Les projections de deux droites qui se coupent

dans l'espace étant données , construire l'angle qu’elles forment.

nan an ma me mens

Soient AC et AB les projections horizontales et ac et ab les projections verticales. Par le procédé du n°8, déterminons d’abord les traces horizontales E et D des deux droites et menons DE. Cette droite sera la base d’un triangle dont les parties des droites proposées comprises entre leurs traces et leur point de rencontre, seront les autres côtés. Il ne s’agit donc que de déterminer les longueurs de ces parties , pour pouvoir construire le triangle et conséquemment résoudre le problème. Or, il se présente un moyen plus simple pour arriver à cette solution : du point À menons sur ED la perpendiculaire indéfinie AF ; joignons les points a et A, et portons AF de G en f'; tirons la droite af, et prenons FH=4af. Da point H, menons enfin HD et HE; l’angle EHD sera l'angle demandé.

En effet, la droite aA est perpendiculaire à la base, püusqueles droites proposées devant se couper, le point & est la projection verticale de leur point de rencontre etle point A la projection horizontale de cemême point(5).Or, AF est la projection horizontale de la hauteur du triangle dont ED est la base, et dont les deux autres côtés sont

les portions des droites proposées, comprises entre

DE

leur point de rencontre et leurs traces E et D, car si lon conçoit un plan vertical mené par la perpendiculaire abaissée du sommet de ce triangle sur sa base, ce plan passera nécessairement par le point À, et sa trace sera AF. Mais A est la projection horizontale de cette hauteur, dont une des extrémités est F, et dont l’autre se trouve élevée au-dessus du plan horizontal d’une hauteur verticale égale à 4G; elle est donc égale à l’hypothénuse d’un triangle rectangle aGf ayant aG et Gf=AF pour côtés de l'angle droit. De plus, la hauteur du triangle, si l’on suppose son plan abattu sur le plan horizontal, en tournant autour de ED, devant prendre la direction de AF, il faut donc prendre sur cette direction FH=—af, et le triangle se trouve construit en menant HE et HD.

21. Connaissant les projections d'une droite et les traces d’un plan, construire l'angle que la droite forme avec le plan.

Cette question se ramène facilement à la précédente, car si l’on imagine que par un point quelconque de la droite , on abaisse une perpendiculaire au plan, l'angle de cette droite avec la perpendiculaire sera le complément de l’angle cherché, et il suffira de le construire pour résoudre le problème. Mais d’après le n° 16, si l’on prend deux points sur les projections données qui soient sur la même perpendiculaire à la base et que de ces points, on élève des perpendiculaires aux traces respectives du plan donné, on aura les projections horizontales et verticales de la perpendiculaire au plan, et il nes’agira plus que de construire l’angle formé par deux droites dont on connait les projections, ce qui s’exécutera par les procédés du numéro précédent.

22. Étant donné l'angle de deux droites qui se coupent dans l’espace ainsi que les angles qu’elles forment l’une et l'autre avec le plan horizontal, construire la projection horizontale du premier de ces angles.

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DE

l'angle des deux droites, et AB la projection de ;a premuère de ces droites. Du point À, élevons sur AB la perpendiculaire indéfinie Aa, et d’un point arbitraire d, pris sur Aa, menonsles droites dB et dC dont la première fasse avec AB un angle dBA égal à l'angle donné, que fait la première droite avec le plan horizontal, et dont la seconde fasse l'angle dCA égal à celui de la seconde droite avec le même plan; menons de plus dD, faisant avec dB l'angle DB égal à celui des droites; prenons dD—dC, menons DB; et enfin des points À et B comme centres, et avec ACet BD commerayons, décrivons deux arcs de cercle; du point E où ces arcs se coupent, menons AE; l’angle BAE sera l'angle demandé.

En effet, si nous supposons que le plan vertical de projection passe par AB, ou que cette droite soit la base ; la projection verticale du sommet de l'angle des deux droites sera l’un des points de la perpendiculae Aa; considérant le point d comme cette projection, et Cd comme la projection verticale de la seconde droite; il est évident que cette seconde droite ne pourra rencontrer le plan horizontal que dans l’un des ponts de la curconférence du cercle décrit du point À comme centre avec AC pour rayon, puisque cette seconde droite fait avec ce plan un angle égal à dCA. I ne s’agit donc plus que de déterminer celui des points de la circonférence qui satisfait aux autres conditions du problème, et pour cet effet, il suffit de trouver sa distance à quelqu’autre point fixe tel que B. Or, l’angle B4D étant égal à l'angle des deux droites, le point D, déterminé par l'arc de cercle CD décrit du point 4 comme centre avec dC pour rayon , se trouvera à la même distance du point B que le point cherché; ainsi, menant BD et portant cette longueur de Ben E, ce point E sera le point cherché, et par conséquent CAE l'angle demandé. |

Ce problème connu sous le nom de réduction d'un angle au plan de l'horizon, trouve une application fréquente dans la levée des plans. Foy. Pran.

23. Telles sont les propositions élémentaires de la géométrie descriptive.

Les limites de ce dictionnaire nous forcent à passer sous silence les applications curieuses et importantes qu'elles offrent en foule, et pour lesquelles nous renverrons nos lecteurs aux ouyrages de Monge, créateur pour ainsi dire de cette branche de la géométrie (voy. GÉomÉrtE), à ceux de Lacroix , et particulièrement au Traité de géométrie descriptive de A1. F’allée.Les parties plus élevées de cette science sont traitées dans notredic tionnaire aux mots : NonmaLes, PLANS ranGENs, Pro- JECTION ; SURFACES COURRES ; VOyYEZ aussi: ÉCHELLE pEs cures, Epunes et TRANSVERSALE.

DÉTERMINÉ (Alg.).Les problèmes déterminés sont

ceux qui »’admettent qu’un nombre déterminé de s6lutions. On les nomme ainsi, par opposition aux problèmes indéterminés dans lesquels le nombre des solutions est indéfini. ’oy. INDÉTERMINÉE.

DÉTURBATRICE (4str.). On nomme force deturbatrice celle qui est perpendiculaire au plan de la planète troublée. Foy. PErrurgaTioN.

DEUCALION (4str.). Nom donné par quelques au-

teurs à la constellation du VERSEAU.

DÉVELOPPANTE (Géom.). Courbe décrite par le déroulement d’un fil enroulé sur sa développée. Voyez Dévecorrée.

DÉVELOPPÉE (Géom.). Courbe lieu de tous les points de rencontre des normales infiniment voisines menées à une courbe donnée, Ces courbes ont été découvertes par Huygens.

Si l’on imagine qu'une courbe AB soit entourée d’un fil flexible, infiniment délié et tout à fait inextensible, à mesure que ce fil abandonnera la courbe à partir du point À , sans cesser d’être enroulé sur elle, son extrémité décrira une nouvelle courbe, dont la première sera sa développée. La courbe décrite OG sera la développante. Il est évident d’après ce mode de génération, qu’en chaque point de la développante, le fil qui la décrit lui est perpendiculaire; car si on considère la développée comme un polygone d’une infinité de côtés, l'extrémité du fil décrira un arc infiniment petit de secteur circulaire qui se confondra avec l'élément de la courbe décrite. Le rayon de cet arcest le rayon de la développée, et comme il est tangent à cette courbe, on peut la considérer comme le lieu du concours de toutes les normales infiniment rapprochées de la développante. En effet, si ces perpendiculaires sont à une distance finie, elles formeront par leur rencontre un polygone circonscrit à la développée, et quand on les supposera infiniment proches, les côtés de ce polygone devien ; dront infiniment petits et se confondront avec la déve- * loppée.

De ce que chaque portion infiniment petite de la courbe se confond avee un arc du secteur circulaire dont le centre est sur la développée, il suit que sa courbure en chacun de ses points est la même que celle du cercle

PE t du rayon de Ja déveleppée; aussi ce rayon a-t-l recu Je nom de rayon de courbure, ct le cercle celui de cercle de courbure, ou cercle osculateur, Cherchons maintenaut comment pour chaque point d’une courbe nous pourrons déterminer son cercle 10sculateur, et partant le lieu de tous leurs centres, Si

uous comparons le cercle dont l'équation générale est ay =p

avec une courbe y=fx, pour exprimer que ces deux courbes ont un point commun, il faudra que dans l’une et dans l’autre les coordonnées de ce point soient les mêmes , ce qui donnera l'équation,

AA

En égalant les valeurs de y', première dérivée de y, daus les équations des deux courbes , nous exprimerons qu'elles ont une tangente commune au point x, y, et

nous aurous les relations

Voyez Foxcrions.

De ces deux équations on tire pour les valeurs de «

et de 5 en fonction de x, y, y" etp:

. p RD y en (6 or y 608 (r=y?)

sl

Si le rayon p était donné, le cercle dont les coordonnées du centre seraient « et 8, serait tel qu’entre lui et la courbe, on ne pourrait faire passer aucun autre cercle du même rayon; car pour déteriniuer les coordonaées 1 et £ du centre de ce nouveau cercle, on aurait les mêmes relations que celles qui ont servi à déterminer « et £

Le cercle dont le rayon estp, étant tangent à la courbe au point æ,,y indépendamment de toute valeur de p, si on suppose le rayon indéterminé, et qu’on l’élimine entre les valeurs de «et £, on aura la relation.