CU
Maintenant si nous concevons z comme nfiniment petit, ou comme la différentielle de x, alors l'arc infiniment petityy" sera l'élément dela courbe my, letrapèze xyÿ'x" sera l'élément de l'aire mAxy, etle solide 7y'ED , l’élément du corps mCDy. C’est ce dernier élément dont il s’agit de trouver l'expression. Or, le trapèze xÿy x peut être considéré comme un rectangle dont la révolution produit un cylindre d’une hauteur dx et d’une base qui a pour rayon l'ordonnée xy=—y ; le volume de ce cylindre sera donc (oyez CxLINDRE)
ry°dx
# exprimant le nombre 3,1415926... ou le rapport durayon à la demi-circonférence. Voyez Cercue:
Mais cette quantité représentant l'élément ou la différéntielle du solide, son intégrale sera le volume cherclié et l’on aura, V désignant ce volume ,
(Prec Ve fiat
Nous n’avont poin employé, pour arriver à cette expression, les procédés du calcul des limiies, qu’on prétend encore maintenant substituer au calcul differentiel, comme plus rigoureux ; quoiqu'il ne $6it qu’une méthode indirecte que nous apprécierohs ailleurs, et dont nous avons évité avec soin de nous servir dans nos articles précédens. Nous nous attendons bien que ce sera une nouvelle occasion , de la part d'un grand géomètre , de nous accuser de n'être pas à la hauteur dés mathématiques modernes; mais, si nous avonslé malheu dene pas connaître les découvertes dont M. Poncelét à, sans doute, enrichi la science, et qui lui ont mérité 16 titre demembre de l'institut, découvertes que nous nous serions empressés de consigner dans notre dictionnaire siles recherches que nous en avons faites avaient été plus fructueuses, àous ne profiterons pas de cette circonstance pour lui renvoyer son rnnocente accusation, ce qui d’ailleurs serait trop facile aujourd’hui pour eu espérer la moindre gloire ; nous préférons attendre les travaux futurs de cet académicien qu'aucun ressentiment ne pourra nous empêcher de placer à côté des Euler et des La Grange, s’il veut bien nous en fournir l’occasion. Nous lui demandons seulement d’user de la même générosité envers nous ét de suspéndre son jugement sur notre ouvragejusqu'à ce qu'il soit terminé. Quant à nos lecteurs, les motifs de notre préférence des procédés simples, directs ctrigonrenx du eileul différentiel, proprénient dit, aux procédés compliqués ét indirects Aù calcul des limites , leur seront suffisimment dévoilés aux articles CALCUL DIFFÉRÉNTIEL et CALGUL DES LIMITES.
Reprenons la formule (1) et appliquons-la à quelques cas particuliers :
CU
I. Déterminer le volume de lellipsoïde alonge. Ce solide étant formé par la révolution d’une demi-ellipse autour de son grand axe, l’équation'de la courbe génératrice, rapportée au centre, est
a étant le demi grand axe, et ble demi petit axe.
Substituant cette valeur de ÿ*, dans (1), on ob-
tiendra Væ PE (@—2)dx , et, enintégrant,
Var E (ax 7 )+c.
F Pour déterminer la constante C, nous remarquerons
que l'intégrale est nulle pour la valeur x=—a puisque la courbe se réduit alors à un seul point, nous aurons donc bo C=7 —.- ai a 3
et, par suite;
Si dans cette expression, nous faisons æ=a pour avoir Fintégrale définie comprise entre les limites x= —a et æ=a, nous trouverons
= an 4 à Venise :
6ü, cé qui ést là méme chose, V— Sat
tel est le volume de l’ellipsoïde allongé.
Si on avait a=b, l'ellipse deviendrait un cercle, et ce volume serait celui de la sphère, Dans ce cas, on a
V— fa
D'ou l’on voit que le volume de la sphère est égal aux 3 de celui du cylindre circonscrit, puisque le volume d’un cylindre qui a pour rayon de sa base 4, et pour hauteur 24 est
ra X2a—Ara
CU
IT. Déterminer le volume du paraboloide de révolution. L’équation de la parabole rapportée vu sommet étant
Y?—=2px
dans laquelle »p est le paramètre; si nous substituons
dans (1), nous aurons
J V— fe r2pxdx
dont l'intégrale est V=—rpzx+C
Le volume étant nul au sommet, où l’on a æ=o, nous avons, pour déterminer la constante, l'équation o—04-C d’où C—o, ainsi, l'intégrale complète est
V=xpr?.
Nous pouvons mettre cette expression sous la forme
æ V=orpa.— ou V=ry
en remplacant 2px par sa valeur y”. Mais xy? est l'aire d’ua cercle dont y est le ravon(voy. Cerce, n°31), et par conséquent r}°.x représente le yolume du cylindre, ayant ry° pour base, et x pour hauteur, c’est à-dire, du cylindre circonscrit; ainsi le paraboloïde de révolution ést égal en volume à la moiëé du cylindre cir-
conscrit.
La cubature du paraboloïde trouve son application dans le calcul de lexcavation produite par le jet des mines.
Pour les solides qui ne sont pas de révolution. Foy. VoLumE,
CUBE (Géom.). Corps solide régulier, terminé par
six faces carrées égales entre elles. Voy. Hexarnre.
CUBIQUE (A4rüh.). Un nombre cubique est un nombre formé par l'élévation d’un autre nombre à la
troisième puissance, par exemple 8 est un nombre cu-
"bique , parce que 8—2*.
Puissance CUuBIQUE, c’est la même chose que troisième puissance ; comme racine cubique, et racine troisième sont des expressions synonymes.
Une ÉQUATION GUBIQUE est également une équation du troisième degré, Voyez pour ja formation des puis-
