Y°=PL

En prenant les dérivées , on a

d'où

ce qui donne pour les valeurs de x et de y

1 LE nt)

En substituant dans l'équation (1), on obtient

Si maintenant on pose &— 7 — 0; c'est-à-dire, si on > transporte l’origine des coordonnées à l’origine de la développée, on aura pour l’équation de la développée, 169%

Cette courbe aura deux branches, dont l’inféricure engendrera la branche supérieure de la parabole, et vice versé.

On pourrait, en suivant la même méthode, trouver l'équation de la développée de la cycloïde, mais nous allons déterminer la nature de cette courbe à l’aide de considérations géométriques.

Le rayon de courbure de la cycloïde est égal à deux fois la normale à la courbe (voyez RAYON DE COUREURE, ; or ; la valeur maximum dela normale est celle qui correspond à la position OD dans laquelle elle. est égale à 2r,r étant le rayon du cercle générateur, Donc le ravon 20D, et le point D' appartient à la développée. 'Le point M,

de courbure a pour valeur maximum DD' =-

qui est sur le prolongement de la normale MR, et tel que M'R=MR, est aussi, un point de la développée. Dé: terminons maintenant. la nature de cette courbe: Pons cela par le point D’ mesons D'E parallèle à AR; pro: longeons le diamètre RG, jusqu'à sa rencontre, cn !° avec cette droite, et menons FM!. Les deux triangles, MGR. et M'F étant égaux, l'angle en M'est dreit puis: que celui en M l’est aussi, ce qui prouve que le ecrele décrit sur RE passe parle point M', Les deux droites M'E et MG étant égales, les arcs qu'elles sous-tendleut sont égaux, et on en déduit

444 à DE arcM'E = arc RMG—arc RM—AO—AR=— RO FD’.

Comme ces relations existent‘pour tout autre point de la développée, il suit qu'elle est une evcloïde décrite par le mouvement du cercle RM'FR de même rayon que le cercle générateur de la première cycloïde, rou- Jant sur la droite D'F, de D’, qui est l’origine, sur F. A l’aide de considérations que nous allons rapidement exposer, Monge est parvenu à prouver qu'une courbe

quelconque a toujours une infinité de développées.

Suppo sons que BAC soit une courbe à double courbure quelconque, Par un point A de cette courbe menons ua plan MNOP perpendiculaire à la tangente en A ; imenons de même par le point A’, infiniment proche deA, un plan MNO'P'perpendiculaire à la tangente en A'. Ces deux plans se couperont suivant une droite OP qui sera l'axe du cercle dont on peut supp oser que l'élément AA de la courbe fait partie; de sorte que si on abaisse de ces points des perpendiculaires sur cette droite, elles seron égales entre elles et se rencontreront en un même point qui sera le centre de ce cercle, lequel sera le cercle osculateur de la courbe. Tous les autres points de cette droite seront chacun à égale distance de tous les points de l'arc infiniment petit AA’ et pourront par conséquent en être regardés comme les pôles ; cette droite sera donc le lieu géométrique des pôles de l'arc AA’. Si maintenant 6n agit de même pour les points infiniment voisins A”,A".... Fous les plans perpendiculaires aux tangentes à la courbe en ces points, se rencontreront deux à deux suivant des droites O'P', O"P”, OP”... qui seront les licux géométriques des pôles des arcs A'A”, AA"... et ainsi de suite; par conséquent, la surface courbe que ces droites forment par leur assemblage est le lieu géométrique des pôlesd e la courbe BAC.

Menons maintenant par le point À et dans le plan MNOP une droite quelconque et prolongeons-la jasqu’à ce qu’elle rencontre PO en d; joignons A'et d par une droite que nous prolongerons jusqu’à ce qu’elle rencontre O'P'en d',menons de même A"d'etainsi de suite; nous obtiendrons de cette manière une courbe passant par tous les points dd'd"d"... qui sera une développée de BAC’. En effet, toutes les droites Ad, A'd', A'd"... sont tangentes à la courbe d d'd"... puisqu'elles sont les prolongemens des élémens de cette courbe; de plus, si on conçoit que la première Ad tourne autour du point d pour venir s'appliquer sur la suivante A'd', elle n'aura pas cessé d’être tangente à la courbe 4 d'd", et son extrémité À, après avoir parcouru l'arc AA', se confondra avec l’extrémité A' de la seconde. Il en sera de même pour les autres droites A'd', A"d'.... La courbe d d'd" est donc telle que si on imagine qu’une de ses tangentes tourne autour de cette courbe sans cesser de lui être tangente, et sans avoir de mouvement dans le sens de sa longueur, un des points décrira la courbe BAC ; c'est donc une de ses développées. Mais nous avons supposé que la direction de Ad était arbitraire, par conséquent il en serait de même pour toute autre droite menée par le point À dansle plan normal MNOP; donc une courbe quelconque a une infinité de développées toutes comprises sur la surface ; lieu des pôles de la courbe; cette surface, qui d’ailleurs est développable , est donc le lieu géométrique de toutes les developpées.

Si du point A on abaisse sur OP la perpendiculaire AD , du point A’ sur O'P' la perpendiculaire A'D', du point A” sur O’P" la perpendiculaire AD” et ainsi de suite, les points D, D', D’seront les centres de courbure des élémens correspondans de la courbe BAC, et par conséquent la courbe passant parles points D, D', D”sera le lieu géométrique de ces points. Cependant cette courbe ne sera une développée de la proposée, qu’autant que celle-ci sera plane. En effet lorsqu'une courbe est à double courbure, deux tangentes consécutives sont bien dans un même plan, mais trois tangentes prises de suite ne peuvent s’y trouver ; par conséquent trois plans consécutifs, chacun normal à la courbe , ne peuvent pas être perpendiculaires à un mème plan, et l'intersection du premier et du second ne peut être parallèle à celle du second et du troisième.

Si donc la courbe BAC est à double courbure, les droites OP, O'P', OP’ ne sont pas parallèles, Il suit de là que la droite AD étant perpendiculaira à OP ainsi que la droite A'D, celle-ci prolongée jusqu'en A ne rencontrera pas O'P' perpendiculairement ; les deux droites AD et A'D' ne rencontreront donc pas la droite OP dans un même point. Mais ces deux droites, considérées dans des plans différens, ne peuveut se rencontrer

que sur l'intersection des deux plans dans lesquels on les considère , par conséquent elles ne se coupent pas et ne sont pas situées dans un même plan. [l en est de même des droites A'D', AD”, A"D" prises deux à deux consécutivement; par conséquent elles ne peuvent être les tangentes consécutives d’une courbe. Il suit aussi de là que si, par deux points consécutifs D et D’, on conçoit une droite tangente à la courbe DD'D", elle ne passera pas par le point A'; mais én tant qu’elle est dans le second plan normal elle ne pourrait couper la courbe BAC qu’en ce point A' où ce plan la coupe, donc la courbe DD'D' est telle qu'aucune de ses tangentes prolongées ne rencontre la courbe BAC ; par conséquent elle ne peut être une de ses développées.

Si la courbe BAC était plane, toutes les droites OP, OP", O’P” seraient perpendiculaires au plan de la courbe et par conséquent parallèles entre elles. Alors les droites AD, A’D', A"D” seraient toutes dans le plan de la courbe et se rencontreraient consécutivement dans la courbe DD'D” dont elles seraient les tangentes. Il est évident alors que cette courbe serait la développée de la courbe BAC etprécisément celle que l’on a l'habitude de considérer.

On pourrait maintenant se proposer de déterminer l'équation de la surface développable, lieu géométrique de toutes les développées d’une courbe dont les équations sont données ; et ensuite trouver l’équation d’une développée déterminée; mais ces considérations nous meneraient trop loin, et nous renvoyons ceux qui seraient curieux d'étudier cette théorie dans tous ses détails, à l'analyse appliquée à la géométrie de Monge.

DÉVELOPPEMENT, C’est, en géométrie , l’action par laquelle on développe une courbe pour lui faire décrire une développante. Foy. ce mot.

On se sert encore de cette expression pour indiquer la réunion sur un plan de plusieurs figures planes dont l’ensemble forme la surface d’un solide.

En algèbre, on entend par développement la formation de la série qui donne la génération d’une fonction. Par exemple (a+x)" étant une fonction de la variable æ, sa valeur,

am + mam—ix + ee a—2x2 +

m(m—1)\(m—02) — ©" "%{ qn-3 3 UE a T ete...

+ obtenue par le binome de Newton, est ce qu’on nomme son développement. Foy. Série.

DÉVIATION (Astr.). Ecart de position. On se sert de ce terme pour exprimer la quantité dont une lunette méridienne ou un quart de cercle mural s’écartent du véritable plan du méridien, On trouve cette déviation

en comparant le passage du soleil, observé dans la lunette, avec le passage au méridien calculé par la méthode des hauteurs correspondantes. Par exemple, ayant calculé que le passage au méridien doit s’effectuer à oh 2" 10", ct ce passage s'étant effectué dans la lunette à o" 2° 6", on en conclut que la déviation de la lunette est de 4" vers l’est, puisque le soleil a passé dans la lunette avant de passer au méridien justement de cette quantité.

Déviarion des corps dans leurchute libre. On nomme ainsi la quantité dont un corps tombant librement à la surface de la terre, s'écarte de la perpendiculaire menée de son point de départ à cette surface. Si la terre était immobile , il ne pourrait y avoir aucune espèce de dé viation, car la force qui fait tomber un corps agissant suivant la droite qui passe par le corps et par le centre de la terre, tant que cette force est supposée agir, seule, rien ne peut changer la direction du mouvement; mais la terre tournant en 24 heures autour de son axe, et toutes ses parties ayant une vitesse d'autant plus grande qu'elles sont plus éloignées de cet axe, il est évident que Île corps placé au-dessus de la surface et qui participe du mouvement commun tant qu’il n’est pas libre, décrit un cercle plus grand que celui décrit par le poin dela surface auquel il correspond perpendiculairement. Ainsi au moment de la chute, ou lorsque le corps devient libre , il se trouve sollicité par deux forces dont l’une le ferait tomber suivant la perpendiculaire et dont l'autre lui ferait parcourir un espace plus grand que l’espace parcouru par le pied de la perpendiculaire ; il en résulte que le corps doit tomber un peu plus à l’est que le pied de cette perpendiculaire, et cette déviation, calculée d’après la théorie et vérifiée par l'expérience devient ainsi une preuve de fait de la rotation de la terre sur son axe.

La Place a donné la formule suivante pour calculer la grandeur de la déviation d’après la hauteur de la

A=% nh sin A/?,

dans laquelle 4 désigne la déviation, À la hauteur de la

chute

chute, n l’angle de rotation de la terre pendant le temps de la chute, 9 le complément de la latitude du lieu et g l’espace parcouru par un corps pendant la première seconde de sa chute, savoir g— 4",9044 pour Paris. Voy. Bulletin des Sciences , n° 75.

Cette déviation, observée par MM. Guglielmini et Benzemberg , a été trouvée par le premier, de 8 lignes pour un corps tombant d’unchauteur de 241 pieds, et par le second, de 5 lignes pour un cerps tombant de 260 pieds; mais de tels résultats ne peuvent être considérés

que comme une vérification générale du phénomène.

DIACAUSTIQU (Geom.). Foy. CausrniQue.

DIAGONALE (Géom.) (de die, travers, et de yovæ, angle). Droite menée du sommet de l'angle d’un parallélogramme au sommet de l'angle opposé. Foy. Panau- LÉLOGRAMME €t QUARRÉ.

DIAMÈTRE (Géom.) (de di«, à travers, et de æerpoy mesure). Droite qui passe par le centre d’un cercle et qui se termine de part et d’autre à sa circonférence. Le diamètre d’un cercle est le double de son rayon. Woyez NorionspréLim. , 42, et CERCLE , 30.

Le pramèrre d'une section conique est une droite qui coupe toutes les ordonnées en deux parties égales. Lorsque ce diamètre est perpendiculaire aux ordounées , il prend le nom d’axe. Foy. chacune de ces courbes en particulier.

Le pramèrre-d'une sphère est la même chose que le diamètre du demi-cercle dont la révolution a engendré Ja sphère. On le nomme aussi l'axe de la sphère, Voyez SpuÈre.

Diamèirres pes PLANÈTES (Astr). Ils sont ou réels ou apparens. Le diamètre apparent d'une planète est l’angle sous lequel elle apparait aux observateurs,en prenant pour rayon la distance de la planète à la terre. C’est-àdire, en menant de l'œil des rayons visuels à deux points opposés du disque d’une planète, l’angle formé par ces rayons et dont le diamètre de la planète est la corde, forme ce qu'on appelle le d'amètre apparent. Cet angle étant très-petit, on peut considérer la corde comme confondue ayecl'arc ou comme étant sa mesure. Ainsi les diamètres apparens d’une même planète sont en raison inverse de ses distances à la terre, car il est évident que ces diamètres doivent paraitre d’autant plus grands que les distances sont plus petites.

Le diamètre réèl d'une planète est sa véritable grandeur mesurée à l’aide d’une grandeur connue telle que le mètre, ou comparée avec le diamètre de la terre.

Les diamètres apparens servent à trouver les diamètres réelslorsque les distances sont connues. C’est ce que nous exposerons au mot Disrance.

La distance des planètes à la terre variant à chaque instant par suite des mouvemens propres de ces corps , leurs diamètres apparens varient également , mais ces variations s'effectuent entre certaines limites dont voici la moyenne.

Moyens diamètres apparens.

Boleil 75 42. 8aint Mercure.,...... 11,8 Ménuss suce oo yo. 57,9 MAS heros 8,94 Jupiter see os 39 Saturne. ss... 1e 18 Uranus ere 3,54 lallunes. ee eo

Les diamètres réels sont, en prenant celui de la terre pour unie,

Diam. réels, Soleil. ,..,.. 109,9300

Mercure,.... 0,3944 Vénus....... 0,9730 Marsa... 0,556 Jupiter...... 11,616 Saturne ..... 9,604 Uranus...... 4,2630 La lune,.... 0,2720

Il suffit donc de multiplier ces nombres par la valeur du diamètre de la terre exprimée eu lieues ou eu mètres pour connaître les diamètres des planètes exprimées en mesures semblables. Le diamètre équatorial de la terre est de 12754863 mètres.

DICHOTOMIE (Astr.), (dedis, deux fois, et repos partie). Terme dont se servent les astronomes pour exprimer la phase de la lune dans laquelle elle est coupée en deux, ou dans laquelle il n’y a exactement qu'une moitié de son disque éclairée.

Le moment de la dichotomie de la lune a été employé pour déterminer la distance du soleil à la terre par Aristarque de Samos, environ 260 ans avant l'ère vulgaire; cette méthode, extrêmement ingénieuse : mais peu susceptible d'exactitude par la difficulté de saisir l'instant où la lumière est terminée par une ligue droite, se trouve décritedansl’4stronomie de Lalande. Voyez aussi l'Astronomie de Delambre, ch. 25,

DIFFÉRENCE (Arith., Alg.). Excès de grandeu d’une quautité sur une autre, ou ce qui reste lorsqu'on retranche une quantité d’une autre quantité, Par exemple, la différence entre 8 et 5 est 3; et en général la différence entre a et b est a—b, quantité qui peut être positive ou négative selon que b<a ou b>a.. Voyez ALGËBRE.

Carcuz Des DIFFÉRENCES. Une des branches fondamentales de la science générale des nombres. F'oyez MATBEÉMATIQUES.

1. Le calcul des différences , considéré dans toute sa généralité, c'est-à-dire comme embrassant le calcul différentiel, a pour objet les lois de la variation des quantités. ,

Par variation, nous entendons l'augmentation ou la diminution de grandeur qu'éprouve une fonction quelconque de quantités variables lorsqu'on augmente où diminue ces variables.

2. Pour fixer les idées, considérons ce que devient la fonction simple ax en faisant croître æ d'une quantité quelconque m ; on a alors

alim) où ax + an ,

ainsi la fonction ax a reçu un accroissement arr par suite de l'augmentation éprouvée par æ. Si au contraire on avait diminué æ de la même quantité », ax serait

devenue

{x —m) où ax —an ,

et par conséquent la fonction ax aurait éprouvé ane diminution am correspondante à la diminution 72 de «. Or c'est cette variation am, en plus ouen moins, qu'ou nomme en géuéral prFFÉRENCE de la fonction ax.

3. De même, soit a-bx? une autre fonction de la variable æ; en la désignant par y, nous aurons l'expression

7 =a+ bx

etil est évident qu'en faisant varier æ, y éprouvera une variation correspondante. Désignons par y' ce que devient y lorsqu'on augmente æ d’une quantité #7, nous

aurons

J'=a+b(itn}), °

mais la variation subie par y pour devenir y", ou y'—y,

est [eite+nr | — [a+ bx |

c’est-à-dire, a+ ba? + bnx + bn — a—ba? = bnx + bre.

Ainsi bar+br est l'accroissement ou la différence de la fonction y.

4. Généralement, gx étant une fonction quelconque de x, si noùs désignons par Ax l'accroissement qu’on fait subir à la variable + et par Agx l'accroissement qui en résulte pour la fonction gx, nous aurons

Apx = f(x +Ax)—@x,

et, si au lieu de faire varier æ en plus nous l’eussions fait varier en z20ins , nous aurions eu

È APT = PL (x = AX).

5. px étant une fonction quelconque de la seule variable x, si nous Ja désignons par y, nous aurons l’expression

YE= x;

et nous pourrons alors considérer y comme une autre variable , mais dont les variations dépendent de celles de æ. On dit alors que y est une variable dépendante , tandis qu’on nomme x une variable indépendante.

G. Les accroissemens qu’on fait subir aux variables peuvent être considérés comme des quantités réelles ou

idéales , c’est-à-dire, commé des quantités fuites ou in-

fiuiment petites, dans le premier cas le calcul des diffe-

rences prend le nom de CALCUL DES DIFFÉRENCES FINIES,

et dans le second, celui de cazCUuL ptFFÉRENTIEL. Nous

allons procéder à l'exposition des lois générales de ces: calculs et de leurs applications les plus importantes,

puis nous jetterons un coup-d’œil sur l'histoire de leur

introduction dans la science et sur les diverses considé-

rations métaphysiques auxquelles ils out donné lieu.

7. CALCUL DES DIFFERENCES FINIES. La diffcrence d’une fonction étant la variation qu'elle éprouve lorsqu'on fait croître les quantités variables qu’elle contient, la règle générale pour trouver cette différence est donc de retrancher la fonction primitive dela fonction variée, et c’est ainsi que nous avons trouvé ci-dessus

Apr = gix+Ax)—x, ou

APX = px — p(x —Ax)

en prenant l'accroissement négatif.

Il résulte de cette construction, que pour obtenir la différence d’une quantité composée telle que ALBx, dans laquelle A et B sont des quantités constantes et æ une quantité variable, il suffit de faire varier le terme qui contient x, c'est-à-dire qu’on a

A(A+Bx) — Ba, car la quantité À, ne recevant aucun accroissement,

disparait lorsqu'on retranche la fonction primitive de

la fonction variée ; en effet on a

A(AHBzx) = (A+B(x+ax) — (ALBr) = A+Br+Bar—A—Bxr —= BAx

On aurait par la même raison

s[ A +Bx+ 07] — Bar +Caiy,

et ainsi de suite dans tous les cas semblables. Il est facile de voir qu’en général la différence d’une suite de termes telle que

ox +9 y + a+ ete.,

px, @y; g'z, désignant des fonctions quelconques des variables x, y, z, se trouve en prenant la différence de chaque terme, ou qu’on a

sf ex+gve"sete. [sert +aospere,

8. Agx désignant toujours l'accroissement ou la diminutiouépronvée par 4x, lorsqu'on augmenteou qu'on diminue la variable æ de la quantité A, on peut consi-

dérer cette quantité Ag comme une nouvelle fonction de x qui peut admettre aussi un accroissement correspondant à celui de la variable x. Ainsi, en supposant que x croisse encore de la même quantité Ax, on au-

rait après l'accroissement Ag(x+aAx),

et la variation correspondante de la fonction 4gzx , ou la différence de cette fonction serait

A(ADX) = Aÿ(x+Ax)—Apx.

La différence de Agx ou A(Agzx), s'exprime par 4@x, et c’est ce qu’on nomme la différence seconde dela fonction x.