ER) Y
J B=Yy +
qui est l'équation d’une droite, laquelle sera par conséquent‘le lieu des centres de tous les cercles tangens à la courbe au point æ, y,et qui alors sera normale à la courbe en ce point.
Simaintenant nous exprimons que y” est le même
dans le cercle et dans la courbe, nous obtiendrons la reation
(ea)
DE
qui permettra de déterminer «, £ etp en fonction de x, y," et y". Le cercle sera alors complétement déterminé, etil sera tel qu'aucun autre cercle ne pourra passer entre lui et la courbe au point x,y. En effet, pour déterminer les coordonnés » et £ du centre de ce nouveau cercle , et son rayon R, il faudrait exprimer que dans ce nouveau cercle et dans la courbe, y,7' et 7” sont les mêmes, ce qui donnerait les mêmes équations que celles qui ont servi à déterminer «, B etp.
Le cercle que nous venons de déterminer a un contact du second crdre au point x ,y avec la courbe. C’est le cercle osculateur de cette courbe; et le lieu des centres de tous ces cercles est la développée. Cherchons en effet la courbe qui, en chacun de ses points aura un contact du second ordre avec le cercle dont l'équation est
+0 bep,
et dont les élémens du contact «, B et p ont entre eux la relation @ (x, £, p}=0.
Pour y parvenir, on pourrait substituer dans cette dernière équation les valeurs de «, £, p trouvées cidessus, et à l’aide de l’équation du second ordre obtenue, on remonterait à l'équation primitive. Mais si on suppose les quantités #, 8 et p constantes, ce qui redonnera l'équation au cercle , on aura l'équation primitive complète; et si on fait varier «, B, p, de manière que les équations primes et secondes de l'équation du cercle, soient les mêmes que si ces quantités étaient regardées comme constantes, ou aura une équation primitive qui sera celle de la courbe enveloppant tous les cercles représentés par lamême équation.
On obtiendra cette équation en éliminant les quan- 6 +
=, entre les équations
tités c, B,pet—,, g. &
(jee. (aa + (y—pf=p (2)... æ—a+(y—fy'=0 (3)..... @(x, B, p)j—=0
et les équations primes de celles-ci prises relativement aux seules variables «, B et p, et qui sont
Ge (eat (pet
(6)s css @f ar ? BE + Ê, @' p=0
® à Lnéral Mais les valeurs de æ et de y se présentent géncralemeut ainsi sous une forme compliquée, il est plus simple de chercher à Les déterminer à l’aide d'une troi-
sième variable. e
DE
Étiminons d’abord y’ au moyen des équations (2) ct (5), noûs aurons
at ee
£' qui; combinée avec (1) donne immédiatement
pas va°+6" En substituant ces valeurs dans (4), on obtient : p'=V a EE
équation qui, combinée avec #{x, 8, p)}=0, donnée par
