On a donc pour la différence seconde de gx, l'expression

A°@x = Ap(x+Ar)—Apr.

Substituant la valeur de 4gx ou g{(x+Ax)—@x, cette expression devient

A’Qx = Ap(x+Ax)—#(r+Ar)+ox,

mais on à aussi, d’après l'expression générale du numéro 4 ;

AP(x+Ar) = pr +24x)—p(x tar).

Donc, la différence seconde est AT = (x +24r)—2p(x+Ar)+hr.

10. Considérant de nouveau A°@x, comme une nouvelle fonction de x, sa différence A{A@x) ou Agx sera la différence troisième de gx, et, d’après ce qui précède, on aura

Agx A" p(x+Ax)—Apx Mais, d’après 9 Ap(x+Ax) = p(x+34r)—2p(x+24xrH#(x+ax) Apr = (x +24r)—-29(x+ar)+x, Ainsi, eu substituant , on trouvera Apr = p(x+34x)—39(x+24r) + 30(x+Ar)—pr.

11. En suivant la même marche.on trouverait, pour la différence quatrième de @x , l'expression

Aigr = q(x+hax)—4p(x+34x)+69(x4+24x) — —he(x+ar)+ex

12. D'après ce qui précède , en remarquant que les coefficiens numériques de ces développemens sont les mêmes que ceux du binome de Néwton, on peut con

DI | clure, par analogie , que la différence m ième de la fonction gx doit avoir pour expression générale Apr = p(x+mAr) — mpix + (m—1)Ax) +

Le (x (m—2)ax)— etc... .(—1)"px,

le dernier terme gx ayant le signe lorsque 72 est pair et le signe — lorsqu'il est impair.

En renversant cette expression on peut lui donner Ja

forme plus commode

AM DL —(— 1 ÿ# [eme (x+Ax)