CU

sances cubiques le mot puissANcE, et pour l'extraction

- des racines cubiques, celui EXTRACTION DES RACINES.

Nous ne nous occuperons ici que des équations cubiques quoique l’épithète cubique, pour désigner les équations du troisième degré ait beaucoup vieilli.

ÉQUATION CuBiQUE ( A{g.). Les équations cubiques où du troisième degré, sont des équations dans lesquelles la plus haute puissance de l’inconnue est du troisième degré. Leur forme générale est

xHAx+Br+C—0o que l’on peut ramener à (1)

z'+px+q=0 eu faisant disparaître le second terme, Foy, Transror- MATION.

Pour résoudre cette équation, faisons x=y+4-3, y et z étant deux nouvelles inconnues dont la détermination nous conduira à celle de x; élevant au cube, nous aurons

Li (y +2) = 437224 3y28-hat = + À +3y{y+2) =yt 2 +3yar

ou 2—3yzx—y—2—0

Pour que cette équation soit identique avec (1), il fau

qu'on ait = — 372 g = —y—<" d'où l'on tire 9) one (2)... 72= —3 (3)... += — q

Telles sont les conditions que les valeurs de y et de z doivent remplir afin queleur somme donne une valeur de x capable de satisfaire à l'équation (1). Or, énélevant (2) au cube, on a

EE 0 F'r= 27 d’où P° = TF2

qui se réduit à

iquation du sixième degré qu’on peut abaisser au second,

en faisant 2°=1, ce qui donne

3 Por = L+at 27—

Les racines de cette équation qu’on nomme la réduite , sont les valeurs de y? et de 2°, parce que ces valeurs sont symétriques, et qu’en prenant dans (2) la valeur de 2° pour la substituer dans (3), on serait parvenu à une équation identique avec cette dernière. En la résolvant ,voy. second degré), on a

| VÉ: pi =—+ À Ta

et, par conséquent,

on en conclut, à cause dex=y+z

VE

cette expression est nommée la formule de Cardan.V'oy.

ALGÈBRE, CarDax et CAs IRRÉDUCTIBLE.

La formule de Cardan semblerait ne donner qu'une seule valeur pour x, mais on peut facilement la ramener à lui faire exprimer les trois racines. Pour cet effet, remarquons qu’en général, w étant une quantité quelconque, on a non-seulement

mais encore

1,2, 8 désignant Îes trois racines cubiques de l’unité. Ainsi, représevtant par M et N les quantités comprises sous les radicaux cubiques, les valeurs de y et de z sont

CU

valeurs qui, étant combinées deux à deux pour former

—=}+7 donneront toutes les racines de la proposée. Il est important de faire observer que parmi ces combinaisons , celles qui ne remplissent par la condition (2)

? : 4 : , 3 = — P doivent être rejetées, et qu'il nereste que les

trois suivantes

x M+ N x = aM + BN x = 6M + 2N

ce qu'on peut aisément vérifier.

Les trois racines cubiques de l'unité étant (voyez Ra- CINES).

mn 2 em

VS

celles de l'équation (1) sont définitivement

avt -4v(047)]+

Ame Col sV[-1+(f+0)]x nn e=v[-2 + (P+2)]x er