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Cette doctrine forma un grand nombre de penseurs. En invitant chaque homme à rentrer en lui-même et à partir de sa propre conviction , Descartes offrait un moven de ne pas même s’égarer avec lui, dans lasupposition qu'il fût tombé dans quelques erreurs. Le service qu'ilrendit ainsi à la philosophie est immense; ilréforma la spéculation comme Coperric avait réformé l’astronomie, En brisant l'esclavage de la pensée il suscita uu mode actif de philosopher qui ruina le mode passif et historique en usage avant lui, et il ne suffit plus de jurer par la parole du maître pour triompher de toute idée raisonnable aux applaudissemens de l’école pédantesque de la philosophie aristotélique. La raison recouvra ainsi par lui sa féconde et puissante autonomie.

Déjà, sans doute, le dogmatisme scholastique avait été attaqué, avant Descartes, par des hommes tels que Rabelais, Ramus, Sanchez, Montaigne et Charron, qui tous, dans les formes spéciales de leur talent et de leur caractère, l'avaient tour à tour poursuivi de leurs railleries cyniques, de leurs sarcasmes, de leurs graves objections. Mais ils n'avaient pu Jui substituer qu'un scepticisme exagéré, qui n’était réellement que la négauon de toute science philosophique. Aussi, à peu près à la même époque, des hommes de foi comme Erasme et Mélanchthon , effrayés du néant que le pyrrhonisme amenait dans la spéculation, prétèrent-ils à la scholastique l'appui de leur chaleureuse éloquence. Il ne faut pas s'imaginer d’ailleurs que la scholastique fût en elle-même une chose puérile, Les Thomas et les Scot n'étaient point des esprits superficiels ou grossiers. Ces hommes remarquables par l'étendue de leurs connaissances et la subtilité de leur dialectique avaient du moins montré, dans toute son étendue , l'emploi que l'esprit humain pouvait faire de l'instrument logique. Ils avaient fait plus encore en purifiant , en intellectualisant l’idée de l'être suprème. Ainsi la scholastique mettait l'esprit humain sur le chemin d'une métaphysique rationnelle, et par cela même valait toujours mieux que l’empirisme et que le scepticisme. Telle fut l’œuvre de Descartes qui réalisa, par l'émancipation de la raison, cet inappréciable bienfait.

La devise de l’école cartésienne fut celle - ci : « Pense par toi-même , et ne juge de rien sur parole. » Elle renferme l’une des règles les plus importantes pour l'esprit philosophique, et n’admet le doute que comme une préparation à l'examen. Cette école célèbre illustra la France etia fit comprendre parmi les nations les plus éclairées. Le cartésianisme fut successivement adopté par les esprits les plus forts, les plus élevés, les plus indépendans du siècle de Louis XIV , par les Bossuet, les Fénelon, les Mallebranche , par les principaux membres de l'illustre congrégation de l'Oratoire, par les

écrivains si distingués de la grande et célèbre école de

Port-Royal, et enfin par une institution religieuse, aujourd’hui déchue, qu'on n’a du moins jamais accusée d'ignorance. Si ces illustres adhésions ne suffisaient pas pour établir la profonde influence que le cartésianisme exerça sur son siècle et en même temps sa haute direction, les sarcasmes de Voltaire et de son école prouveraient assez qu'il était, pour l’empirisme du dernier siècle, un principe fort et vivant qui condamnait ses déplorables erreurs.

Ainsi la philosophie de Descartes n’est pas tellement une faible conception qu’on n’en doive parler que pour mémoire, et, n’eüt-il point d’autres titres à l’admiration de la postérité, sa gloire serait encore immortelle.

Le principe rationnel que Descartes avait apporté dans la métaphysique, il dut l'appliquer aussi à la physique. Malgré la hardiesse et peut-être l’invraisemblance de quelques-unes de ses hypothèses, on est frappé de la fécondité et de l'étendue de son génie en examinant l’ensemble de son système. Néanmoins son ingénieuse idée des tourbillons est presque la seule qu’on lui attribue généralement , comme s’il était possible d'arriver à une telle conception, quelle que soit, au reste, sa valeur scientifique, sans avoir parcouru un cercle immense de

pensées et de recherches!

mais que de sublimes découvertes n’a-t-il pas réalisées daus cesystème, etdecombien d’autres conquêtes scientifiques ce système n'a-t-il pas été la source ! aussi un écrivaio moderne a-t-il pu dire, avec raison: s’il s’est trompé sur les lois du mouvement il a du moins deviné le premier qu’il devait y en avoir. Ne serait-ce point aussi en soumettant à l'examen de sa haute raison les idées de Descartes, que le grand Newton s’est trouvé naturellement dans la voie de ses immortelles découvertes?

Lorsque Descartes écrivit son discours sur la dioptrique, la réfrangibilité inégale des divers rayons de la lumière n’était pas connue; cependant, outre une foule d'applications ingénieuses de la géométrie à cette science, son traité renferme une exposition de la véritable loi de la réflexion , découverte immense que Huygens a voulu vainement contester à Descartes. Dans le traité des météores il a donné la véritable théorie de larcen-ciel. Ainsi, comme sa philosophie, la physique de Descartes est empreinte de la pensée d’un génie puissant; et si, dans son système du moude et dans l'explication de quelques phénomènes naturels , il n’a pas aussi heureusement rencontré la vérité, est-ce sous ce rapport seulement que doivent être envisagés ses immenses travaux, et à quelle hauteur ne faut-il pas être placé soimême pour se prononcer sur les erreurs d'un tel homme?

Les travaux géométriques de Descartes, qui doivent maintenant nous occuper, lui assignent à jamais je rang

le plus élevé ÿa mi les hommes de génie qui ont déterminé les progrès de la science. Ses droits, à cet égard, furent reconnus même par ses plus cruels ennemis ; et les théologiens hollandais, dont ileutà subirles attaques, rendirent hommage à la beauté et à l'importance de ses découvertes mathématiques. Mais nous avons eu raison de dire que la haute aptitude de Descartes, dans cette branche du savoir, découlait aussi du principe supérieur sur lequel il fonda sa philosophie. Cette idée n’est point nouvelle, et l'illustre Fontenelle avait dit avant nous, en établissant un parallèle entre Descartes et Newton : « Tous deux, géomètres excellens, ont vu la nécessité de transporter la géométrie dans la physique; tous deux ont fondé leur physique sur une géométrie qu’ils ne tenaient presque que de leurs propres lumières. » Ce fut en effet par une faculté spontanée de sa raison que Descartes opéra dans les mathématiques une révolution heureuse; et, en effet, ses idées, exposées presque sans ordre et surtout sans développemens , sont produites dans sa géométrie sous la forme de principes que son génie se contente de dévoiler, sans daigner s’astreindre à en faire l'application.

Le traité de géométrie de Descartes parut à la suite de la méthode , non pas comme on l’a dit, parce qu'il n’attachait aucun prix à des méthodes dont il était l’inventeur et dont sa gloire devait cependant tirer le plus d’éclat, mais parce qu’il avait été amené par le raisonnement, ou si l’on veut par la spéculation métaphysique, à la découverte de ses plus beaux théorèmes.

La science doit à Descartes la connaissance de la nature et de l'usage des racines négatives , et il est le premier qui les ait introduites dans la géométrie; il a donné une régle pour déterminer par la seule inspection des signes le nombre des racines positives et négatives, et il a ainsi enrichi la théorie d’'Harriot, d’une découverte que les injustes critiques de Wallis n’ont pu dépouiller de son caractère d'originalité et d'utilité aux yeux de tous les géomètres. On sait que la limitation de cette règle consiste en ce qu'il faut que l’équation wait aucune racine imaginaire, Descartes , comme l'ont prétendu Wallis et Roberval, n’a point ignoré cette limitation , puisqu'il l'annonce lui-mème dans un autre passage de géométrie, en disant que ces racines tant positives quenégatives, ne sont pas toujours réelles, mais quelquefois seulement imaginaires. Wallis a refusé à Descartes , dans le même esprit d’injustice , une dé-

“couverte fort importante dans l'algèbre c’est la mcthode des coefficiens indéterminés, qui consistex supposer une équation avec des cocfficiens indéterminés, dont on fixe ensuite la valeur par Ia comparaison de ses termes avec ceux d’une autre équation qui lui doit être égale. Nous ne pouvons donner ici que l'énoncé des décou-

* vertes et des tarvaux de Descartes dans la géométrie cet

l'algèbre ; elles sont exposées au mot qui les concerne,

daus tous leurs développemens , c’est pourquoi nous passons sous silence les diverses querelles scientifiques auxquelles ces découvertes ont pu donner lieu, soit du : temps même de Descartes , soit après lui.

L'application de l'algèbre à la géométrie est sans contredit une des plus belles découvertes de Descartes. Il est le véritable fondateur de cette science aujourd’hui si féconde, désignée sous le nom inexact de Géométrie analytique. On avait bien avant lui appliqué l'algèbre aux problèmes de la géométrie, mais c’est à Descartes qu’est due entièrement cette méthode de construire l’étendue à l’aide des relations de deux quantités variables, Il est ainsi bien certain que ces découvertes dans la science, antérieures à Descartes, ne sont pour ainsi dire qu’élémentaires relativement aux siennes; et c’est réellement à ce qu'il y a ajouté qu'il faut fixer l’époque d’une révolution qui a si énergiquement favorisé les progrès de la géométrie. La méthode des tangentes que donna ensuite Descartes, doit tenir un rang distingué parmi ses découvertes , quoique depuis lui on soit parvenu à en imaginer d’une expression plus simple et plus commode. Il parle lui-même de sa mcthode avec une sorte d'enthousiasme : « De tous les problèmes, dit-il, que j'ai découverts en géométrie, il n’en est aucun qui soit plus utile et plus général, et c’est de tous celui dont j'ai davantage désiré la solution. » Plus tard Descartes proposa dans sa correspondance une autre méthode pour les tangentes, mais toutes deux sont fondées d’ailleurs sur les mêmes principes.

Ainsi Descartes n’a abordé aucune des branches élevées du savoir sans leur imprimer lamarque de son génie. En mathématiques on lui doit d'importantes découvertes dans toutes les parties de l'algèbre et principalement dans la théorie des équations; l'application de l'algèbre à la géométrie et une ingénieuse méthode pour mener les tangentes aux courbes. Dans la physique mathématique, la théorie de l’arc-en-ciel, la loi de Ja réfraction et la démonstration du principe fondamental de la mécanique sont des découvertes inappréciables que la science doit à Descartes. On voit dans une des lettres de ce grand homme, écrite en 1631, qu'il avait reconnu ayant Torricelli la pesanteur de l'air et son action pour soutenir l’eau dans les pompes et les tuyaux fermés à une extrémité, puisqu'il y explique le phénomène de la suspension du mercure dans un tube fermé par le haut, en l’attribuant au poids de la colonne d’air élevée jusqu’au dela des nues. Il a enfin déterminé , par le principe rationnelqu'il a mis dans la philosophie, le grand mouvement intellectuel qui continue às’opérer dans l'esprit humain.

Nousavons vu plus haut que l'illustre Descartes, profondément affligé des injust:s persécutions que ses opi-

nions lui attiraient en Hollande, avait accepté l'asile que la reine Christine lui offrit à sa cour. Ce ne fat point cependant alors que la France se montra indifférente à la gloire de cet homme prodigieux. Ses doctrines y firent de rapides progrès, et le roi Louis XIIT lui fit en vain offrir ses faveurs. Il accepta plus tard du cardinal Mazarin une pension de 3,000 livres, qui lui fut exactement payée, malgré les troubles politiques qui agitaient alors le pays. Il est vrai que l’année suivante le brevet d’une pension plus considérable lui fut adressé et que, quand il eut payé le: droits d'usage, il n’en entendit plusparler. Mais qu'étaicnt-ce en cffet que ces tristes et faibles rémunérations envers un homme comme Descartes , tandis qu’une foule de poètes et de comédiens, honorés dans sa patrie, y recevaient les récompenses qui ne sont dues qu’au génie?

Le changement de vie que sa nouvelle position auprès dela reine Christine imposa à Descartes, altérèrent bientôt sa santé, qui avait toujours eu besoin des plus grands ménagemens. Le froid climat de la Suède et la tyrannie des habitudes de courtisan , qu'il fut obligé de prendre, abrégèrent sa vie, Atteint d’une fluxion de poitrine, il souffrit durant quelques jours et mourut à Stockholm le 11 février 1650, à peine âgé de 54 ans.

La reine de Suède donna des larmes à la mort de Descartes, elle voulut le faire enterrer dans le tombeau des rois, mais la Frauce réclama, par son ambassadeur, sa dépouille mortelle, qui néanmoin: ne fut transférée, de Stockholm à Paris, que dix-huit : ns après le douloureux événement qui avait privé le monde savant des vives lumières de son génie, et la France du plus grand homme qui ait jamais reçu le jour dans son sein.

Les restes de Descartes furent déposés dans l’église de Sainte-Geneviève , et l'on inscrivit sur son tombeau l'épitaphe suivante quioffre un remarquable résumé de sa vie et de ses illustres travaux.

RENATUS DESCARTES,

Vir supra titulos omnium retro philosophorum Nobilis genere, armoricus gente, turonicus origine [n Gallia Flexiæ studuit ,

In Pannonia miles meruit,

In Batavia philosophus delituit,

In Suecia r'ocatus occubuit.

Tanté viré pretiosas reliquias Galliarum percelebris tune legatus, Petrus Chanut, Christinæ, sapientissimæ reginæ, sapientium amatrici Invidere non potuit, nec vindicare patriæ Sed quibus licuit cumulatas honoribus Peregrinæ terræ mandavit invitus,

Anno 1650, mense fébruario , ætatis 54.

Tundem post septem et decem annos Ingratiam Christianissimti regis Ludovici decimé queiti

: DE Pirerum fns'gnium cultoris ct remunatorts Procurante Petro d'Albert Sepulchri p'o et amico violatore Patrie reddite sunt, Ein isto urbis et artium culmine positæ , Ut qui vivus apud exteros otum et famam quæsierat Mortuus apud suos cum laude quiesceret, Suis et exteris in exemplum et documentum futurus. I aunc viator , Et divinitatis, immortalis que animæ Maximum et clarum assertorem

Aut jam credefèlicem: aut precibus redde.

Nous ne croyons pas devoir ajouter ici la notice bibliographique des œuvres de Descartes, réimprimées plusieurs fois et sous tous les formats, elles sont connues de tout le moude. Il x avait daus le caractère de ce grand homme un mélange de douceur et de noble fierté qui annonçaient à la fois la pureté de son ame et l’élévation de son esprit. Il se laissa néanmoins emporter quelquefois par la vivacité de son imagination dans des querelles scientifiques où la raison n’était pas toujours de son côté; mais ce sont là de ces taches, comme celles du soleil, qu'on ne peut apercevoir qu'a l'aide de puissans instrumeus et qui n’altèrent pas plus la beauté de son géniequ'’elles n’obscurcissent l'éclat de cet astre. Du reste , tous les témoignages contemporains attestent la bonté du cœur, la générosité et la piété éclairée de Descartes, dont un apologiste a dit avec raison : « On peut avoir été plus loin que lui, mais c’est dans la route qu'il a tracée; on peut Fètre élevé plus haut , mais c’est en partant du point d’élévation où il a porté les esprits; on peut enfin l'avoir combattu lui-méme avec succès, mais c’est en se servant des armes qu'il a fournies. »

Qu'il nous soit permis , en terminant cette rapide notice sur notre grand et illustre Descartes, d'émettre ici un vœu qui sera compris de la France éclairée. Notre pays a élevé des monumens et des statues à la mémoire de quelques écrivains peu digues de l'enthousiasme aveugle qu’ils ont excité et dont les travaux ort ébranlé la morale et retardé la marche de l'humanité. Que la mémoire de Descartes soit enfin honorée et que la statue de Voltaire ne fasse plus remarquer, dans le temple même de la science, l’ingratitude de la France envers l'illustre restaurateur de la philosophie rationnelle.

DESCENDANT | Asu.). Les signes descendans sont ceux dans lesquels le seleil descend vers le pôle abaissé,

c'est-à-dire, du 3° au g° pour notre hémisphère boréal.

DESCENSION (Asur.). La descension d’un astre est, comme son ascension (voy. ce mot), DROITE OU OBLIQUE, selon qu’on la rapporte à la sphère droite ou à la sphère oblique ; c’est en général la distance entre le point équinoxial et le point de l'équateur qui descend sous l’ho; rizon en mème temps que l'astre. On nesesert plus au-

jourd’hui que des ascensions droites pour déterminer la position des astres.

DESCENTE Méc.). Les lois de la descente des corps forment une branche importante de la mécanique ; elles sont exposées dans plusieurs articles. Voyez ACCÉLÉRATION, PLAN INCLINÉ, RÉSISTANCE.

Lorsqu'un corps tombe librement, à la surface de la terre , en vertu de sa seule pesanteur , le mouvement de rotation de la terre le fait dévier de la verticale d’une manière assez sensible, pour que ce mouvement si longtemps contesté puisse être démontré par l'expérience. Poy. Dévrarion.

DESCHALES (le P. François Milliet), religieux de l’ordre de Jésus, a mérité le titre de savant et d'habile géomètre durant le XVII siècle, si prodigieusement fertile en grands maîtres dans les sciences mathématiques. Il naquit à Chambéry, en 1611, et se distingua par son savoir dans l'ordre religieux dont il avait pris l'habit. I est l’auteur d’un cours de mathématiques qui à pour titre : Cursus seu mundus mathematicus, etc.; Lyon, 1693—1691, in-f°. Aux leçons d’arithmétique et de géométrie qui forment le fond de cet ouvrage, le P. Deschales ajouta un traité sur la perspective et un autre sur la gnomonique. On place au nombre des meilleurs ouvrages d'hydrographie qui aient été publiés de son temps un autre écrit du P. Deschales intitulé : L'art de naviguer démontré par principes, etc. ; Paris, 1677, in-4°. Quoiqu'il fût entaché de quelques-uns des préjugés qui animaient alors l'Église romaine contre le système de Copernic, le P. Deschales eut le courage, sinon de prendre la défense de ce système, du moins de prouver la grossière ignorance en mathématique et en physique de quelques-uns de ses détracteurs. Le mérite particulier des ouvrages du P. Deschales est la clarté avec laquelle il y expose les propositions les plus compliquées. Il mourut à l’âge de 67 ans, en 1678, à Turin, où il occupait encore une chaire de mathématiques.

DESCRIPTION ( Gcom.). Action de tracer une figure, ou construction d’une figure; c’est ainsi qu'on dit décrire un cercle, une parabole, etc.

DESCRIPTIVE. Géoméenxe pescmprivx. Une des branches de la sance pe L’Érevnur. 'oy. Géomévne.

L'objet de la géométrie descriptive est la construction ou la génération universelle de l'étendue par le moyen des projections.

1. On nomme projection la trace déterminée, sûr un plan donné de position, par les intersections des perpeüdiculaines abaissées de tous les points d’une ligne ou ‘d’une surface situées hors de ce plan d'une manière quelconque.Par exemple, si de touslespoints de ladroite AB:on mène des perpendiculaires sur le plan MN, la trace CD formée par les intersections de ces perpendi-

culaires sera la projection de AB, et en , le particulier

point G sera la projection du point A, et le point D la projection du point B.

2. La position de la droite AB dans l’espace sera donc entièrement céte:minée si, connaissant d’ailleurs celle du plan MN, aiusi que la projection CD , on conuaît de plus la longueur des perpendiculaires AC et BD.

3. Cette position sera également déterminée par les projections de la droite AB sur deux plans différens donnés de position et perpendiculaires entre eux, tels que les plans MN et MP ; car ab et a'b' étant ces objections, si l’on fait passer par la première un plan aB perpendiculaire à MP , et par la seconde un plan A, perpendiculaire à MN, l'intersection de ces deux plans sera évidemment la droite AB.

4. Si du point « on abaisse la perpendiculaire 4x sur l'intersection commune MQ, cette perpendiculaire e

sera également à la droite aA (»07.PLax), et par conséquent on pourra faire passer par les droites ax, aA, Aa un plan perpendiculaire au plan MN, et dont l’intersection avec MN sera la droite a'x = aA. On a de plus ax = Aa’, Ainsi, lorsqu'on connait les deux projections «et a, d'un point À sur les plans rectangulaires MN ct MP , si de ces projections on abaisse des perpendicuhüres ax et ax à l'intersection commune MQ, ces perpendiculaires se rencontreront en un même point x, et seront respectives égales aux perpendiculaires menées du point À à chacun des plans, ou aux perpendiculaires détérminant les projections æet 4".

5. Pouf se conformer aux usages habituels dela ligne de niveau et du fil à plomb, on est convenu de suppo-

ser l’un des doux plans hor’=soztal et l'autre vertical

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Nous donnes ousie nom de base à la droite MG intersec-

tion commune des deux plans.

Le but des projections est de représenter par des

figures faites sur un seul plan, et n'ayant par conséquent que deux dimensions, tout ce qui concerne l'étendue ayant deux ou trois dimensions. Pour cet effet, on considère le plan vertical comme ne faisant qu’un avec le plan horizoutal, en supposant que le vertical , tournant autour de la base comme charnière, ait fait un quart de conversion pour ne plus former qu’un seul plan avec l'horizontal. En vertu de ce mouvement, toute droite située sur le plan vertical et perpendiculaire à la base, restera perpendiculaire à cette base après que la conversion aura été achevée, ct la projection verticale d’un point quelconque se trouvera sur le prolongement de la perpendiculaire menée de sa projection horizontale à la base, car le plan MP prenant la position MF", les perpendiculaires Ex et Fx ne font plus qu’une seule et même droite perpendiculaire à la base MQ.

Ceci posé, nous allons donner les propositions fondamentales de la géométrie descriptive.

7. Onnomme traces d’un plan quelconque lesdeuxintersections qu’it fait avec les deux plans fixes, lorsqu'on le prolonge suffisamment pour qu'il les rencontre, On nomme de même {races d’une ligne les points O et I (/ig. ci-dessus) , où cette ligue, prolongée s’il est besoin, rencontre les plans fixes.

8. Les deux projections d'une droite étant données, déterminer ses rraces sur les deux plans Jixes, c’est-àdire, les points où elle traverse le plan horizontal et le

plan vertical.

ee re.

Soit ab la projection verticale, et a’ la projection

horizontale. Prolongez ces projections jusqu’à cequ’elles rencontrent la base, la première en E et la seconde en C, et de ces points menez les perpendiculaires ED et CO à la base, dont la première rencontre en D le prolongement de la projection &’b', ct dont la seconde rencontre en O le prolongement de la projection ab, Les points D et O, ainsi déterminés, seront les traces demandées.

En effet, CD et EO sont les projections d’une droite OD, qui contient comme une de ses parties la droite dont ab, a'b' sont les projections. Or, cette ligne OD devant se trouver sur l'intersection de deux plans différens , l'un OCD mené par CD, et perpendiculaire au plan horizontal, et l’autre OED, mené par OE, et perpendiculaire au plan vertical, passe nécessairement d’un côté par l'intersection des droites CO et CE, et de l’autre par l'intersection des droites ED et OE; puisque CD perpendiculaire à CO, se trouve sur le plan perpendiculaire mené selon CO, et que ED perpendi« culaire à OE se trouve sur le plan perpendiculaire mené selon OË; ainsi ces intersections, ou les points O et D, sont les traces de la droite OD, et conséquemment de la droite dont ab ct a'b'sont les projections.

9. Si la droite OD était parallèle au plan horizontal, sa projection horizontale CD pourrait bien faire avec la base MQ un angle quelconque. Mais sa projection verticale serait alors parallèle à la base, et il n’y aurait point de trace horizontale D. On déterminerait comme ci-dessus la trace verticale O. |

10. Réciproquement, si la droite OD était parallèle au plan vertical, il n’y aurait point’ de trace verticale ; sa projection horizontale serait parallèle à la base, et l’on déterminerait seulement le trace horizontale D,

11. Les projections d'une droite étant ‘données, déterminer les projections d'un autre droite parallèle à la première , et assujélie à passer par un point dont les projections sont également données.

Les projections horizontales de la droite donnée et de la droite cherchée, doiventêtre parallèles entre elles, puisqu'elles sont les intersections de deux plans perpendiculaires au plan horizontal, et par conséquent parallèles entre eux.Par la même raison ; les projections verticales doivent être aussi parallèles entre elles. Donc en menant par les projections du point, des lignes parallèles anx projections de la droite donnée, ces parallèles seront les projections demandées.

12. Déterminer la longueur d'une droite dont les projections sont connues.

Si la droite est parallèle à l’un des plans, ce que l’on connait lorsque sa projection sur ce plan est parallèle à la base , elle est égale à cette projection. Si elle n’est parallèle à aucun des deux plans, elle est plus grande que chacune de ses projections. Dans ce dernier cas, le menant du point À (fig. du n° 4 ci-dessus) la droite

AD parallèle à la projection horizontale a'b' ou, ce qui est la même chose, perpendiculaire sur Bb", on aura un triangle rectangle ABD dont la droite AB est l’hypothénuse, et dont les deux autres côtés sontAD=—a'b" et BD—B?'—Aa', mais la projection ad de AD sur Île plan vertical détermine bd=BD, et cette projection s'obtient en menant ad parallèle à la base ; ainsi les deux côtés de l'angle droit du triangle rectangle ABD sont donnés par les projections, et il suffit de construire ce triangle pour obtenir l’hypothénuse ou la longueur demandée de la droite AB.

Ainsi ab, a'b' étant les projections données, du point a on abaissera sur bb’ la perpendiculaire ac sur laquelle on prendra de cen o, co=a'b', on mènera bo et cette droite sera égale à celle dont les projections sont ab et a'b'.

13. Connaissant les projections d’une droite, trouver les angles qu'elle fait avec chacun des deux plans fixes.

slaere | PS de S ï PRE "5 D C: DA 0 ni D Pat i A Ed pe ; pet ! &.

: 3 | * f ail i a H A Z Cd Ÿ vb”

Si ab et a" sont les projections données, on déterminera (8) les traces o et d, et alors l'angle odC sera l'angle fait par la droite avec le plan horizontal, et l’angle dE, l'angle fait par ta même droite avec le plan vertical. Ces angles appartiennent aux triangles rectangles oCd et dEo que l’on peut supposer entièrement connus, puisqu'on a leurs bases Co et dE, et

leuvs hauteurs Cd et 0Ë. Il suffit donc de construire ces triangles pour obtenirlesangles demandés. Ainsi, prenant ED — Ed et CO = Ca, on mènera les droites oD et dO dont la première fera connaître l'angle CO4 égal à l'angle de la droite avec le plan horizontal et la seconde , l'angle oDE égal à l'angle de la droite avec le plan vertical.

14. Connaïssant les projections de trois points quelconques , trouver les traces du plan qui passe par ces

trois points.

Soient a, b, cles projections verticales, et,a', b', c’, les projections horizontales données; menons les droites a'b', b'c', ab et ac; et prolongeons-les jusqu’à leurs points de rencontre respectifs 72, n, 0, p avec la base; des points o et p élevons, à la base, des perpendiculaires oA et pB jusqu'aux points À et B où elles rencontrent les droites ab et be; élevons de même des points » et m les perpendiculaires rC et mD jusqu'aux points C et D où elles rencontrent les droites a'b' et b'c’ ; les droites AB et CD seront les traces demandées, lesquelles, prolongées, auront un point commun E d’intersection où le plan proposé coupe la base.

Eneffet, ab et a'b! sont les projections d’une droite menée dans le plan proposé par les points dont a et 4, bet b', sont les projections, et d’après la construction A et D sont les traces de cette droite; de même be et b'e’ sont les projections d’une seconde droite menée dans le plan proposé par les points dont bet b', « et ec’ sont les projections, et également d’aprèsla construction C etB sont les traces de cette seconde droite. Or, le plan proposé coupe donc le plan horizontal aux points À et B et le plan vertical aux points C et D; ses intersections avec cesplans ont donc lieu suivant les droites AB et CD, et par conséquent AB et CD sont ses traces.

15. Les traces d'un plan ctant données ainsi que les projections d'un point situé hors de ce plan, trouver les traces d’un second plan parallèle au premier, et qui passe par ce point.

Soient MN et NP , les traces du plan, eta et a' les projections du point. Par le point a menons aÀ parallèle à Ja base , et aB parallèle à la trace verticale MN, jusqu’à sa rencontre en B avec la base. Par le point a’,

menons également a'C parallèle à la base, et a'D parallèle à la trace horizontale NP. Aux deux points B et D, élevons les perpendiculaires à la base BG et DA jusqu’à la rencontre des parallèles aA et 4'G, et par les points A et C, menons les droites AO et CO parallèles aux races données, ces parallèles seront les traces demandées.

Lessobnsnemuve nn #

En effet ;les points A et G sont les traces d’unedroite dont la projection verticale est aB.et dont la projection horizontale est «'C. Or, cette droite est parallèle au plan donné, puisque sa projeètion verticale aB est parallèle à la trace verticale de ce plan ,et par conséquent, elle est contenue dans le plan cherché puisqu'elle passe par de point dont les projections sont à et a’, Ainsi ce plan coupe le plan vertical au point À et le plan-horizontal au point C, et ces points sont situés sur ses traces; mais les traces de deux plans parallèles sont nécessairement parallèlés. Ainsi, il suffit de connaître un :seul point de chaque trace du second plan pour les déterminer, et ces traces sont les droites AO+t CO qui, par la natüre du problème , doivent se couper. à la base ‘én'un/même point O.

XGÉ tant données, les traces PB et:BC d'un planet les projections a et «' d'un point ; construire 1°.les prajections'de la’ttroite äbaïssée /perpendioulatrement du point sure plan ; 2° Les projections du:point de: rencontreide le droite et duplan.

Dés points & et a menons les perpendiculaires am et a'n sur les traces BP et BC; ces perpendiculaires seront 1és projections de la droite-demandée. Car si l’on conçoit un plan vertical mené par cette droite, ‘ce plan -coupera le plan donné et le plan horizontal en deux

droites qui seront l’une et l’autre perpendiculaires à la

commune intersection BC de ces plans, et dont la premicre sera la projection du plan vertical, et en même

temps la projection de la droite; ainsi cette projection devant passer par le point a et être perpendiculaire à BC, sera a'n.

On démontre de la même manière que am est la projection verticale.

Pour déterminer le point de rencontre, on doit remarquer que ce point se trouve nécessairement sur l’intersection du plan donné par le plan vertical mené suivant la droite cherchée, intersection dont 4'g estla projection horizontale, Or, si l'on avait la projection verticale Pr de cette intersection, elle contiendrait celle du point demandé, et comme de plus, ce point doit aussi se trouver projeté sur la perpendiculaire @x, il serait au point de rencontre r, de P£ et de am. Mais l'intersection dont il s’agit, rencontre le plan horizontal en n», dont on aura la projection verticale { , en menant xt perpendiculaire à la base; et comme elle rencontre le plan vertical de projection en un poiut dont la projection honizontale.est g,rencontre de la base avec a’ prolongée, s'il est nécessaire, et dont la projection verticale doit se trouver en même temps sur la perpendiculaire gP et, sur la trade PB, c’est-à-dire au point de rencontre P de ces droites, on aura donc la projection verticale de l'intersection en joignant par une droite les points P et £. Cette projection étant connue, il suffit de prolonger &x jusqu’à pour obtenir la projection verticale demandée du point.de rencontre; quant à la projection horizontale du même point, comme’elle doit se trouver en même temps sur le prolongement de la perpendiculaire menée de r à la base et sur a'g, en abaissant cette perpendiculaire, on la déterminera en s.

195 Étant données les projections d'une droite et celles d’un point, construire les traces d'un plan mené par Le point perpendiculairement à la droite.

Soient AB, ab les projections de la droite et D, d'célle du point. Par le point d, menons la droite indéfinie dG parallèle à la base, et par le point D, la droite DH, perpendiculaire à la projection horizontale AB, jusqu’a ce qu’elle coupe la base en H. Au point H, élevons à

DE la base la perpendiculaire HG, et du point G, où cette perpendiculaire rencontre la droite dG,menons GE perpeudiculaire à la projection ab; du point C, où GC ren contre la basé, menons également CE perpeñdiculaire à la projection AB.GC,et CEseront les traces demandées.

Où sait déjà par ce qui précède que les traces demandées doivent être perpendiculaires aux projections données de la droite, et qu’elles se coupent en un même point de la base; ainsi, il suffit d’unsecond point trouvé sur l'une ou autre de ces traces pour les déterminer entièrement. Or, si parle point cherché, on conçoit une droite parallèle an plan horizontal de projection, et prolongée jusqu’à sa rencontre avec le plan vertical, cette rencontre sera la trace de la parallèle, et se trouvera*ur la trace du plan; mais les projections d'une telle droite doivent être, la verticale, parallèle à la base; et l'horizontale, perpendiculaire à AB; elles sont donc les droites G et DH ; ainsi, d’après la construction, la trace verticale de cette droite est au point G, et ce point G fait également partie de la trace verticale du plan demandé.

18. Les traces de deux plans étant données construire les projections de leur commune intersection.

Soient AB, Ab lestraces du premier plan, et CD, Cd les traces du second, Du point», intersection de AB et de CD, abaissons zum" perpendiculaire à la base ; abais-

sons de même den’, intersection de Ab et de Gd, lt per-

pendiculaire »’#; menons ensuite les droites mn, m'r', ces droites seront les projections demandées.

En effet, tous les points des traces AB et CD se trouvant sur les plans proposés leur point de rencontre »2 se trouve en même temps sur ces deux plans, et fait conséquemment partie de leur intersection; il en est abso- Jament de même du point 7, commun aux deux traces Abet Cd; ainsi l'intersection des deux plans rencontre le plan verticale en "1, etle plan horizontal en w. Or, m' est la projection horizontale de 2, et n la projection vertical de »', donc zx est la projection verticale de l'intersection des plans donnés et 'n" sa projection horizontale.

rg: Construire l'angle formé par deux plans qui se

coupent , et donton connaît les traces.

Soient AB ct CD , les traces verticales des plans, cet Ab, Cdles traces horizontales. Construisons d’abord par ce qui précède la projection horizontale E/ de l'intersection des deux plaus et d'un, point [ pris à volonté, menons la droite GH perpendiculaire à Ef! Prenons fo égale à Efet f à égale à JT ; menons eo; et du pointé, abaissons sur cette droite la perpendiculaire £k ; portons tk de Ten K, et eufin du point K, ainsi déterminé, menons les droites KG et KH, l'angle GKH sera l'angle demandé.

On peut considérer la droite GI menée par le point arbitraire comme la trace d'un plan perpendiculaire à l'intersection des plans proposés, et par conséquent perpendiculaire à ces plans eux-mêmes. Ainsi l'angle formé par les intersections de ce troisième plan avec les proposés, sera le même que angle de ces plans; et ces intersections formeront avec GH, comme base, un triangle dont l'angle au sommet sera l'angle demandé. Mais si l'an conçoit le plan de ce angle abattu sur le plan horizontal, après avoir tourné autour de sa base GH, son sommet tombera nécessairement sur Ef, et deviendra l'un des points de cette droite; il suffit donc de détermiuer ce point, où la hauteur du triangle, pour pouvoir

construire ce triangle, et conséquemment pour connaître l'angle cherché.Or, la hauteur du triangle est la perpendiculaire abaissée du point I sur l'intersection des plans proposés et elle est comprise dans le plan vertical mené par E/. Si l’on conçoit donc que ce plan vertical soit abattu sur le plan vertical de projection après avoir tourné autour de fe, et quel’on prenne f I—fiet E/=fo, le point I se trouvera en £, le point E en o, et l’intersection en eo. Ainsi du point ?, menant sur eo , la perpendiculaire 7, elle sera la hauteur du triangle; il suffit donc de porter cette hauteur de I en K pour achever ce triangleet construire l’angle demandé GKH.