et principalement sur l'intégration des équations aux différences partielles. Cousin fut reçu à l'académie des sciences en 1772. Il avait été nommé, en 1760, professeur de mathématiques à l’école militaire, oùil exerça durant vingt ans ces utiles et honorables fonctions. Il était ésalement, depuis 1766, professeur coadjuteur de physique au collége de France. Cousin employait à des travaux scientifiques tout le temps que lui laissaient les devoirs de son double professorat ; sa vie douce et paisible, exempte d'ambition, semblait devoir s’écouler dans la tranquille obscurité de

’étude et de l’enseignement, lorsque la révolution éclata. Alors cet homme simple et modeste déploya un caractère noble et énergique. Dès 1701 , il avait été élu officier municipal et il fut, en cette qualité, chargé spécialement de l’administration des subsistances. Emprisonné pendant la terreur, il échappa aux périls de sa siluation et entra aussitôt, par le vœu de ses cenci-

CR

toyens , dans l'administration municipalé qu’il présidait le 1° prairial an HT, et affronta avec conrège, Les plus grands dangers pour comprimer la minorité qui voulait rétablir le régime de la terreur. Le directoire lui confia de hautes fonctions administratives, mais il donna sa démission au 18 fructidor ; l’année suivante il fut élu membre du corps législatif. Après le 18 brumaire, Cousin fut successivement nommé membre de l'institut et du sénat conservateur, Il mourut à Paris le 29 décembre 1800. Voici la liste des ouyrages qu’il a publiés. 1. Lecons de calcul différentiel et de calcul intégral, Traité du

nn

calcul différentiel et du calcul intégral, 1796, 2 vol.

, 2 vol. in-8°. 9° édition, sous ce titre :

in-4°. IL. Zntroduction à l'étude de l'astronomie physique, 1787, in-4°. IT. Traite élémentaire de Physique, an JET, in-8°. IV. Traité élémentaire de l'analyse mathématique , 1797, iu-8°. On trouve divers mémoires de Cousin , dans les 4cta academiæ electoralis magunünæ scientiarum queæ erfuti est.

CRAIGE, evmieux CRAIG (Joux), géomètre écossais, s’est reudu célèbre par la publication de plusieurs ouvrages importans en mathématiques , mais aucun de ses biographes n'a puindiquer lelicuet la date de sa naissance et desa mort. Il commença à se faire uu nom dans Ja science, vers la fin du XVII siècle, en faisant connaître, le premier, en Angleterre, le caïcul différentiel de Leibnitz. Ce fut environ un an après que ce grand homme eut publié sa découverte dans les Actes de Leipzig, en 1685, que Craig s'en servit dans un traité sur la quadrature des courbes. L’Angleterre a réclamé exclusivement pour l'immortel géomètre qui a reçu le jeur dans son sein, Newton , la découverte de ce calcul. La publication de l'ouvrage de Craig prouve néanmoins que si à cette époque Newton était en possession de sa méthode des

fluxions , il n'avait point encore jugé à propos de la

produire, ou il ne serait pas possible d'expliquer la

seusation que causa cet ouvrage dans le monde savant de l’autre côté de la Manche. Cette circonstance remarquable semblerait donc prouver que le calcul diiférentiel a été apporté du continent en Angleterre ; au reste, nous examinons ailleurs cette question, qui doit paraitre aujourd'hui fort secondaire (707. Lxrpxirz. Jean Bernouilli a vivement critiqué un autre ouvrage de Craig, surle Calcul des fluentes, qu'il publia ensuite, et qui est écrit avec les notations de Newton et les idées de cet illustre maître. Ce traité, peu remarquable même pour son auteur, est aujourd'hui à peu près oublié. John Craig s'est acquis d’ailleurs une grande célébrité par la production d’une théorie fort curieuse, mais qui présente à l'imagination quelque chose de bizarre. Il voulut appliquer le calcul algébrique à la théologie, en recherchant que! devait être V'affaiblissement des preuves historiques suivant la dis-

CR

tance des lieux et l’intervalle du temps. Nous ne croyons pas devoir exposer ici le résultat de ses recherches. Tout en reconnaissant que Craig ignorait les véritables principes du calcul des probabilités, un savant mathématicien à pensé que l'application de ce calcul à la vérité des témoignages était un très-beau sujet; nous ne pouvous partager cette opinion, ni admettre ici comme une réalité scientifique une hypothèse ingénieuse , à laquelle aucun travail postérieur n’a encore pu donner le degré ‘de certitude mathématique qui lui est nécessaire. Au reste, l’ouvrage de Craig excitala verve des théologiens protestans, et semble avoir été enseveli sous le poids de volumineuses réfutations. On trouve dans les Transactions philosophiques etles Acta eruditorum du temps, un grand nombre de mémoires dont Craig est l’auteur; ce géomètre a publié séparément les ouvrages suivans : I. Meihodus figurarum lineis rectis et curvis comprehensarum , quadraturas determinandi, Londres, 1685, in-4°. II. Tractatus mathematicus , de figurarum curvilinearum quadraturis et locis geometricis; Londres, 1693 ,in-4°: IT, Theologiæ christianæ principia mathematica ; Londres, 1609, broch. in-4° de 36 pages. 2° édition de J, Daniel Titius, Leipzig, in-4°, 1755, avec une réfutation de l'ouvrage et une notice sur l’auteur, où manquent cependant les détails biographiques que nous avons été obligés d’omettre ici. IV. De calculo fluëñtium , libri duo, autbus subjunguntur libri duo de optict analyticä; Londres, posth., 1718, 1n-4°. CRAMER (Gagner), géomètre distingué, membre de l’académie de Berlin, de la société royale de Londres, de l'institut de Bologne ; naquit à Genève, le 31 juillet 1704. Il se livra de bonne heure à l'étude des branches les plus élevées des mathématiques, et jouissait à 20 ans d’une réputation de savoir assez bien établie, pour avoir pu disputer dans un discours, avec Calendrini, la chaire de philosophie de Genève. Son concurrent, qui était aussi son ami, l’emporta , mais il avait soutenu le combat avec tant d'honneur et d'éclat, que le conseil de la république institua , en 1724, une chaire de mathématiques , où ces deux généreux membres, dont l'amitié w’avait point eu à souffrir de cette rivalité, furent chargés de professér tour à tour, Gabriel Cramer s'était déjà fait connaître par des thèses sur le son, qui lui avaient mérité l'approbation des savans de ce temps, les plus dignes d’apprécier ses travaux. Le jeune géomètre avait une santé délicate, que son ardeur pour l’étude avait encore affaiblie ; il quitta Gerève en 1727, et voyägea dans l'espoir deserétablir.Maisils’arrèta d'abord à Bile, où il suivit avec ferveur iesleçons de Jean et de Nicolas Bernoulli, qui ne tardèrent pas à le distinguer parmi tous feurs disciples et à lui accorder leur amitié. I parcourut ensuite l'Angleterre et la France, et partout ses connaissances élevées et ’aménité de son caractère

| CR 203 lui firent de nombreux amis. À son retour dans sa patrie, il se remit à l’étude avec une nouvelle ardeur et parut ambitionner la gloire des hommes célèbres qu'il avait. eu l’occasion de connaître, en cultivant à la fois toutes Î

les sciences. L'ouvrage qui a consacré la célébrité de : Cramer est celui qu'il intitula modestement : Zntroduction à l'analyse des lignes courbes algebriques (Genève, 1750, in-4°), Ce livre est connu de tous les mathématiciens. La théorie générale des lignes courbes avait oc- * cupé le célèbre Euler, il en avait traité dans son Zntro- | dectio in analysin infinitorum avec cette puissance de talent et cette généralité de vues qui caractérisent toutes ses productions. Mais il était nécessaire que-ce sujet fût traité dans un ouvrage spécial, avec tous les développemens qu'il comporte, et présenté sous une forme plus accessible à tous les géomètres. Tel fut le but que se proposa Cramer, et qu’il remplit avec un rare bonheur. Cramer a donné des soius aux diverses éditions des œuvres de Jeau et de Jacques Bernouilli, et au précieux recueil des lettres de Leibnitz et de Bernouilli. Il obtint en 1731, le premier accessit du prix proposé par l'académie des sciences de Paris, sur la cause de l’inclinaison des orbites des planètes, qui fut remporté par Jean Bernouilli. En 1550, la réputation qu’avait méritée Cramer le fit nommer, sans concours, à la chaire de philosophie qu'il avait disputée, dans sa jeunesse, à un redoutable et heureux concurrent. Mais ses nombreux travaux avaient de nouveau altéré sa santé ; il mourut

à Bagnols, où il avait été respirer un air plus pur, en 1722, à peine âgé de 48 ans. La liste complète des ouvrages de Cramer se trouve dans l'Histoire dütéraire de Genève, par Sénebier.

CRATISTUS , géomètre grec, de l’école de Platon. Son nom se trouve parmi ceux que Proclus nous a laissés, dans son commentaire sur Euclide, des disciples les plus remarquables de son illustre prédécesseur. Une particularité assez rare se rattache au nom de Cratistus; suivant Proclus, ce géomètre n’avait presque pas fait d’études, mais il avait en lui le génie de la science à un point si extraordinaire, qu’il pouvait résoudre immédiatement, au moyen de sa géométrie naturelle, les problèmes qui émbarrassaient le plus les mathématiciens de son temps. Montucla appelle Cratistus le Pascal def l'antiquité; cette comparaison ne nous parait pas heu+' reuse.

CRÉPUSCULAIRE (A4str.). On nomme cercle crépusctilaire un petit cercle abaissé au-dessous de l'horizon de 18° sexagésimaux et qui lui est parallèle : C’est le cercle limite des crépuscules.

CRÉPUSCULE (Astr.). Lumière qui se répand dans l'atmosphère, quelque temps avant le lever du soleil et

quelque temps après son coucher.

404 CR Ce phénomène est produit par la réfraction des rayons lumineux, opérée par l'air atmosphérique. Nous en don-

nerons l'explication et la théorie au mot Rérracrion.

CRIBLE (Arüh.). Nom donné par Eratosthène à une méthode de son invention, pour déterminer les ‘nombres premiers.

Cette méthode consiste à exclure de la suite des nombres naturels, 1,2,3, 4, etc., tous ceux qui ont des diviseurs ; les nombres restants sont alors nécessai-

rement des nombres premiers.

Avant donc écrit les uns à côté des autresles nombres naturels, on supprime d'abord tous les zombres pairs , parce qu’à l'exception de 2, tous les autres ont ce même nombre pour diviseur, et ne peuvent conséquemment être premiers ; il ne reste ainsi à considérer que la suite

des nombres impair:.

DU Ho 075 Om I, 125,10 17 RS + Let 99 10 20015 291; Ma 95% A0! :31% 93

35 ; 37; 39 ; 4t ; 45 , 45, #7 49 Hi 0h31,055, 0157: 50:1161, 0 63;11:08