HT

15 (mæ+r)e- tait

== —— au+uit

expression qui , en faisant successivement #—0 , m=1, #=—2, etc., donne les coefficie ns de (b), savoir :

(m+1), EC RER

Or, l'expression (b) est ce € que devient (a), lorsqu'on Cette loi qui, dans y faitm=m4#, ainsi il suffit que la loi (a) soit vraie

7) ete hi)

ie SE (m+1 Den Fe

pour une valeur quelconque de m pour qu’elle soit vraie en général.

14. Lorsque l'accroissement de la variable est négatif, la loi ci-dessus devient

2e LA Les. DRE EtCusse

AP = pen (ci) + ————°

ce qu’on déduit sans difficulté.

15. Fr et fx étant deux fonctions différentes d'une même variable x, la différence de leur produit ou

A(Fx.fx)

se trouvera aisément par ce qui précède, car d’après la conception générale des différences, on a

a(Fx.fx)=F(x+ax).f{x+ax)—Fr.fs or F(x+aAr)=Fr+AFr Jletax)= fr+afe

] et par conséquent

F(x+ax).f(a+ax)=Fr fa+ fx. AFx+Fz.AFz+ +AFx Afr

donc A(F 2.fr)=Fx.Afr+Afr.AFx+fr.AFz

La différence seconde du même produit s’obtiendrait de la même manière. Cette différence est

A (Ex fc) =Fx.Afx+24Fr.a fr + AFr.fr +24F x. A fx +24 Fz.Afr + 4Fzx.4'fx

En général, # étant un indice quelconque, on a (c) AU(Fx fe) =F x. 48 fre Fr [ave afx | os are NS [arret 2Au—1 fr + Au | =E ele ee £ 2). AFx [a-petsae-re+

4 3au—sfra fx I

le cas des accroissemens neégatiff,

devient

AP fe) = Prdsfe L eATr | Ab fx — SEA

4 nhisyye 50 L'oeuf, + = à Fe [à H—2 fx —2ART fx Lai] (e—x)(e—2) vs nr LE PAST Vin AFx AHT AU fa + + 34r-ife A ofr | > etes.

est la loi fondamentale de la théorie des différences. Sa démonstration générale peut s'effectuer en suivant la marche que nous avons employée au n° 13.

16. É nous serait facile maintenant de trouverles différences de tous les ordres d’une quantité algébrique quelconque ,mais sans nous arrèter ici à des déductions particulières dont nous trouverons d’ailleurs plus loin des exemples, calcul des différenees n'a-pas seulement pour but de trouver les différences des quantités données, mais qu'il doit encore pouvoir remonter de ces différences aux dérivent, Cette distinction partage ce calcu}--én:deñixbrañches-dont fa première considère les

difjérences directes, ou Les différences proprement dites,

fonctions dout elles lorsque les premières

seulement sont connues.

et la seconde les différences inverses ou sommes.

Ainsi, 4x étant la différence directe de ox, réciproquement 9x est la différence inverse ou la somme de Apx.

On désigne les différences inverses par la caractéristique >; de sorte que pour exprimer que er est la somme de A9x : on écrit

px=2[ax|

17. Comme il y a des différences de plusieurs ordres, il y a également des sommes de plusieurs ordres, par exemple

[ax]

indique la somme seconde de 4x. En général Z# est Ja caractéristique de la somme de l’ordre m.

i8. Pour remonter d’une différence quelconque à EE

fonction primitive, il est évident qu'il faut prendre Ja somme du même ordre, et qu’on a

2[4"çx]=çx

‘19. Une fonction quelconque d’une variable étant donnée, si on considère cette fonction comme la différence d’une autré fonction inconnue , le problème de trouver cétte dernière est donc le but du calcul des différences inverses. Ainsi Fx étant la fonction donnés.

c’est ici le cas de faire remarquer que le

trouver la somme de Fx ou XFx c'esttrouver une autre fonction fx telle que Fon ait sa)

Fx=4fe

S'il est toujours facile de trouverles différences d’une quautité donnée, il n’en est pas de même des sommes, mais ce n’est point ici le Tieu de nous occuper deæce problème, qui forme Je but général du calcul des différences inverses, Où du CALCUL INTÉGRAL.

20. On considére encore les sommes comme des dif- Jérences d'un ordre négatif, c'est-à-dire qu'on attache la même signification aux caractéristiques 2” et A# ; de cette manière

Z'ox et A—pox

sont des expressions identiques,

Si dans les lois (a) et (ce), on fait l'indice négatif, elles s'appliquent immédiatément aux sommes. La première, en ne considérant que les accroissemens négatifs, ce qui est Le cas le plus snnple, devient (4)

mn mis)

L'on qu + me(a—i) + ———— (2 — 2) +

mi ae (+2) ne

DL 5: FFE

et la seconde (e)

Sn(Ee fr) =F 2 > fem AFx [ Butife — Enfer | + AE PO LE Enr 2204-fx +

è + por |-eic D

21. Nous allons montrer par quelques exemples l’application de ces formules . £ désignant toujours l’accroissement de la variable x, proposons-nous de trouver les différences successives de la quantité +,

La première difference : ou Az” sera

ax = (æ+i}— 2x" et en développant le bia: ome (æ+-i}"

A = RMI # Ê Cite D ni

—2) 7 gn=—3j Let...

Pour obtenir la différe) ace seconde, puisque d’après la loi(a), ona

= 9x = 9 gai) + ple+2)

Aer =

en faisant rx», on obtiendra aan = en — oo + (ao,

ou, en développant les binomes,

Acxn — x" .. N(7—1 $ — 20m NA D, LR) an? 2 etc, 1.2 n(n—1)

an—2 Æ Ctc.

han + onan tit

mme:

et en réduisant

A7Xr — n(n—1 ini +6 al fren)h, spi etc.

ce.

on trouverait de mème pour la différence troisième Aa = nfr—i)(n—2)2r + Anti Brr$$ etc, en désignant, pour abréger, par À B C etc., les coeficiens des puissances ii, 2°, 1°, etc.

“PP! . Tan En général, la différence m ième aura la forme

ann n(n1) (n—2)...(n—m4#i)ar-nim + AE Mar-n-iimtitetc.

Lorsque l’exposant » est entier et positif, le nombre des termes de 4” x, diminuant d’une unité lorsque 72 augmente d’une unité, on voit facilement que dans le cas de m—n,0ona

Amd — n(n—1)(n—2)...1.ùt

et que cette différence ne contient plus la variable x. Il suit de cette remarque, que les différences d’un ordre supérieur à 72 sont 0 , ou qu’on a en général

Amxn = 0

toutes les fois que 72 est plus grand que ».

En donnant des valeurs particulières à #7, nous aurons

A x? = 2x%ii

AE? = 91° Aix? = 0 etc. etc.

A x3 — 3xiLaxi + x = Grit6à

A3 — 68 Aixi — 0 etc, etc.

29. Proposons:nous maintenant de trouver les différences successives de la factorielle æli en prenant pour

DI 451 accroissement de lavariable l'accroissement £:dela factorielle , nous aurons

ir

AœnrÈ |, dr )nli jm ë : tbe ei Or, par la nature des factoriclles

(ini = (ai) (am

dan ii D. (a+ int lÈ

Ainsi, opérant la soustraction

(a+ ini ami (xp [+ + mi— | :

donc

Agmi = pri(atipne ii, En prenant les différences à accroissemens négatifs, cette expression devient plus simple, car on alors

AZI — pm (x —i)r i = (24 (ni ri) ant (gr) pm ré

= NU. xm—1 i, La différence seéonce étant:

APXUEE = A(nris dm A à)