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Pour examiner la nature des racines données par ces
expressions , ilsuffit de considérer le radical carré
Ver
qui sera réel ou #aaginaire , selon que la quantité sous le signe sera positive où négative. Or, nous pouvons
avoir CE LA OR EL ES 24 4 97 0; 4 27 707 + 27
Daus le premier cas la quantité sous le signe étant positive, le radical est une quantité réelle, et par consé-
Eve)
quent les deux expressions 3 2 VIT VÉEE
Ve
CU
sont elles-mêmes des quantités réelles ; ainsi la première racine, qui se compose seulement de la somme de ces quantités, est réelle. Quant aux deux autres racines, elles sont évidemment #7aginaires , puisque le produit des quantités réelles par des quantités 2maginatres ne peut être qu’imnaginatre.
Dans le second cas le radical carré devenant zéro, les deux radicaux cubes sont réels, et la première racine seule est encore réelle.
Dans le troisième cas na — da étant négatif, ce qui
tarriver qu'autant create old ne peu arrivel qu autan UT DRE etp us gran
que,
cubes sont des quantités compliquées d’imaginaires ; ce
le radical carré, et par suite, les deux radicaux
qui donne aux trois racines une forme imaginaire; ce cas singulier a été examiné à l’article Cas 1RRÉDUCTIBLE.
Lorsqu'il n’y a qu’une seule racine réelle, on peut encorese servir des fonctions trigonométriques avec succès, pour calculer sa valeur plus promptement qu’en réalisantlesextractions de racines indiquées dans les formules. Eu effet , nous pouvons poser en général
pe
7 — À. tang @
À étant une quantité quelconque et @ un arc déterminé par la relation
Ainsi, pour rendre la quantité sous le radical carré un carré parfait , il suffit de faire
car alors cette quantité devient
D'ELLES se 2 2 ; pus 2 HT uré ’
ce qu'on peut mettre sous la forme
q° L qq sin@ 4 4 cos” @ q° cos ?@ + q° sin °@ 4 cos 2® |
sin?
: SN?® : 1 . , en remplaçant ang ‘@ pour cos? qui lui est égal,
Le radical carré devient donc
CU 409 V É ee 21] = V/cos#+sin@} ES!
7 2co5®
, à cause de cos °9 +sin?9 = 71.
Ainsi la première racine prend la forme
z=v|— 140] Ale me
Mais la relation
p° q° — = —<- tang?
in di donne p° 9 Vois i= D tang ?
Substituant cette valeur dans celle de x, on obtient, après les réductions,
T= —92 cot2a.1/ À
l'arc w étant donné par la relation tang w — \/tang 19
et l’angle & par la relation
2 p° tang P —= q 27
Si 4 était négatif, la valeur de x deviendrait positive et l’on aurait
æ= 2 cot241/Ë
Dans le cas de p négatif, ou de l'équation
23 — px +q =0
une marche semblable à celle que nous venons de suivre nous conduirait aux trois équations
tang o — V'tanpg +?
=VË
sin 2 w
dont la troisième devient
VE
lorsque g est négatif, il est bien entendu que dans ces
"sind &
dernières expressions on a
PP q° 27 4
410 CÜ Eclairassons par un exemple l'emploi decesformules. Soit
l'équation proposée; en comparant avec la forme pénérale
L—pr—ÿ=0 x
nous aurons p—2, 4=5 et la valeur de x dépendra des
trois expressions
(x). ZX CT
e nr (2)... tango = y tang1® 2 = (3)... sne=2Ver EP va /P * 7 5 78 VS; En substituant les valeurs de p et de g dans ces expressions , nous aurons
Cp}
‘ 2 sin ® — 15 XV/3
et, opérant par logarithmes,
Log 2 — 0,3010300 Log 3 = 0,4771213 9,8239088
Log = 9,1195544
Log 2 — 0,3010300
Log V3 — 0,2120944
Log 2 := 0,3010300
Log sin & — 9,3350232
Ce qui donne g==12° 34! 33”,2. Prenant la moitié de ?, et cherchant dans les tableslelogarithme de tangr®, on aura
Log. tang (6° 17" 16”,6) = 9,0421341
dont le tiers est
Log Vang ?, Ou (2) tang w — 9,0807114 Ce dernier logarithme fait connaître
#25 36" 49",5 et20 = 510 13! 30"
CÙÜ Substituant dans (1) les valeurs de p et de 2,
ou à
Ps
sin{bivi
Ainsi, prenant dans les calculs précédensle logarithme,
déjà trouvé, du numérateur de cette dernitre expres-
sion, la valeur de æ est donnée par la simple ad dition
Log. V3 — 0,2120844
Log. sin (51° 13° 30") — 9,8918933 de
Log. x — 0,3210g911 d’où l’on conclut æ = 2,0945514.
Nous avons dans un autre article (voy. AprRoxIMA- TON) traité l'équation z—22x—5—0, par des procédés bien différens , et l’on peut s'assurer , en comparant les calculs, de la supériorité de cette dernière méthode, sous le rapport de la promptitude. Trouvé d'abord par Bombelli, généralisé ensuite par Viète, puis étendu par Albert Girard au cas irréductible, ce mode de résolution des équations cubiques ne présenté d'autre difficult que le soin qu'il faut apporter dans le calcul des caractéristiques des logarithmes pour lequel il ne faut pas s'écarter des règles exposées aux mots ExTRAGTION DES RACINES et LocaniTumEs.
Construction des équations curiques. Voyez Con- STRUCTION.
Parabole curiqun. Voyez Paranore.
Hyperbole cusiqur. Voyez HxrERBOLE.
Cuser un solide. Voyez Cuparüre.
CULTELLATION (Géom.) (de cultello, mettre àplomb, unir au cordeau). Expression dont quelques auteurs se sont servis pour désigner lamesure d’un terrain projeté sur le plan de l'horizon. Voyez Torsé.
CULMINANT {Astr.). Le point culminant d’un astre est celui où il est à sa plus grande hauteur au-dessus de l'horizon ; ce qui arrive lorsque l’astre est au méridien.
CULMINATION (4sur.). Moment du passage d’un astre au méridien.
CUNETTE. — Petit fossé creusé suivant la ligne milieu du fossé d’un ouvrage de fortifications, et destiné à l'écoulement des eaux pluviales.
CUNITZ (Marre), femme savante, que ses connaissances en astronomie rendirent célèbre en Allemagne, naquit, dans les premières années du XVIT siècle, à Schweidnitz, en Silésie. Elle apprit dans sa jeunesse, avec une grande facilité, plusieurs langues anciennes
et modernes, et étudia avec le même succès l’histoire,
CY
la médecine et les mathématiques ; elle s’occupa également de peinture, mais ses goûts la portèrent plus particülièrement à cultiver l'astronomie, que suivant les préjugés de son siècle, elle confondit quelquefois avec les pratiques de l'astrologie judiciaire. Vers l'an 1630, elle épousa son professeur de mathématiques, médecin, suivant quelques biographes, gentilhomme silésien, suivant d’autres, et qui se nommait Élias-a-Lewen. Cependant, malgré son mariage, elle continua à porter son nom de famille, et le titre de demoiselle. Elle est l’auteur d’un abrégé des tables rudolphines, qu'elle fit paraître, en 1650, sous ce titre : Urania propilia, seu tabulæ astronomicæ mire faciles , vin hypothesium plhysicarum Kepleri complexæ ; etc. ; Oels, in-fol. Une seconde édition de cet ouvrage fut publiée à Francfort, en 1351, avec une dédicace à l’empereur Ferdinand HT, et précédéed’une introduction en latin et en allemand, Marie Cunitz et Lewen s'étaient servis pour leurs calculs des tables danoises de Longomontanus; mais ils s’aperçurent qu’elles ne répondaient point à leurs observations, et ils adoptèrent les tables rudolphines de Kepler, beaucoup plus exactes. L'usage de ces dernières était néanmoins difficile, à cause du fréquent emploi des logarithmes , qu’il fallait souvent corriger : lès époux astronomes cherchèrent les moyens de les rendre plus commodes dans la pratique. M‘ Cunitz commença cet important travail, qui fut interrompu par les événemens de la guerre de trente ans. Elle fut obligée de se réfugier avec son époux en Pologne où ils reçurent l'hospitalité dans un couvent de femmes; ce fut là que l’Urania propüia fut achevée. Plusieurs mathématiciens , et notamment Wolf, font l'éloge de cet ouvrage, où cependant les hypothèses de Kepler sont trop souvent altérées. Suivant Lalande, Marie Cunitz mourut à Pitscher , le 22 août 1664.
CUR VILIGNE (Geom.). Les figures curvilignes sont des ares renfermées par des lignes courbes, comme le cercle, l’ellipse, le triangle sphérique, etc. Voyez Fi- GURE.
ANGLE cuRVILIGNE. C’est un angle formé par des lignes courbes. f’oyez SPnire.
CYCLE (de xvxnes cercle ). Période ou révolution toujours égale d’un certain nombre d’années, pendant laquelle les mêmes phénomènes se reproduisent con-
stamment et dans le même ordre.
