AI

I. Tout rectangle a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

La ligne CF étant prise pour l'unité linéaire, le carré GCFE sera l'unité de surface. Or, A on voit, par l'inspection de la figure, que le rectangle ABCD con- !

à l tient autant de ces carrés qu’il ya @

d'unités das ie produit qui résulte PE ———— D en multipliant le nombre d’umités linéaires contenu dans la base CD, par le nombre d'unités contenu dans la hauteur AC, Ici ces nombres sont 4 et 5, et leur produit 0 exprime en effet le nombre des carrés GCFE contenus dans ABCD.

Il faut cependant remarquer que le mot produit n'a pas le sens arithmétique ordinaire; car, en arithmétique, le produit est toujours de même neture que le multiplicande, ou, en général , que l’un des facteurs À tandis qu'ici il est d’une tout autre espèce que les facteurs; ses unités expriment des surfaces et non des ligaes.

Si l'unité linéaire n'était pas contenue un nombre exact de fois dans la base et la hauteur du rectangle, l'aire de ce rectangle n’en serait pas moins exprimée par le produit de sa base par sa hauteur; car, en comparant deux rectangles quelconques , tels que ABCD et GCFE, on a la proportion : (V’oy. RecranGe)

surf. ABCD : surf. GCFE :: AC X CD : GC XCF.

Or, le carré GCFE étant pris pour unité de mesure, on à

GC—=1,CF= 1, d'où GCXCF=:; et, par conséquent surf, ABCD : surf. GCFE :: AC X CD':1.

Donc, le produit AC X CD contiendra autant d'unités et de parties d’unité que le rectangle ABCD contiendra de fois le carré BCFE. Ce produit exprimera donc, dans tous les cas, l’aire du rectangle. |

Un carré n'étant qu'un rectangle dont la base et . hauteur sont égales, son aire sera exprimée par la se-

conde puissance d'un de ses côtes.

II. L’aire d'un triangle est égale à la moitié de celle d'un rectangle de méme base et de méme hauteur. Ou, ce qui revient au même, l'aire d'un triangle est cgale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur.

Il y a trois cas :

est le triangle ABC. Il est visiblement la moitié du rectangle ABCD, de même base BC et de même hauteur AB.

2°, La perpendiculaire qui mesure

56 AI la hauteur dutriangletombe M..A......:N dans l’intérieur du triangle. i 7. 7e Tel est le triangle ABD, Î PA Ë ; Ne

dont la hauteur est AC. ve E Ne Mais ce triangle peut être y i :

considéré comme la somme des deux triangles rectangles ABC, ACD, dont le premier est la moitié du rectangle AMBC, et le second, la moitié du rectangle ANDC. Donc le triangle entier ABD est aussi la moitié du rectangle entier MBDN, de même base BD et de même hauteur AC.

3°. La perpendiculaire qui mesure la hauteur du tiangle tombe hors du triangle.

Tel est je triangle BAD. On peut le considérer comme la différence des deux triangles BCD et BCA , égaux à la moitié des rectangles BCDN et BCAM , il sera donc lui-même égal à la moitié de la différence de ces deux

Cr LA TenD

rectangles, ou égal à la moitié du rectangle MADN , de méme base AD et de même hauteur AM ou BC. L’aire de tout triangle est donc égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur.

Corvllare. Deux triangles ayant même base ou des bases égales, et compris entre les mêmes parallèles, sont épaux en surface.

Toutes les figures rectilignes étant décomposables en triangles, la proposition précédente suffit donc pour déterminer leur surface (f’oy. Porxcowes).

1H. L’aire d'un parallélogramme est égale au produit de sa base par sa hauteur.

Car, en menant une diagonale, on divise le parallélogramme en deux triangles qui ont des bases égales, savoir, deux côtés opposés du parallélogramme, conséquemment égaux et parallèles ; ces deux triangles sont donc égaux , d’après le corollaire précédent, Or, Paire de chacun d’eux est égale au demi-produit de sa base par la hauteur commune, qui est en même temps celie du parallélogramme. Donc, leur somme ou l'aire du parallélogramme est égale à deux fois ce demi-produit , c’est-à-dire au produit entier.

IV. L'aire d’un trapèze est'égale à la moitié du produit de sa hauteur par la somme des deux bases paral-

lèles. :

En menant la droite CB, on partage le trapèze ABDC

en deux triangles CAB et C E D BCD, qui ont une même hauteur EF, et dont le premier a AB pour base, ë a et le second CD. Gr, l'aire A F B du triangle CAB est égale à L EF X AB, et l'aire du

triangle BCD est égale à? EF X CD. Donc, la somme de ces deux triangles , ou l'aire du trapèze est égale à

1EF X ABL:EF X CD, ou, ce qui revient au même, à: LF X (AB + CD).

Voyez, pour Faire des surfaces terminées par des ligues courbes, le mot Quanrarure. Quant aux surfuces des solides, elles seront traitées pour chaque solide en particulier.

Aires proportionnelles aux temps (Astronomie ). C’est une des lois du mouvement © des planètes, découvertes par Ké- Fi de

pler (Joy. Lois »E Képzen). Voici

en quoi elle consiste : si l’on sup- * pose que des diverses positions 4, :

b,c, d’une planète, prises sur son i 4

orbite, on mène des droites idéales * S

aS, LS, cS, au foyer de cet orbite occupé par le soleil, les aires ren- de fermées entre ces droites et les portions correspondantes ab et be de l’orbite ;telles que Sab, Sbe, seront proportionnelles aux temps employés par la planète pour parcourir les arcs ab etbhe. Si donc ces temps étaient égaux, l'aire Sab serait égale à l’aire Sbc; si le premier était la moitié du second, Sab serait pareïllementla moitié de Sbe , et ainsi de suite.

Newton, dans son livre des Principes, a fait voir que cette loi était une suite nécessaire de l'attraction universelle , et en a donné la démonstration suivante :

Soit B le lieu d’une planète tournant autour du so- . leil S, et venant de parcourir la très-petite portion AB de son orbite, que nous pouvons considérer comme une ligne droite ; le rayon SA, ou le rayon vecteur, ayant passé de À en B, a décrit l'aire SAB dans un temps trèspetit, que nous supposerons une minute; Or, si la pla nète parvenue en B était abandonnée à elle-même , elle continuerait à se mouvoir en ligne droite, parcourant dans une seconde minute un espace BD égal à AB; et sonrayon vecteur décrirait l'aire SBD égale à la première aire

SAB, puisque ces aires sont deux triangles qui ont une même hauteur, et dont les bases AB, BD, sont égales. Mais, arrivée en B, la plarète est attirée par

le soleil; et si elle n’était sollicitée que par cette seule force, elle prendrait la direction BS, et parcourrait dans une minute un espace que nous désignerons par BP. Ainsi, au point B la planète est sollicitée par deux forces, dont l’une lui ferait parcourir BD, et l’autre BP, en une minute; elle décrira donc, dans le même temps, la diagonale BC du parallélogramme BDCP , construit sur BD et BP, et l'aire décrite par le rayon vecteur sera le triangle SBC. Or, les triangles SBD et SBC sont

égaux, puisqu'ils ont une même base SB, et qu'ils sont

compris entre les parallèles SB et DC. { J’oyez Aime ET.) Donc, l'aire SBC, décrite dans la seconde minute, est égale à l'aire SAB, décrite dans la première. En poursuivant de la même manière pour toutes les minutes suivantes, et pendant toute la durée de la révolution, on démontrerait que la planète décrira toujours la même aire dans une minute, quelle que soit la portion de son orbite dans laquelle elle se trouve, tant que des causes étrangères ne viendront pas troubler l'action des forces primitives qui la font mouvoir.

Voyez au mot Lois ne Krpcer, l’histoire de cette découverte, et au mot Arrracrion le parti que Newton en atiré pour établir son système, Pour la déduction mathématique de cette loi, »0y. Trazecroinr.

ALAMAK ou AMAK (4str.). Nom donné par les Arabes à une étoile de seconde grandeur, qu'on trouve dans le pied austral d'Andromède. Elle est indiquée par le signe 7 dans les catalogues.

ALBATÉNIUS. Nom latinisé de Mouammen-Brv- Dyaser BEN-SENAN, AROU-ABDALLAH, l’un des plus célèbres mathématiciens arabes, né dans la ville de Batan, en Mésopotamie, d’où lui est venu le surnom d’ar- BATTAN OU EL-BATTANY, sous lequel il est généralement désigné en Europe. On ignore l'époque précise de la naissance de ce grand homme ; mais il est certain qu'il florissait 50 ans environ après le khalyfe El-Mämoun, c’est-à-dire vers l’an 880 de l’ère chrétienne. Il n'était point musulman , et professait au contraire le sabéisme, ou cuite des étoiles. Comme la plupart des mathématiciens arabes, Albaténius appliqua surtout la science à l'astronomie, dont il aborda ainsi l'étude avec la double puissance du sentiment religieux et des connaissances humaines. Albaténius, malgré sa religion, en horreur aux Musulmans, était gouverneur de Syrie pour les khalyfes. Ses observations furent toutes faites à Antioche ou dans la ville de Ragqah, en Mésopotamie, d’où il a été désigné, dans quelques anciens auteurs, sous le nom de Mahometus Aractentis. Voici l'idée générale qu'on peut se faire des travaux d’Albaténius, si remarquables pour l’époque où ils furent entrepris.

Cet illustre astronome adopta à peu près le système et les hypothèses de Ptolémée; mais il les rectifia en plusieurs points, et fit d’ailleurs plusieurs découvertes qui lui ont mérité une place distinguée parmi les hommes dont les travaux ont enrichi la science astronomique.

Albaténius approcha beaucoup plus de la vérité que les anciens , en ce qui concerne le mouvement des fixes. Ptolémée leur faisait parcourir un degré seulement en 100 ans ; l’astronome arabe leur fait parcourir cet espace en 70 ans; et, suivant les modernes, ce sont 72 ans qu’elles y emploient. En second lieu, Albaténius

mesura la grandeur de l’excentricité de l'orbite solaire,

AL 5T et l'on né pouvait arriver à une appréciation plus juste. IH le 3465

100,000; et ce calcul s'accorde avec celui de plusieurs

détermina de parties, le rayon étant astronomes modernes,

La détermination de la grandeur de l’année solaire, dont s'occupa Albaténius, ne parait pas d'abord une opération aussi heureuse, En comparant ses observations avec celles de Ptolémée, il la composait de 365 jours 5 heures 46° 24"; supputation où il se trouve une erreur d'environ 2°. Le célèbre Hallev justifie Albaténus en attribuant l'erreur de cet astronome à la trop grande confiance qu'il a eue dans les observations de Ptolémée, dont plusieurs sont si peu d'accord avec les mouvemens du soleil connus aujourd'hui, qu’elles semblent plutôt fictives que réelles. Celle qu'Albaténius à employée dans sa détermination est de ce nombre. C’est un équinoxe que Ptolémée dit avoir observé la troisième année d’Antonin, et qui devait tomber le 20 du mois Athir, et non le 21, comme il l'avance. Le savant astronome anglais remarqne encore que si Albaténius eût comparé ses observations avec celles d'Hipparque rapportées par Piolémée, il aurait beaucoup plus approché de la vérité. C'est néanmoins cette détermination vicieuse , qui a persuadé à quelques astronomes du XVI° siècle que l’année solaire tropique avait diminué jusqu’à lui, et qu’elle recommençait à augmenter ; conjecture hasardée qui n’est nullement d'accord avec les observations modernes. Une des découvertes les plus belles qui se rattachent au nom et aux travaux d’Albaténius est celle qui est relative à la détermination du mouvement de l'apogée du soleil. Avant cet astronome, on avait regardé l'apogée du soleil comme fixe dans le même point du zodiaque, immobile et imaginaire, qu'on conçoit au-delà des étoiles. [l'avait paru tel à Ptolémée lui-même. Mais Albaténius , aidé d'observations plus éloignées entre elles, déméla ce mouvement, et le distingua de celui des fixes. [l fit voir qu'il était un peu plus rapide, comme semblent le confirmer les observations les plus récentes. Albaténius remarqua l'insuffisance et les défauts de la théorie de Ptolémée sur la lune et les autres planètes; et, s'il ne les corrigea pas entièrement, il rectifia du moins ses hypothèses dans beaucoup de détails. Sa découverte du mouvement de l'apogée du soleil le porta à soupçonner qu’elle était applicable au mouvement des autres planètes ; ses conjectures ont encore été vérifiées sous ce rapport. Enfin, Albaténius construisit de nouvelles tables astronomiques, et les substitua à celles de Ptolémée , qui commencçaient à s’écarter sensiblement du ciel. Ces tables, beaucoup plus parfaites que les premières, eurent une graude célébrité en Orient , et furent long-temps en usage. Laplace a insinué, dans son Histoire de l'astronomie, qu’on avait eu tort d'attribuer au travail d’Albaténius les changemens avantageux qu'il

paraissait apporter aux élémens des tables de Ptolémée. I'appuie son opinion sur un fragment d'Ebn-Younès, traduit par M. Caussin , duquel il résulterait que ces changemens sont dus aux auteurs de la table vérifiée. Quel que soit notre respect pour Ja décision de Laplace, nous ne sommes nullement convaincus, dans cette circonstance, de la justesse de son objection.Outre que le mérite de la traduction de M. Caussin aurait besoin d’être apprécié, il n’est pas inutile de faire observer que l’astronome Ebu-Younès vivait vers l’an 1000, sous le Khalrfat d'El-Hakem, en Égypte, et que les dernières observations d'Albaténius sont de l'an 918. Nous ne comprenons pas bien la confiance qu’on accorderait au fragment d'Ebn Younès, dont l’assertion, entout état de cause , ne nous semblerait pas suffisante pour atténuer la gloire d'Albaténius, qui reste ainsi entière suivaut nous.

L'ouvrage d’Albaténius, où sont consignées ses découvertes , et auquel il donna le titre de Table sabeenne (zrdj-séby), a été traduit en latin sous ce titre : De ccientid stellarum ; mais un biographie d'Albaténius fait observer avec raison que le traducteur ne savait ni l'arabe ni le latin. Cette traduction est en effet remplie de fautes graves, et ne peut donner qu’une idée imparfaite des travaux si remarquables d'Albaténius. La première édition parut à Nuremberg, en 153%, in-f°. La seconde, aussi peu exacte, malgré les promesses de l'éditeur , a été publiée à Bologne, en 1645 , in 4°. On croit que l'original se trouve à la bibliothèque du Vatican. Albaténius, que Lalande a classé parmi les quarante-deux plus célèbres astronomes, mourut, suivant Aboul-Farug , l'an 929 de l’ère chrétienne ( de l’hégire 317).

ALBEGALA (Astr.). C’est un des noms de Ja Ivre, constellation boréale.

ALBERT :-1E-Granp , nommé par divers autenrs AL- BERTUS THEUTONICUS, FRATER ÂLBERTUS DE COLOSIA, AL- BERTUS RATISBONENSIS, et enfin ALBERTUS GROTUS , de la famiile des comtes de Bollstædt, naquit à Lawingen, en Souabe, en 1193, suivant quelques-uns de ses biographes, et en 1205, suivant d’autres. La vie de cet homme extraordinaire a été le sujet des plus étranges dissentimens, comme ses connaissances si profondes, si étendues pour l’époque dans laquelle il a vécu, ont servi de texte à des contes absurdes, dont la vulgarité et le peu de fondemens n’ont pas moins trouvé des échos hors de la tourbe ignorante et grossière où ils avaient pris naissance. L’auteur de la biographie du grand Albert, dans l'Encyclopédie, a adopté, en parlant de cet homme célèbre, un ton de persiflaye ct de plaisanterie de mauvais goût , que le caractère religieux dont il était revêtu avait sans doute inspiré.

Albert a du le surnom de Grand, qui lui a été déféré

par son siècle, à ses connaissances, que ses contemporains seuls ont dù croire surnaturelles, et non pas à la corruption du mot grot ou great, qu'on a cru être le surnom distinctif de sa famille. Il est prouvé qu'aucune branche de la maison de Bollstædt n'a jamais été ainsi désignée.

Quoi qu'il en soit, Albert-le-Grand fitses études à l’université de Paris , où l'influence du célèbre Jordanus, l’un de ses maîtres, le décida à entrer dans l’ordre de Saint: Dominique. 11 vint à Paris à l’époque où les théories d’Aristote ( Foy. ce mot) étaient proscrites par la Sorbonne et le Saint-Siége. 11 commenta publiquement les doctrines de ce philosophe, et il fut assez heureux pour triompher des répugnances de l'église qui les avait anathématisées. Albert ne s’occupait pas seulement de philosophie et de ce que l'on appelait alors dialectique ; il s’adonnait sérieusement à l'étude des sciences positives. Vers l'an 1254, désigné par la haute renommée qui récompensait ses travaux , il fut promu par les chefs de son ordre à la dignité de provincial des Dominicains en Allemagne. Il se retira alors à Cologne, où bientôt après il devint évéque de Ratisbonne.

C'est dans la première de ces villes, qu’Albert, au sein de ses études solitaires, résolut quelques problèmes difficiles des sciences mathématiques. I] construisit, s’il faut s'en rapporter à la fois à la naïve admiration de ses amis et à la haine de ses ennemis, un automate doué du mouvement et de la parole. Ce chef d'œuvre de l’art, que cinq siècles après renouvela Vaucanson, lui attira les plus ridicules accusations ; et Saint- Thomas d'Aquin, son élève, dans un triste excès de zèle pour la religion, brisa cet ouvrage merveilleux , dans lequel il crut reconnaitre l'inspiration du démon. Vaucanson fut plus heureux.

Albert-le-Grand, évêque de Ratisbonne , a composé un grand nombre d'écrits. La plupart de ses ouvrages, ou du moins de ceux qui lui furert attribués, se trouvent dans : Fabricit, Bibl. lat. med. et inf. ætatis, au mot Azserrus, édit. de Pierre Jamimi. Albert-le-Grand est mort à Cologne, en 1280 , à l’äge de 87 ans.

Les b'ographes qui, dans leur ignorance, ont cru pouvoir s'égayer avec le nom de cet homme célèbre, auraient dû ajouter que les ridicules rapsodies intitulées : Secrets merveilleux du grand et du petit Albert, n'étaient pas de lui, et n’étaient en aucune façon extraites de ses œuvres.

ALBIREO (Astr.). Nom qu'on a donné à une étoile du cygne marquée 8 dans les catalogues.

ALCUIN , moine anglo-saxon, disciple de Bède, et maître de Charlemagne, né dans le VILI* siècle, La biegraphie de cet homme célèbre appartient plus à l'histoire littéraire du moyen äge, qu’à ceile des sciences mathématiques, dont il favorisa néanmoins les pre-

grès, et dans lesquelles il possédait des connaussances remarquables pour son siècle. Le prince abbé de Saint-Emeran a donué, en 1777, une belle édition des œuvres d’'Alcuin, dans lesquelles on trouve les écrits : 1° De

cursu et sallu lunæ et de bissexto; 2° De reperienda

suivans sur diverses parties des mathématiques

luna paschali per 19 annos ; 3° Proposiliones arithmeticæ ad acuendos juvenes. Ce dernier ouvrage est un recueil de questions arithmétiques du genre de celles de l'anthologie grecque : on pourrait le regarder comme le germe du livre si connu des Accreations mathématiques. Il est probable que Bachet, auteur de l'ouvrage intitulé : Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres (Lyon, 1613, in-8°), avait lu le livre d’Alcuin, déjà imprimé en 1543, sous le nom de Bède.

Alcuin servit avec un noble zèle les projets de civilisation de Charlemagne. Il a attaché son nom à ce règne, qui brille commeun météore dansla nuit du VIl'siècle. Mais ses travaux mathématiques, et l’ardeur avec laquelle il favorisa l'étude de l'astronomie, ne paraissent pasavoir influé sur les progrès de cette science en France. La postérité, qui lui a su gré de ses efforts, le place dans un rang distingué parmi les hommes qui ont le plus illustré l'étude des sciences.

ALCYON (Astr.). C’est le nom de la plus brillante des Pléiades, marquée y dans 1es catalogues.

ALDEBARAN (l’oyez ABENEZRA).

ALDHAFERA ( 4str. ). Étoile de la troisième grandeur dans la constellation du Lion.

ALEMBERT (Jeanx-cr-Ronp D’), littérateur et mathématicien célèbre, né à Paris le 16 novembre 1717. On a toujours recherché avec un vif intérêt les détails les moins importans de la vie des grands hommes. Toutes les circonstances qui se rattachent, même de fort loin, à leurs travaux et à leurs succès, semblent faire partie de leur gloire. Cette espèce de culte que la postérité voue au génie, est le résultat d’un sentiment à la fois enthousiaste et curieux, qui s’augmente à mesure que le temps passe sur leur renommée sans y porter aucune atteinte. Nous aimons à nous asseoir au berceau des hommes dont le nom a survécu à leur époque, comme pour y surprendre leur première pensée, et découvrir jusque dans les jeux de leur enfance le germe du talent qui illustra leur carrière. Sous ce point de vue, la biographie de d’Alembert pourrait présenter une foule de traits remarquables, mais auxquels nous ne pouvons accorder dans ces pages, plus particulièrement consacrées à la science, qu’une place peu importante : nous nous plairons néanmoins à retracer ceux qui font le plus d'honneur à son caractère.

Durant la nuit du 16 novembre 1717, un enfant nouveau-né, faible et chétif, fut trouvé sous le porche de l'église de Saint-Jean-le-Rond, et porté , suivant l'usage,

chez le commissaire du quartier. Soit que cét homme eût été prévenu par les parens de cet enfant, soit qu'il eüt pitié de cette innocente et fréle créature, il exerça envers elle un acte d'humanité que les devoirs de sa magistrature ne lui imposaient pas. Il confia l'enfant à la femme d’un vitrier, qui lui prodigua les soins les plus touchans. On lui donna le nom de Jean-le-Rond, qu'il devait un jour rendre célèbre avec celui de d'Alembert. Peu de jours après cet événement, on put déjà supposer que le petit Jean-le-Rond avait été ainsi abandonné par de riches parens, pour cacher la faute dont il était le fruit malheureux, car une pension de douze cents livres fut constituée sous son nom. Plus tard, on a cru savoir qu’il était le fils de madame de Tencin , femme aussi célèbre par son esprit que par sa beauté, et de Destouches , commissaire provincial d'artillerie, qu’on avait surnommé Canon, pour qu’on ne le coufondit pas avec le poète dramatique Destouches. Quoi qu’il en soit, d'Alembert annonça de bonne heure les plus heureuses dispositions, et, contre l'habitude des eufans doués d’une précocité prodigieuse, il tint parole en devenant homme. Quand sa renommée naissante le fit accueillir dans le monde avecune honorable distinction, madame de Tencin, chez laquelle il était reçu, lui fit, dit-on, connaître ie secret de sa naissance. Le jeune d’Alembert reçut cet aveu avec une dignité froide, et déclara qu’il ne reconnaîtrait jamais pour sa véritable mère que la pauvre femme dont il avait sucé le lait, et qui avait pris un soin si tendre de sa débile enfance.

D’Alembert fut mis en pension dès l’âge de quatre ans. Il en avait à peine dix que son maître se déclara hors d'état de lui apprendre rien de plus que ce qu’il savait déjà. Mais la faiblesse de son tempérament exigeait encore des soins assidus. Ce fut seulement deux années après qu'il entra au collége Mazarin, où il acheva ses études d’une manière brillante. La mémoire de ce premier maitre dont il avait été l’élève bien-aimé , fut toujours chère à d’Alembert. Malgré la médiocrité de sa fortune , il fut assez heureux plus tard pour l'aider à élever ses enfans, et pour lui offrir de fréquens secours. Au sortir du collége, il voulut aussi retourner auprès de sa bonne nourrice, et il a passé près de trente années de sa vie avec cette femme, à laquelle il donua toujours le doux nom de mère.

Ces traits, et un grand nombre d'autres que nous sommes obligés de passer sous silence, dessinen' noblement le caractère de d’Alembert, caractère qu'il ne démentit pas dans le cours de sa vie. I futun homme de mœurs douces et d’un commerce aimable et facile, malgré la malignité de son esprit et son peuchant pour l'épigramme. Si ses ouvrages révèlent en lui une intelligence supérieure et forte, ses actions privées révèlent

aussi une âme élevée et un cœur sensible et généreux. Après cet éloge mérité de d'Alembert, il nous sera sans doute permis de dire que nous n’aurons point à nous occuper de ses œuvres littéraires , et moins encore de ses préteadustravaux philosophiques. Entraîné par un esprit vif et inquiet dans le mouvement qui a dominé son siècle, cet illustre écrivain a malheureusement adopté et préconisé avec un remarquable talent ïes grossières erreurs des réformateurs de son temps, parmi lesquels il occupe du moins une place distinguée. À uue autre époque , et il est douloureux de le dire, dans un autre pays que la France, où la nouveauté et la hardiesse des idées exercent un empire plus facile et plus puissant que la vérité, il est permis de croire que d’Alembert aurait rempli une mission plus digne de son génie et plus utile à l'humanité.

Les heureuses dispositions que d’Alembert avait manifestées dès l'enfance se développèrent rapidement au collége, où il réalisa bientôt les espérances qu'il avait fait concevoir à son premier maître. Il n’est pas inutile de remarquer que cet enfant studieux et melancoïique sembla d’abord promettreun éloquent défenseur au christianisme, dont il devait cependant contribuer à ébranler les croyances. Ses professeurs jansénistes dirigèrent ses premières idées vers la théologie, et, émerveillés de ses travaux, crurent un moment que le collége Mazarin allait voir renaître Pascal, l’illustre solitäire de Port-Royal. En effet, des sa première année de philosophie , d’Alembert écrivit un remarquable commentaire sur l’épitre de saint Paul aux Romains : ainsi, dit Condorcet, il commença comme Newton avait fini.

Ce fut néanmoins durant cette période de sa vie d’étudiant que d’Alembert prit goût aux mathématiques, dont il poursuivit avec ardeur l'étude laborieuse et pénible. Il ne tarda pas à prendre une place élevée parmi les hommes dont les utiles travaux ont fait faire des progrès à ces hautes sciences. Après avoir successivement étudié pour le barreau et la médecine, il débuta dans la carrière de son choix et objet de sa plus vive prédilection, par deux mémoires qu’il présenta à l'Académie des sciences : le premier, sur le mouvement des corps solides à travers un fluide; le second, sur le calcul inté- Igral. Ces premiers travaux l’élevèrent tout à coup au rang des plus savans mathématiciens, et l’Académie les récompensa ea ouvrant, dès 1741, ses portes à leur auteur.

En 1543, d’Alembert publia son Traité de dynamique. La méthode dont il se servit dans cet écrit réduit toutes les lois du mouvement des corps à celle de Jeur équilibre, et ramène conséquemmient la dynamique à Ja statique. En rapportant ainsi, dit Lagrange , à une méthode uniforme la mise en équation des problèmes de ce genre, qu’on faisait dépendre de principes incohé-

rens, plutôt devinés que rencontrés, il mit fin aux espèces de défis que les géomètres s’adressaient sur cette matière.

Le Traité des fluides ; suite nécessaire du Traité de dynamique, parut en 1744. D'Alembert fut encore obligé, dans cet ouvrage , de s’astreindre aux hypothèses par lesquelles Jean et Daniel Bernouilli étaient parvenus à rendre le mouvement des fluides accessible au calcul; mais en appuyant ses solutions sur le principe qu'il avait appliqué à la recherche du mouvement des corps solides, il rectifia quelques erreurs échappées à ses illustres devanciers, et mit du moins ce qu'ils avaient trouvé d’exact à l’abri de toute difficulté.

Dans la même année, d’Alembert publia le mémoiresur la T'hcorie des vents, qui remporta le prix proposé par l’Académie de Berlin. En 1748, il fit paraître ses Recherches sur les cordes vibrantes. Ce beau travail! fixa l’attention des géomètres sur le calcul intégral aux différentielles partielles, dont la découverte est un des plus beaux titres de gloire de d’Alembert.

Enfin, en 1549, parurent les Recherches sur la précession des équinoxes. On trouve dans cet ouvrage important la première détermination générale du mouvement de rotation d’un corps de figure quelconque. Ces recherches font époque dans la dynamique aussi bien que dans l'astronomie physique.

D'Alembert consacra à des travaux purement littéraires plusieurs années de sa vie; il est l’auteur du discours d'introduction de l'Encyclopédie, et d'un grand nombre d'articles relatifs aux sciences mathématiques insérés dars cet ouvrage. Le 29 octobre 1783, d’Alcmbert mourut de la pierre, avant d’avoir été opéré, à l’âge de soixante-dix ans.

Voici l’ordre dans lequel on peut classer ses principales œuvres mathématiques, qui ont rarement été réunies dans les collections de ses écrits.

1°. Traité de dynamique, 1 vol, in-4°, 1743, 1758. 2° Traité de l'équilibre et du mouvement des fluides,

* Réflexions sur la cause

1, Vol. in-4°,.1940, 1770. 3 géncrale des vents, in-4°, 1747. 4° Recherches sur la précession des équinoxes et sur la mutation de l’axe de la terre, 1 vol. in-4°, 1749. 5° Essai d'une nouvelle théorie sur la résistance des fluides, 1 vol. in-4°, 1552. 6° Recherches sur différens points importans du système du monde, 3 vol. in-4°, 1754, 1556. 7° Opuscules mathématiques, 8 vol. in-4°, publiés successivement en 1701,1764; 1967, 1968, 1773, 1780.

ALEXANDRIE (Écoze p'). L'histoire de cette antique et célèbre institution est, sans doute, intimement liée à celle des lettres; mais les sciences mathématiques doivent à ses illustres disciples de si importantes découvertes et de si mémorables travaux, qu’elle semble sur-

pes

tout appartenir à ces hautes connaissances, dont leurs travaux ont agrandi le domaine. Sous un autre point de vue, l’histoire de cette noble école se rattacherait encore à l’enseignement supérieur de ces sciences, quand elle n’aurait-eu que la seale gloire d’en conserver dans son sein le précieux dépôt durant des périodes funestes aux progrès de l'humanité.

La ville d'Alexandrie, située entre le lac Mareotis et la Méditerranée, à l'extrémité de l'angle occidental de l'Egypte, fur fondée par Alexandre-le-Grand vers la

‘€ année de la exn* olympiade, environ l’an du

monde 3670 , et 334 ans avant Jésus-Christ. Alexandre, ce conquérant civilisateur, qui n'eut point d'enfance et W'arriva point jusqu'à l’âge mür ; cet homme prodigieux, dont la vaste pensée embrassait le monde, qu'il parcourut en triomphateur, voulait que la ville dont il traça l'enceinte, servit pour ainsi dire de lien entre l'Orient et l'Occident. Cette noble idée qui rattachait ainsi à un avenir inconnu tout le passé de la terre des Pharaons, ne finit point avec la vie et la puissance humaine de celui qui l'avait conçue, et participa ainsi de ce caractère de durée qui défend contre le temps les inspirations du génie. Alexandrie a rempli, en effet, sous plusieurs rapports, la destinée que lui avait assiguée son glorieux fondateur.

Après la mort d'Alexandre, le vaste empire que formaient ses conquêtes , fut livré à d’effroyables déchiremens. Chacun de ses capitaines prit une couronne, Celle d'Égypte échut à Lagus, qui, respectant du moins la pensée de son maitre, transporta à Alexandrie le siége de son autorité. Bientôt cette cité effaça, par la beauté et le nombre de ses monumens, la splendeur de ces villes antiques, berceau des orgueilleuses traditions de l'Égypte. La douceur du gouvernement de Lagus attira dans ses murs les savans et les philosophes de la Grèce : les artistes accoururent sur leurs pas , et la brillante civilisation d'Athènes, dont la gloire et la liberté venaient de mourir, transportée ainsi sous le beau ciel de l'Égypte, y jeta en peu d'années de fécondes racines. C'est à cette époque qu'il faut placer l'établissement de l’école d'Alexandrie. Mais Ptolémée-Philadelphe, fils et successeur de Lagus.. donna à cette institution naissante des marques si écla. tantes de sa protection, que la gloire de sa fondation lui en est généralement attribuée. Il logea les savans et les philosophes, à qui l’école était ouverte, dans un magnifique édifice attenant à son palais. (Srrason, Géogr. hb. xur.) I fournit libéralement à toutes les dépenses des entreprises tentées dans le but des découvertes et du perfectionnement des sciences, et commença enfin à rassembler à grands frais cette immense et célèbre bibliothèque , où furent successivement déposés tous les livres de l'Égypte, et tous ceux que produisirent les progrès des connaissances humaines, La perte de cette collection

unique est encore, après plus de mille ans, l'objet des regrets les plus justes et les plus douloureux.

Au premier rang des maitres qui, sous le rapport des sciences mathématiques, vinrent dès son origineillustrer l'école d'Alexandrie, on doit placer le grand Eudclide, qu'il n’est plus permis aujourd'hui de confondre avec Euclide de Mégare, le philosophe , et le disciple de Socrate, mort un siècle avant l'époque du géomètre. Euclide rassembla toutes les vérités élémentaires de la géométrie découvertes avant lui. Il apporta dans cet ouvrage une méthode si certaine et si avancée, il mit entre ses propositions un enchainement si précis et si rigoureux , que depuis lui, tous les efforts des géomètres ont été impuissans pour réformer ses démonstrations, à l'évidence et à la force desquelles ils n’ont pu porter atteinte. Après plus de deux mille ans, les élémens d'Euclide n’ont pas cessé de former la base essentielle de la science, et nul bras n’a été assez fort pour briser la chaine formée par l'ancien géomètre. Nous examinerons avec plus de développemens les importans travaux d'Eudide à l'article biographique que nous lui consacrerons. Il en sera de même des doctrines et des découvertes des savans que nous allons nommer dans le cours de cette notice, spécialement consacrée à l’ensemble des connaissances mathématiques que l’école d'Alexandrie a répandues dans le monde.

Tandis qu'Euclide jetait ainsi les bases indestructibles de l’arithmétique et de la géométrie, l'astronomie sortait, à Alexandrie, de l’état d'enfance où elle était encore plongée, et où l'avaient laissée les philosophes grecs depuis Thalès. Aristille et Timocharis, dont nous ne connaissons malheureusement les travaux que parce qu'ils ont été analysés dans l’almageste de Ptolémée, cessaient de se livrer à de vaines conjectures , et commençaient à sentir la nécessité des observations auxquelles on a dû le premier système d'astronomie ; fondé sur une comparaison réfléchie des phénomènes célestes, et propre à les représenter avec quelque vérité. Aristille et Timocharis paraissent avoir été les premiers astronornes qui aient déterminé d’une manière approximative la position des étoiles fixes par rapport au zodiaque, en marquant leurs longitudes et leurs latitudes. Un autre astronome, Dionysius, se faisait en même temps remarquer à l’école d'Alexandrie par la production d’une ère particulière, où les noms des mois sont dérivés de ceux du zodiaque. À peu près à la même époque, l’école voyait fleurir Aristarque de Samos, dont les travaux astronomiques acquirent une grande célébrité, car ils eurent pour objet le système de l'univers : il se rallia à l'opinion que l'école pythagoricienne avait émise sur le mouvement de la terre, et fit de nombreux efforts pour faire prévaloir cette hypothèse à Alexan-

drie, Avistarque de Samos a composé divers écrits ma-

thématiques dont malheureusement il n’est venu jusqu'à nous qu’une faible partie; mais le témoignage de ses contemporains a déposé en faveur de son génie et consolidé sa gloire. Il créa une nouvelle méthode pour mesurer la distance du soleil à la terre par la dichotomie de la lune, qui fit une profonde sensation à l’école d'Alexandrie; car cette proposition qui reculait considérablement les bornes de l'univers, était contraire à toutes les connaissances scientifiques, et surtout à la cosmogonie de l’époque.

Eratostènes, qui suivit de près ces hommes célèbres, prit à Alexandrie une place distinguée parmi les savans maîtres de l’école, par ses travaux dans la géométrie et l'astronomie, branches des sciences mathématiques auxquelles il s’'adonna spécialement. Il donna une solution du problème de la duplication du cube, conservée par Eutocius dans ses commentaires sur Archimède. On lui doit encore une méthode ingénieuse pour trouver les nombres premiers. Ce fat par les conseils d'Eratostènes que Ptolémée-Evergetes fit établir et placer sous le portique de l’école d'Alexandrie de grands instrumens pour l'observation des astres ; la science lui doit aussi la construction des armilles, fameuses dans l'histoire de l’astronomie grecque, qui a exécuté par leur moyen ses principales observations. La tentative d'Eratostènes pour mesurer la grandeur de la terre, en observant le passage du soleil au-dessus du puits de Syène, dont il avait remarqué que le fond était illuminé à midi, le jour mème du solstice d'été, fit époque dans la science, quoique l’évaluation de la grandeur du degré terrestre due à ce procédé, n’offre qu'une approximation peu concluante. Il en est de même de l'observation que fit encore ce savant de l’obliquité de l’écliptique.

Parmi les mathématiciens qui se formèrent à l’école d'Alexandrie sous les successeurs d'Euclide, Appollonius de Perge est un de ceux dont le génie a jeté le plus d'éclat, et dont les travaux ont le plus contribué aux progrès de la science. Appollonius a écrit avec une étonnante fécondité sur toutes les parties des mathématiques ; maisson Traité des coniques aurait seul suffi pour immortaliser son nom. Ce chef-d'œuvre, dont les Arabes avaient entrepris une traduction sous le règne d'El-Màmoun, a été long-temps inconnu à l'Europe. Les quatre premiers livres de cet ouvrage précieux étaient les seuls qu'on y possédät , quand vers le milieu du XVII° siècle, les derniers furent heureusement recouvrés. Au reste, l'histoire de ces vicissitudes bibliographiques sera plus naturellement placée à l’article que nous consacrerons à Appollonius.

On ne s’est pas attendu sans doute à trouver ici la nomenclature exacte des mathématiciens qui firent honneur à l'école d'Alexandrie; nous avons seulement dû choisir, dans l’ordre chronologique, les hommes supé-

rieurs, dont les travaux font époque dans l'histoire de cette institution , et marquent un progrès dans la science. L'esprit humain n'arrive que par des gradations lentes et successives à la découverte des grandes vérités; et l'on peut se faire une idée de la marche suivie par les sciences mathématiques, en mesurant les phases de leurs progrès dans l'intervalle des deux siècles qui séparent les Élémens d'Euclide du ‘Fraité des coniques d’Appollonius. On ne doit pas oublier, au surplus, que nous avons passé sous silence l'histoire de ces progrès hors de l'école d'Alexandrie, quoiqu’elle füt alors comme le centre d’un grand système, et que son influence et ses enseignemens se répandissent au loin parmi les nations civilisées, Ainsi au nombre des grands mathématiciensde ce temps, dont nous n'avons pas mentionné les travaux, brille l’illustre et immortel Archimède. Mais un tel homme s’appartient à lui-même, ses œuvres appartiennent au monde, et aucune école ne peut revendiquer la gloire qui s'attache à son nom.

Après les grands hommes dont nous venons de rapporter succinctement les titres à l'admiration de la postérité, l’ordre naturel des temps place dans les fastes de l’école d'Alexandrie le nom justement célèbre d'Hipparque, né à Nicée en Bithynie, durant le cours du IT' siècle avant notre ère. Si l'époque précédente semble plus remplie, dans l’histoire des mathématiques ; por les progrès de la géométrie, Hipparque vint marquer celles des découvertes dont l'astronomie devait s'enrichir, en établissant des hypothèses qui ont mis la science sur le chemin de la vérité. Cet astronome détermina avec plus de précision qu’on ne l'avait fait avant lui , la durée des révolutions du soleil; il mesura l'excentricité de cet astre et détermina son apogée. Le génie de cet homme célèbre s’éleva ainsi jusqu'aux plus hautes conceptions de la science. C’est à lui que l’on doit le premier catalogue d'étoiles fixes, qui servit ensuite à Ptolémée pour dresser les tables du ciel. Ce prodigieux travail, qui n'effraya ni la patience, ni le courage d'Hipparque, mit la science sur la voie d’une de ses plus brillantes déceuvertes, celle du mouvement des étoiles, et révéla à l'humanité la connaissance de l’ordre admirable qui préside au système du monde. Les mouvemens de ces astres innombrables qui se meuvent dans l’immensité , cessèrent d'être pour l’homme un mvstèré inexplicable, et désormais il eut l’espoir, que la science a réalisé, de pénétrer plus avant dans le sanctuaire des lois immuables qui régissent l'univers. Sainte et puissante faculté de Ja raison, qui place l’homme au premier anneau de la chaîne des êtres, et lui découvre une partie des secrets de sa haute destination, en développant en lui cette virtualité créatrice qui l'élève jusqu’à Dieu! Quelque imperfection qui existe dans les découvertes des anaens, il estimpossible de ne pas admir2r les ingénieuses

hypothèses qu'ils fondèrent sur des observations exécutées en l'absence des instrumens que la science moderne a créés, et sur des observations antérieures dont ils n’avaient aucun moyen de vérifier l'exactitude et la précision. Ils apportèrent en effet une admirable aptitude et une étonnante sagacité dans l'emploi des seules méthodes qui fussent à leur disposition. Le chemin parcouru par la science astronomique depuis Thalès jusqu’à Hipparque est immense, et l’école d'Alexandrie a eu la gloire de marquer chacune de ses périodes par quelque grand progrès. En suivant par la pensée cette marche lente, maissüre, on voit peu à peu se dissiper les nuayyes qui dérobaient à la raison humaine les connaissances qui lui sont maintenant acquises; on voit se briser une à une les vieilles erreurs cosmogoniques des premières races civilisées, et la science préparer ainsi le monde à recevoir la première révélation de l'Évangile,

Tous les hommes qui se distinguèrent dans les sciences depuis Hipparque jusqu’à l’ère chrétieune, appartiennent directement ou indirectement à l’école d'Alexandrie. Leurs travaux ne sont en réalité que le développement des travaux des illustres maitres, que cette iustitution vit sortir de son sein. Ctésibius et Héron, son disciple, tous deux d'Alexandrie, se livrent alors avec succès à l’étude de la mécanique et reculent les bornes de cette science ; Possidonius se distingue par son habileté et ses profondes connaissances dans toutes les parties des mathématiques; Géminus trace l’histoire de l'astronomie; Cléomède écrit les élémens de cette science, et commence ainsi à en populariser l'étude; un autre astronome, Sosigènes, rattache son nom à la réformation du calendrier opérée par Jules - César; Divnysiodore résout le problème posé par Archimède de la division d’un hémisphère en raison donnée par un plan parallèle à la base; enfin, le géomètre Théodore pose les principes de l'astronomie sphérique, et fait faire un progrès à la gnomonique en construisant un cadran universel et portatif.

Durant le premier siècle de l'ère chrétienne l’école d'Alexandrie 2e produisit aucun mathématicien dont la postérité ait dù conserver le nom. Elle n’en brilla pas

moins d’un vif éclat dans les autres branches du savoir humain, dont nous n’avons point à nous occuper ici.

Chaque siècle a un développement intellectuel qui lui est propre; et à cette époque les grands événemens politiques qui venaient de changer la face du monde, durent donner à l'esprit humain une direction qui affecta les progrès des sciences. Toutes les idées se portèrent vers les questions sociales, que devait faire agiter la perte de tant de nationalités envahies par l'immense monarchie qui s’éleva sur les débris de la liberté romaine. D'un autre côté, le christianisme commençait à répandre dans le monde les bienfaits de ses hautes doc-

AL 43 trmes, et influait sur la préoccupation des esprits de toute la puissance que la morale exerce dans les rapports sociaux.

Vers l’an 130 de cette ère de rénovation, l’école d'Alexandrie accueillit avec enthousiasme les travaux de Ptolémée, né à Ptolémaïde en Égypte. Hipparque avait eu le projet de fonder un cours complet d’études astronomiques ; Ptolémée le réalisa, et rectifiales théories de ce maitre par de nouvelles observations, auxquelles il donna plus d’extension, et un caractère de certitude qui fit de ses hypothèses la science elle-même, dont ses devanciers n'avaient pu aborder tous les problêmes, Nous parlerons ailleurs avec plus de développemens des découvertes de Ptolémée; il nous suffira de dire ici que cet illustre astronome, en posant ses doctrines comme une limite qu’il n’était plus permis de dépasser, ferma pour ainsi dire l’école d'Alexandrie au progrès, Son sytème fat généralement adopté et servit de base aux observations des Arabes, quand les mathématiciens de cette nation restaurèrent l'astronomie. En recevant d’eux la science , l'Europe moderne accepta les principes sur lesquels elle était fondée; ils furent aussi les seuls qu’on enseignät dans nos écoles, jusqu’au temps plus près de nous où de prodigieuses découvertes vinrent renverser un système qui avait régi la ‘science pendant près de quatorze siècles.

Les travaux de Ptolémée semblent avoir donné un élan nouveau à l'étude des sciences mathématiques ; maisses livres furent seulement l’objet de commentaires plus ou moins ingénieux, sans que, comme on vient de le dire, les bornes qu'ils avaient imposées à l’astronomie fussent jamais dépassées. Cependant des géomètres célèbres, tels que Hvpsicle, Porphyre, l’évêque Anazolius, Philon de Thyane, Tymaridas, Achille Tatius, conservèrent dignement depuis Ptolémée jusqu’à Diophante l'antique renommée de l’école d'Alexandrie.

C’est à ce dernier mathématicien qu'on attribue l'invention de l'algèbre; il est du moins le premier des Grecs dans les ouvrages duquel on découvre les plus anciennes traces de cette science. Après lui, Pappus, Théon et la célèbre Hvpatia, sa fille, apparaissent dans l’école d'Alexandrie comme les derniers rayons de l’astre majestueux des sciences mathématiques. Vers le milieu du cinquième siècle, le philosophe Proclus, chef de la secte platonicienne, ouvrit une école nouvelle à Athènes, où se trouva ainsi transporté le siège des mathématiques. Depuis lors, l’école fondée par Lagus et Ptolémée-Philadelphe fut presque exclusivement ouverte aux disputes dogmatiques et aux doctrines de cette philosophie, remarquable par sa tendance à opérer la fusion des principes les plus opposés, tentative impuissante que l'éclectisme de notre époque semble vouloir

reproduire, au mépris des travaux intellectuels de l'Allemagne , qui ont fait faire aux sciences philosophiques un progrès aussi réel sur les doctrines de lécole d'Alexandrie, que ceux qui, dans les sciences mathématiques, ont dépassé les hypothèses de Ptolémée.

En l'an 641 de notre ère, la ville d'Alexandrie tomba au pouvoir des Arabes. Ce désastreux événement arriva sous le khalyfat d'Omar, le deuxième successeur de Mahomet, dont la religion avait en peu de temps embrasé l'Asie d’un enthousiasme frénétique. Le monde civilisé fut un moment menacé de tomber sous le glaive des sectaires ardens et fanatiques du Koran ; et Alexandrie, alors encore le refuge des savans et le dépôt des connaissances humaines, n’échappa point à leur aveugle instinct de destruction. Les monumens vénérables de l’antiquité qui peuplaient cette ville furent détruits ou mutilés, et la flamme dévora sa précieuse bibliothèque, où avaient été laborieusement recueillis tous les livres écrits durant neuf siècles, sur toutes les parties du savoir humain.

L'histoire a conservé le nom du philosophe Philopone, dont le dévouement et les généreux efforts furent néanmoins impuissans à prévenir cette catastrophe. Il parvint cependant à en faire suspendre l'exécution, et il ébranla assez fortement les convictions d’Amrou, pour que celui-ci crût devoir consulter le Khalyfe sur le parti qu'il avait à prendre. Voici la réponse que fit Omar, réponse que sa barbarie sophistique a rendue célèbre. « Les livres dont tu me parles, ditl à l'envoyé de son lieutenant, sont conformes ou contraires au Koran : dans le premier cas il faui les bruler comme inutiles; dans le second ils sont dignes du feu comme détestables. » Cet arrêt fut exécuté, et tel était le nombre immense des volumes qui formaient cette collection, que tous les historiens s'accordent à dire qu'ils servirent pendant près d’un an à chauffer les bains publics de la malheureuse Alexandrie.

| Ainsi périrent à la fois et cette célèbre école, qui durant une suite non interrompue de dix siècles, avait si puissamment coopéré aux progrès de l'esprit hu-

main, et cette bibliothèque où avaient, dit-on, été

jf classés dans un ordre admirable, tous les livres qui contenaient la pensée de l'antiquité. Cette perte inappréciable ne fut sans doute pas une des causes qui contribuèrent le moins à répandre sur le monde le sombre nuage d’ignorance et de barbarie qui ne s'est dissipé que lentement et après une longue suite d'années.

Par une de ces réactions inespérées et presque inexplicables, qui semblent indiquer l'influence de la main puissante qui dirige l’humanité, ces mêmes Arabes qui avaient anéanti, dans leur étrange fanatisme, l’école et la bibliothèque d'Alexandrie, et étouffé pour ainsi dire la science dans leurs mains sanglantes, furent la

première nation qui rétablit son culte, et qui honora son caractère social par d’importans travaux, auxquels Jes lumières modernes doivent jeurs développemens primitifs.

ALGEBAR ou ALGÉBOR ( 4str.). Nom arabe de la constellation d'Orion.

ALGÈBRE. Science des nombres considérés en QUE néral, ou science des Lois des nombres. (F'oyez Ma- THÉMATIQUES. )

L'origine de cette science ne peut être dérerminée avec exactitude, et, quoiqu'il en existe des traces dans les écrits des plus anciens mathématiciens, ce n'est proprement que depuis Diophante qu'elle a formé une branche de la science des nombres distincte de l'arithmétique. En effet, toutes les considérations numériques des anciens ne sortaient point de la sphère des propriétés individuelles des nombres. Diophante même ne s'élève à quelques vérités générales que dans cette partie de l'aigèbre nommée théorie des nombres, que Gauss et Legendre ont portée récemment à un si haut degré de perfection. 1

Le mot algèbre est dérivé de l'arabe ; mais son étvmologie a été diversement interprétée. Les Arabes, qui nous ont transmis les premières notions de cette importante science, l'avaient nommée é/-dyaber él-moqabelah; ce qui signifiait la science des restitutions, des proportions et des solutions. Quelques auteurs ont pensé que l'algèbre tirait son nom de Geber, mathématicien, à qui ils en attribuent l'invention, quoique l'existence de ce Geber ne soit pas bien prouvée. Sans nous arrêter à d’autres versions étymologiques plus ou moins fondées, nous allons jeter un coup d'œil rapide sur les premiers déveioppemens de la science des nombres, suivre ses progrès lents et insensibles à travers les siècles, et mentionner les principaux auteurs dont les utiles travaux l’ont successivement amenée à la certitude rationnelle qui la distingue si éminemment des autres sciences.

Le plus ancien ouvrage que nous connaissions sur l'algébre est celui de Diophante, auteur grec d’Alexandrie, qui vivait Pan 350 : il était composé de treize livres dont six seulement nous sont parvenus. Xylander en a publié une traduction latine en 1575; et, en 1621 et 1650, Gaspard Bachet et l'illustre Fermat en donnèrent des éditions grecques et latines accompagnées de commentaires. Les six livres qui nous restent de Diophante ne renferment pas un traité sur les parties élémentaires de la science; ils contiennent seulement une collection de questions difficiles sur les nombres carrés et cubes, ainsi que plusieurs autres propriétés des nombres. Dans ses observations préliminaires, ou dans sa préface qui est adressée à un Dionysius, pour lequel l'ouvrage paraît avoir été écrit, Diophante donne la

nomenclature ct la génération des puissances ; il nomme

les secondes puissances ou les carrés dynamis ; les cubes, cubus ; les quatrièmes puissances dynamo-dynamis; les cinquièmes, dynamo-cubus; les sixièmes, cubo-cubus , etc., selon la somme des exposans des puissances. L exprimait une quantité inconnue par le mot æpiôgos (nombre), et la désignait dans la solution par la seule finale os. Dans ses recherches sur la multiplication, il observe que moins multiplié par moins produit plus, et que moins multiplié par plus produit moins. À l'égard des signes d’addition et de-soustraction, il n’en employa qu’un seul pour la dernière et c’est un 4 renversé et un peu tronqué. Le mérite principal de l’ouvrage de Diophante consiste dans l'adresse avec laquelle il résout des problèmes indéterminés. Dans ces problèmes, ainsi nommés parce qu'ils sont susceptibles d’une infinité de solutions, il s’agit particulièrement d'éviter les valeurs irrationnelles auxquelles conduit la méthode ordinaire. Les anciens ne considéraient point les quantités irrationnelles comme de véritables nombres, et conséquemment, lorsqu'on demandait un ou plusieurs nombres propres à satisfaire une question, il ne fallait pas donner de ces quantités. Diophante les évite au moyen de certaines équations feintes, dont l'artifice mérite d'être développé. Nous allons en donner un exemple.

Soit proposé de diviser un carré donné en deux autres. Si le carré donné est 25, exprimant l’un des carrés cherchés par æ?, le second sera 25 — x?, ce qui doit être un nombre carré. Pour qu’il le soit nécessairement, formez, dit Diophante, un carré quelconque de la racine du carré donné, augmentée où diminuée d’un nombre de fois l’inconnue x, que vous égalerez au précédent 25 — x’. Ce nombre étant arbitraire, supposons - le égal à 3; on aura, pour la racine du carré fictif, 5—3x, dont le carré 25 — 30ox + 9x? sera égal à 25 — x. Ainsi, dans cette équation, 25 peut être retrauché des deux membres, et il restera seulement

ce qui donne, en divisant le tout par æ, et résolvant l'équation du premier degré 9x3—30=—x , x —3. Ainsi , les carrés cherchés seront 9 et 16.

Mais en formant autrement le carré fictif, en prenant, par exemple, pour racine 5— 4x, on aurait

, 0 A A2 trouvé x — e , dont le carré , ôté de 25, donne

pour le second carré demandé. Ce nombre est en

3 | Cr

effet le carré de Æ . Ainsi, voila encore deux nombres

carrés dont la somme est égale à 25; et en poursuivant de la même manière, on trouverait une foule d’autres solutions.

Diophante est le seul auteur grec sur l'algèbre dont les écrits nous aient été transmis. Nous savons seulement que la célèbre Æypathia, fille de Théon, fit un commentaire sur les treize livres de Diophante; mais ce commentaire a été perdu, ainsi que les sept derniers livres. Comment les Arabes devinrent-ils possesseurs de cette science ? C'est ce qu'on ignore. Quelques-uns supposent qu'ils la tenaient des Grecs , et d’autres soutiennent qu’ils la doivent aux Indous. Il est certain que les Bramines avaient quelques connaissances algébriques ; mais était-ce antérieurement aux Arabes ou postérieurement ? Voilà ce qu’on ne peut préciser. Quoi qu’il en soit, l’algèbre et son nom ont été transmis à l'Europe, et particulièrement à l'Espagne par les Arabes ou Sarrasins, vers l’an 1100, ou un peu avant.

L'Italie paraît avoir cultivé cette science, après son introduction en Europe, avant toutes les autres nations; et Lucas Paciolus où Lucas de Burgo fut un des premiers qui écrivit sur ce sujet : il publia plusieurs traités d'algèbre en 1470, 1476, 1481, 1487 et 1509. Son principal ouvrage, intitulé : Summa arithmeticæ et geometriæ proportionumque et proportionalitatum , fut publié à Venise en 1494, et réimprimé en 1593. Il Y fait mention de Leonardus Pisanus, qui parait avoir vécu au commencement du XIII siècle. Ce Pisanus, dont le véritable nom est Bonacct, était un marchand qui exploitait les côtes d'Afrique et du Levant. C’est de là qu’il avait rapporté l'algèbre; et c’est indubitablement à lui que l'Italie dut la connaissance de cette science. Il ne faut pas corifondre Léonard Bonacci avec un autre Léonard de Pesar, auteur d’un livre intitulé : Liber desideratus. Montucla, dans son histoire des mathématiques, parle de deux autres savans qui auraient précédé Leonardus Pisanus dans la science algébrique : Paul de l’Abacco et Belmondo ou Beldomondo de Padoue. Néanmoins, on connaissait très-peu l’algèbre en Europe avant les ouvrages de Lucas de Burgo ; et nous voyons, par ces ouvrages, que la science à cette époque (1500) ne s’étendait pas au-delà des équations du second degré, dont on tirait seulement les racines positives. On n’employait encore aucuns signes, excepté quelques signes d’abréviation des mots. Il ne s'agissait, au reste, que de la solution de problèmes numériques.

Après Lucas de Burgo, la science fit des progrès sensibles, et se répandit davantage. Elle fut principalement cultivée par le célèbre Jérôme Cardan de Bonamia, dont les écrits sur les mathématiques, en neuf livres, furent imprimés à Milan , où il professait la physique etles mathématiques, dans l'année 1539. En 1545 Cardan publia un dixième livre, sous le titre d’Arte magna, contenant la résolution des équations du troi-

sième degré, résolution qui lui avait été révélée en par-

tie par Nicolas Tartalea, mais qu'il compléta et démontra.

Cardan est le premier qui ait aperçu la multiplicité des valeurs de l’inconnue dans les équations , et leur distinction en positives et négatives. On lui doit en outre la remarque du cas dit rréductible dans les équations du troisième degré. Il avoue dans son #rte magna que la méthode de résoudre les équations cubiques appartient à Scipion Ferrco, de Bologne. Celui-ci cacha pendant long-temps sa découverte, ne l'ayant communiquée qu’au seul Antoine Florido, son élève. Ce dernier ayant proposé, dans un combat littéraire, à Nicolas Tartalea quelques problèmes qui conduisaient à des équations du troisième degré , son adversaire travailla avec tant de succès qu'il trouva enfin la solution désirée. Tartalea découvrit la règle à Cardan, mais ne lui communiqua point la démonstration. A force de méditations et de travaux, Cardan découvrit cette démonstration, et perfectionna la formule qui a conservé son nom. Dans l'A#rte magna se trouve encore une autre découverte bien remarquable : c'est la résolution des équations du quatrième degré, due à Scipion Ferrari, élève de Cardan.

Nous ne connaissons de Tartalea ou Tartaglea qu'un ouvrage publié en 1546 sous le titre : Quesite invenzioni diverse. Ce qu'on y trouve de plus remarquable, c’est la résolution des équations cubiques et le récit des difficultés qui s’élevèrent à ce sujet entre Cardan et fui.

A la même époque la science algébrique fut cultivée en Allemagne par Stifelius et Scheubelius. L’ Arithmetica imtegra de Stüfelius fut publiée à Nuremberg en 1544, par consèquent une année avant la putlication del’ Arte magna de Cardan. Ce fut Stifelius et quelques autres mathématiciens allemands qui inventèrent les signes +, —, y, pour exprimer plus, moïns et les racines. Jean Scheubelius écrivit aussi plusieurs ouvrages ; mais il paraît n'avoir pas connu les équations cubiques, car il n’en fait aucune mention.

Quelques années après la publication de ces écrits en Italie et en Allemagne , Robert Recorde, céièbre physicien du pays de Galles, prouva par ses écrits que l'algèbre n’était pas tout-à-fait inconnue en Angleterre.

La première édition de son arithmétique fut publiée en 1552, et la seconde en 1557, sous le titre de The F hetson of svitte. On y trouve l'extraction des racines des quantités algébriques composées, et l’usage du signe de l'égalité, =.

En 1558 fut publié à Paris l'ouvrage de Peletarius , Jacobi Peletarii cenomant de occulta parte rumerorum quam algebram vocant Lib. duo. C’est une composition remarquable, dans laquelle toutes les parties alors connues de l'algèbre sont traitées avec beaucoun

de profondeur. Peletarius découvrit qu'une racine d'nne! équation est diviseur du terme absolu,

L'Italie nous présente encore Raphaël Bombelli, qu fit plusieurs désouvertes utiles, et dont l'algèbre parut en 1579. C’est Bombelli qui reconnut le premier que, dans le cas irvéductible des équations du troisième degré, la racine est toujours réelle. On lui a attribué la résolution des équations du quatrième degré, quoique le principe de sa solution soit le mème que celui de Ferrari, dont il n’a fait que développer la découverte.

Nous devons encore mentionner Sÿmon Steven, de Bruges, dans les ouvrages duquel on trouve des améliorations et quelques aperçus nouveaux. Il écrivit en

Depuis les découvertes de Cardan et de Ferrari, la science avait fait peu de progrès réels, lorsque la France vit naître dans son sein Francois Viète, cet illustre géomètre dont les travaux allaient changer la face de l'algèbre. Sortant enfin des considérations individuelles, il envisagea les nombres d’une manière beaucoup plus générale , et établit l'usage des lettres pour représenter toutes les quantités connues ou inconnues; ce qui fit donner à son algèbre le nom de spécieuse, qu’elle a gardé long-temps, parce que tout y est représenté par des symboles. Les diverses transformations qu'on peut faire subir à une équation, pour lui donner une forme plus commode, sont pour la plupart de l'invention de Viète. Il en traite dans son livre : De ernendatione æquationum, et enseigne la méthode d’auginenter, de diminuer, de multiplier et de diviser les racines d’une équation. C'est par un artifice semblable qu’il fait disparaître le second terme des équations, opération qui résout directement celles du second degré et prépare les autres. Partant de ces considérations, Viète s'élève jusqu’à la résolution générale des équations de tous les degrés. Personne avant lui n'avait embrassé un sujet aussi vaste. Il propose des règles pour trouver les racines par approximation; et si la méthode qu'il invente est longue et laborieuse, il ne lui reste pas moins le mérite d’avoir ouvert la carrière parcourue ensuite avee tant de succès par Descartes, Newton, Euler et Lagrange. Où doit encore à Viète l’application de l'algèbre à la géométrie, du moins cette application dont l’objet est la construction des formules sans employer les coordonnées. Quelques géomètres du XVI siècle avaient, à la vérité, trouvé plusieurs solutions particulières; mais comme ils assignaient tous des valeurs numériques aux lignes données des problèmes , et qu'ils se bornaient à trouver celles qu'ils cherchaient de cette manière, leurs solutions étaient privées de cette généralité que la nouvelle forme que Viète avait donuée à l’algèbre, par l’adoption des lettres pour représenter les grandeurs, lui permettait d'erbrasser. Nous ne devons pas omettre

que la doctrine es sections angulaires doit être mise au nombre des découvertes de ce grand mathématicien, et qu'il entrevit la loi que suivent les développemens des puissances d’un binome; loi trouvée depuis par Newton, et qui est l’ubjet du fameux théorème connu sous le nom de binome de Newton. La considération de l'infini ne fut pas non plus étrangtre à Viète, car on lui doit

la formule remarquable suivante :

VEXVEHVIXVEHVEHVE) X etc... à l'infini, qui exprime le rapport du carré au cercle circonscrit, le diamètre étant 1.

Les ouvrages algébriques de Viète furent écrits vers l'année 1600, mais quelques-uns d’entre eux ne furent publiés qu'après sa mort en 1603. Le recueil de ses œuvres complètes compose un volume in-folio, que François Schooten fit imprimer en 1646.

Albert Gerard, en Flandre, et Harriot, en Angleterre, s’illustrèrent au commeucement du XVII° siècle par d'importantes découvertes. Gérard dans son livre, Invention nouvelle en algèbre, publié en 1629 , enseigne à construire géumétriquement les trois racines de l’équation cubique, su moyen de la trisection de l’angle, et il les représente par trois cordes inscrites dans le cercle. I prouve que daus le cas irréductible il ÿ a toujours trois racines réelles.

Gérard parait être le premier qui se soit occupé des racines imaginaires, et qui ait découvert qu’une équation à autant de racines réelles ou imaginaires qu’il v a d'unités dans l’exposant de la plus haute puissance de l'inconnue., Il fut également le premier qui montra l’usage des racines négatives dans les constructions géométriques.

La principale découverte d’'Harriot consiste dans les lois de la formation des équations de tous les degrés qu’il montre être le résultat du produit de binomes du premier degré. De cette formation découle une foule de vérités intéressantes pour l'algèbre, et on ne peut nier que le géomètre anglais n'ait fait faire un pas immense à la science , et qu'il n'ait grandement facilité les travaux de Descartes sur les équations. La résolution numérique des équations de tous les degrés fut aussi considérablement perfectionnée par Harriot, Les signes > et pour désigner plus grand et plus petit, sont de son anvention. Ses ouvrages furent publiés en 1631 par son ami Waruer.

Avant de quitter ces premiers fondateurs de l’algebre, nous ne devons pas oublier de mentionner Ougtred, dont les ouvrages ont été pendant quelque temps regardés comme classiques dans les universités eoglaises. Il écrivit le premier les fractions décimales fans leurs dénominateurs, comme on le fait actuelle-

ment, ét introduisit le signe X pour exprimer la multiplication.

Pendant la longue période que nous venons de parcourir, nous avons vu presque tous les efforts des géo- * mètres tournés vers les équations, et l’histoire de! l'algèbre se borne au récit de leurs travaux, plus ou moins heureux, sur cette partie de la science, importante à la vérité, mais qui est loin de la renfermer tout entière. Ce n’est qu'à partir des découvertes de Viète. et de Harriot que ses autres parties sont cultivées avec succès, et il nous devient impossible de continuer cette revue biographique d’auteurs, liée si intimement aux premiers progrès de l'algèbre. Désormais les découvertes se pressent et se succcèdent avec rapidité; d’immenses matériaux s'accumulent ; le cercle jadis si borné de la science des nombres s'étend de la manière la plus vaste et la plus inattendue; les phénomènes de la nature sont soumis à ses lois, et la création devient tributaire de ses caïculs. Le XVII® siècle nous apparaît brillant entre tous les siècles; avec lui les Descartes, les Fermat, les Waillis, les Galilée, les Kepler, les Newton, les Leibnitz, les Bernouilli, et tant d'autres non moins illustres, s’élancent dans la carrière. Une découverte ingénieuse, celle des logarithmes, salue son aurore; une découverte admirable, celle du calcul différentiel, couronne son déclin. Héxitier de tant de gloire, le XVIIT® siècle enrichit encore le vaste domaine qui lui est transmis : Moivre, Stirling, Cotes, Lambert, Waring, Maclaurin, Maupertuis, d'Alembert, Lagrange, Laplace et surtout Euler, développent et perfectionnent successivement toutes les branches de la science; mais les limites qui nous sont fixées dans ce dictionnaire nous forcent à renvoyer aux articles qui concernent en particulier chacun de ces hommes célèbres le récit de leurs travaux. Nous allons aborder la science elle-même que des investigations plus modernes ont enfin complétée.

1. Les nombres peuvent être envisagés sous deux points de vue différens : celui de leur construction ou génération, et celui de leur relation réciproque ou comparaison. Il en résulte deux subdivisions générales pour la science de leurs lois, qui se partage ainsi en deux branches, dont la première a pour objet les lois de la construction des diverses espèces de nombres, et la seconde, les lois de fa comparaison de ces nombres. Établissons d’abord en quoi consiste la construction des nombres.

2. Nous n'avons ja conception primitive que du seul nombre un, car nos perceptions ne nous offrent que des individus, et si nous formons des collections d'objets c'est par la force synthétique de notre entendément qui nous fait réunir plusieurs perceptions en une seule perception générale ou conception; ainsi deux percep-

tions d'un même objet ou d'objets semblables nous donnent la conception du nombre deux et par suite celle des nombres 3, 4, 5, G, etc. Les nombres se présentent donc d’abord à l'intelligence comme de simples agrégats d'unités, et le premier mode de construction qu’elle peut embrasser est de continuer indéfiniment cette agrégation d’unités, pour s'élever successivement à des nombres de plus en plus grands, depuis l'unité primitive jusqu’à l’évfint, qui n’est lui-même que l'unité totale. Nous avons, dans les NorTioOns PRÉLIMINAIRES,

assigné à ce mode de construction la forme générale a+b=ce.

a et b exprimant des quantités quelconques d'unités et c le nombre formé par la réunion ou la somme de ces unités.

Si nous étions bornés à ce mode primitif de construction, toute la science se réduirait évidemment à /’addition et à la soustraction, qui n’en est que la considération inverse, et nous ne connaitrions d’autres nombres que 1es nombres entiers ; mais ces nombres étant une fois construits, l’entendement s'en empare, y applique ses facultés diverses, et s'élève à de nouveaux modes de constructions qui nous font successivement connaitre d'autres espèces de nombres soumis à de nouvelles considérations. C’est ainsi que du mode primitif a + b —c, nous parvenons au mode intermédiaire «a X b=ce,et

enfin au mode final a — €.

Ces trois modes de construction des nombres étant, comme nous le verrons plus loin, les seuls possibles, c'est d'eux que nous devons déduire la nature particulière de toutes les espèces de nombres, ainsi que les lois générales qui les régissent; reprenons donc les trois formes

a: bb= ca bc;

et généralisons ce que nous avons exposé dans les notions préliminaires.

La prenuère forme a + b = c ne peut, comme nous l'avons déjà dit, nous faire connaître que les nombres entiers : la conception du nombre £ étant dans tous les cas celle d’un agrégat d'unités tant que à et b sont euxmêmes de tels agrégats : mais l'égalité a + b = c nous donnant nécessairement l'égalité inverse © — a — b, cette dernière devient, à son tour, susceptible d’être considérée dans toute sa généralité, indépendamment des valeurs particulières de e et de à, et doit toujours nous donner la construction du nombre b, quels que soient act c. Or il se présente un cas remarquable dans cette construction, c'est celui où, dans l'expression générale c—a—b;onac# a,etouil est conséquemment im-

possible de retrancher a de ce, Dans ce cas supposons que

l'excès de a sur c soit d ou que l'on ait a — c + d; alors ce — a deviendra

puisqu'il est évident que pour retrancher a de c il faut retrancher les deux quantités « et d qui lui équivalent,

et l’on aura, € — c se détruisant, c—c—d=—4

L'idée que nous pouvons attacher au nombre d, précédé ainsi du signe —, est celle d’une quantité ayant une fonction de diminution, car partout où elle entrera elle opérera une soustraction. Nous sommes donc amenés à reconnaître dans les nombres, indépendamment de leurs grandeurs, une qualité d'augmentation et de diminution, et c’est ce qu'on appelle état positif ou négatif d'un nombre. Nous désignerons donc, selon l'usage , par le nom de nombre positif tout nombre qui a une fonction d'augmentation, et par celui de nombre négatif, tout nombre qui a une fonction de diminution.

3. Il est important de remarquer que l’état positif ou négatif d’un nombre n’exerce aucune influence sur la grandeur de ce nombre considéré isolément, mais qu’elle influe d’une manière majeure sur celle du résultat des opérations d’addition ou de soustraction dans lesquelles il peut entrer. En effet, si nous désignons toute quantité positive par (+ A), et toute quantité négative par (— B), l'addition de ces quantités sera exprimée par