NU VAT
on obtient immédiatement , en vertu de l'expression précédente,
AM = n(né ie am à,
En continuant de la mème manière il ést facile de voir qu'on a en général
Ang nm)... (mini). ir anni,
Si au lieu de la simple factorielle æ#{ nous prenons le binome (a+-x)"i nous aurons, en considérant tou-
jours les accroissemens comme négatifs,
Aa)" à = (a-prné 8 (aan = (a+x + (n—r)à) (a+-x)n-ii —(ata—i\ aa) =nmiatrpenii,
et, par suite
An(a#x}rè m(m—x1)(m09) (nds) in
(a+a)mni,
Nous avons fait usage de ces différences à l'article Coxe FICIENS INDÉTERMINÉS,
23. Les accroissemens dela variable! fuenütis vor considérés comme égaux entre eux dins Tes différents
successives, peuyént admettre, dinisique notslé véto:
ailleurs, des valeurs différentes. Mais avant d'aborder les applications du calcul des différences , procédons à l'exposition du cas des différences idéales qui forme la partie la plus importante de ce calcul.
24s Cazcuz DiFFÉReNTIEL. Lorsque les accroissemens des variables sont considérés comme infiniment petits, le ‘calcul des différences prend le nom de calcul différentiel. Alors la nature purement idéale des quantités sur lesquelles on opère apporte non-seulement des modifications dans les procédés du calcul, mais jui donne encore une signification particulière, qui, jusqu’à cette époque, ne paraît pas avoir été saisie par le plus grand nombre des mathématiciens. Nous allons essayer, autant que les limites de ce dictionnaire peuvent nous le permettre, d’éclaircir les difficultés qui , depuis l'invention du calcul différentiel, ont porté quelques géomètres cé- Jèbres à éluder l'idée de l'infini, en substituant aux procédés, si éminemment simple de ce calcul, des procédés indirects et compliqués.
Remarquons avant tout que l'intelligence de l’homme se compose de facultés différentes qui ont chacune leurs lois propres, et que toute connaissance est le produit de la double action, de l’objet de cette connaissance , sur les facultés intellectuelles et des facultés sur cet objet. C’est ainsi, par exemple, pour nous faire comprendre par une image sensible ; que dans les sensations de l’organe de la vue, la vision est le résultat composé de l’action d’un objet matériel sur l'œil et de la réaction de l'œil sur cet objet; de cette action réciproque nait la sensañon de la couleur; couleur dont on ne peut chercher exclusivement l’origine ni dans l’objet ni dans l’organe affecté, mais bien dans la réunion de leurs activités.
Il en est de même pour les facultés de l'intelligence; chaque faculté est douée de dispositions primitives ou de lois particulières qui entrent comme parties constituantes dans les connaissances auxquelles nous nous élevons par son moyen. Il est donc aussi essentiel de ne pas confondre les produits de ces diverses facultés que ces facultés elles-mêmes. Or, deux facultés opposées dominent toute l'intelligence humaine, ce sont l’ENTEN- DEMENT et la RAISON, qui se neutralisent dans la faculté intermédiaire du sucxmenr. Les fonctions de l’entendement se rapportent aux objets sensibles, c’est-à-dire, aux objets réels qui existent dans l’espace et daus le temps. Cette-faculté agit en introduisant une unité intellectuelledansles intuitions que nous avons de ces objets; ses produits se nomment perceplions générales où conceptions. Les fonctions de la raison ne s’exercent pas sur les objets eux-mêmes ou sur leurs intuitions, mais bien sur les conceptions de l’entendement que cette faculté supérieure ramene à l’unité ; ses produits se nomment conceplions générales, ou idées, en prenant le ‘mot idée dans son acception philosophique. Les fonctions
DI
du jugement s'exercent alternativement sur les concep tions de l’entendement et sur les idées de la raison; cette faculté, dont les produits se nommert jugemens, agiten descendant des conceptions générales aux conceptious particulières, ou en remontant des secondes aux premières.
Ceci posé, il est évident que l’idée de l'infini est un produit de la raison et par conséquent un produit essentiellement différent de celui de l’entendement qui doune la conception d’une quantité finie. En effet la-conception d’une quantité finie sert à lier les intuitions que nous avons des objets en les ramenant à l’unité, tandis que l’idée de l'infini est absolument inapplicable aux objets sensibles et ne peut se rapporter à aucune conpaissance réalisable par l'expérience. Mais cette idée de l’infini, dernier terme de la raison, soumise à l'influence du jugement, se transforme en idée de l’indéfini et devient alors applicable aux conceptions de l’entendement dans lesquelles elle introduit la dernière unité intellectuelle.
Ainsi la conception d’une quantité finie porte toujours sur des objets réels réalisables par l'expérience, et sert de loi constitutive à des relations possibles dans ces objets; tandis que l’idée d’une quantité indéfinie ne porte que sur les fonctions même de l'intelligence et sert de loi régulative ou de règle pour la géneration, non de la quantité elle-même, mais de sa connaïssance.
Les quantités finies et les quantités indéfinies appartiennent donc à deux classes opposées de connaissances et conséquemment les lois des premières ne peuvent être les mêmes que les lois des secondes. C’est à la confusion de l’origine de ces deux espèces si différentes de quantités que sont dues toutes les controverses dont le calcul différentiel a été l’objet.
La première loi de ce calcul est :
Deux quantités quine diffèrent entre elles que d'une quantité indéfiniment plus petite, sont rigoureusement égales.
C'est sur cette loi que les géomètres ont tant peine à comprendre que repose toute la question. Question pour lasolution de laquelleil faut, à la vérité, s'élever au-dessus de la niaise métaphysique de Condillac et de son grossier mécanisme des sensations. La plupart des mathématiciens modernes regardant encore la /angue des calculs et d’autres inepties semblables comme le plus sublime effort de l'intelligence, nous ne pouvons nous étonner que malgré la publication faite en 1814, par M. Wronski, d’un ouvrage intitulé Philosophie de l’infini, et dans lequel la loi du calcul différentiel se trouve démontrée de la manière Ja plus rigoureuse, ces mathématiciens ayent persisté dans leur savante prétention de bannir l'infini des mathématiques; mais nous ne pouyons nous empêcher de déplorer la condition des jeuues
DI
gens auxquels on impose l'étude d'ouvrages qui ne se font remarquer que par l'absence totale d'idées philosophiques.
La démonstration complète de la grande loi des quantités infinitésimales repose sur la distinction nécessaire qui existe entre les lois réelles des quantités finies et les lois idéales des quantités indéfinies; distinction dont nous n'avons pu ci-dessus que résumer les principes et pour laquelle nous renverrons nos lecteurs à la Philosophie de l'infini, car c’est dans cet ouvrage seul qu'ils pourront l’approfondir et conséquemment apprécier la démonstration dont elle est la base. Nous ne pouvons ici qu’affaiblir cette démonstration en la résumant comme il suit :
Les lois des quantités indéfinies n'étant, comme comme nous l'avons dit plus haut, que des lois idéales qui ne peuvent servir de règle que pour la génération de la connaissance de Ja quantité , et non des lois réelles de la relation même des quantités, il est évident que deux quantités, A etB, quine different entre elles que d’une quantité indéfiniment plus petite GC, sont rigoureusement égales. Car l’idée de la quantité indéfinie C n'étant qu'une règle pour la génération de la connaissance des quantités de l'ordre de À et B, et ne pouvant avoir conséquemment aucune réalité dans la sphère de grandeur où se trouvent A et B, ne peut, par son influence purement idéale, changer en rien la relation de ces dernières quantités considérée dans sa réalité.
25. On se sert de la caractéristique d pour désigner les différences infiniment petites ou les différentielles. Ainsi dr est la différentielle de x et dgx celle de @z.
dx étant une quantité infiniment petite; dx? est une quantité infiniment petite du second ordre, ou une quantité infiniment petite par rapport à dx; de même dx est une quantité infiniment petite du troisième ordre, et ainsi de suite.Le produit de deux quantités infiniment petites , telles que dx etdy, est aussi une quantité infiniment petite du second ordre; le produit de Lrois quantités infiniment petites dx , dy, dz est également une quantité iufiniment petite du troisième ordre, etc., etc. Foy. Inrini.
La loi des quantités infinitésimales embrassant les différens ordres de ces quantités, il est évident que les infiniment petits d’un ordre quelconque n’ont aucune valeur à côté de ceux de l’ordre précédent, considérés comme donnant lieu à une relation réelle, c’est-à-dire que l'égalité
A=B+C se réduit toujours à A—=D
S1, quel que soit l’ordre de grandeur des quantités A ct
B, C est une quantité infiniment petite par rappoit à AetB.
26. Tout ce que nous avons ditsur lesdifférences peut actuellement s'appliquer sans difficulté aux, différenelles. Par exemple la différence d'un produit de deux variables simples x et y étant (15)
A(X.ÿ) = x Ay+Ax, Ay+yaz,
Si l’on prend les différences infiniment petites, cette expression devient
d(x.y)=xdy+dx.dy+ydx, ou simplement d(x.y) = xdy+ydx,
en retranchant dx.dy qui est une quantité énfiniment petite du second ordre et qui n’a, par conséquent, aucune valeur comparée avec celles du premier xdy et ydr.
27. La loi fondamentale (a) lorsqu'on change l'accroissement? en dx, se réduit à (e)
dE. fe) = Fa.dhfr+u.dEz.du—1fz
+ en ŒFx.du—2fz
3 5 +; .dFzr.dr—2fx
etc. etc.
en négligeant les quantités qui se détruisent. Cette loi peut, comme le binome de Newton, avec lequel elle a une grande analogie, se transformer en développement de trois ou d’un nombre quelconque de facteurs.
28.Procédons maintenant à la déduction des différentielles des fonctions élémentaires. Soit d’abord (gx}" la fonction qu’il s’agit de différentier.
Si m est un nombre entier quelconque, faisons m—=p+g, pet g étant eux-mêmes des nombres entiers , et nous aurons
(gx) = (pxhp+7 = (px (ox)7.
Mais d’après la loi précédente d (px). (ex) | — (gx). d(gi) + (ex. d(px)7.
Ainsi , faisant p—1 et successivement 91, 3, 3, 4, etc. Di—1 , On à
d(px) =29x .dex
d(px)=3(ex) .dpx
d(pc={\(ex). dx
etc. elc.
454 DI ét généralement (f) dex}?=m(px)" dx Si m est un nombre fractionnaire , en le représentant
P ar — d q
tion inconnue ÿx de la variable x, et poser
ST 54 nous pourrons cousidérer (gx), commeunce fonc-
p (px)s = Ÿx
d’où D... (gx = (dx)
et
ee | (ex E d\(yay} ainsi, p et g étant des nombres entiers , on à
d} (px)? | = p(ypc)—1.dpx
a (Ja) | = gx) dr et, par conséquent, pexP—:.dex=q(br)—1. dx, on tire de cette égalité sos AVE — P .
Mais d’après l'égalité 1 F La dy = à {(xY |
et
CAES ETtP ave (ele (eu) ?
substituant dans 4, on a
g\P GxpT a] Gx) | __q PI +P (ox) ?
LE =? (+2) . dax.
Ainsi l’expression {f)a lieu lorsque 72 est un nombre positif entier ou fractionnaire.
Lorsque m2: est un nombre négatif, entier ou fract:onpaire, nous pouvons poser
> pr)" — J T
d’où
et par suite 1 (px), x
Nous aurons donc aussi, à cause de d1=0, puisque x est une quantité constante ,
o=4l (px)m. ve F et d’après la lai (e) o= dépx}. Ve + (ex) dhe, c'est-à-dire «À
mloxhn—:. dx. dx ——oxm,.déx,
d'ou ‘ \m—1 \?PT ) d£ = —m — ,.dex.d4x Ÿ Gen Ÿ =—mlex)-1.dex 4x, mais
dyæ=al (ox) | et Ve = (pr).
Donc, en substituant ces valeurs dans la dernière égalité, on obtient définitivement
diex)-n =—mipx)-"-1.dex,
l'expression (f) se trouve ainsi démontrée pour toutes les valeurs entières et fractionnaires positives et négatives de l’exposant 71.
serait facile, en employant un procédé semblable à celui dont nous nous sommes servis à l’article ANGLE, u° 13, d'étendre cette démonstration au cas de l’exposant irrationnel.
59. ILest facile à présent de trouver la différentielle é . Ç æ d’une expression fractionnaire telle que re ; Car on a px = = oX.(dTr)T!
Ÿx x .(ÿæx) et par conséquent
a Æ = pr (pe) (pa). dx
= — 192.d($x)—2.dVx + (ÿx)-1dpe
x. dex—eox.d x (E3E É
DI
30. En substituant, dans ces expressions générales, des fonctions déterminées de x, on peut trouver facilement les différentielles de ces fonctions. C’est ce que nous
allons éclaircir par les exemples suivans,
Soit —(A+xt) ctn=+, on a d(A+z’h = (A+): d(A+æt), pes d(A+zx’)= dA+dx? = o+2xdx, donc
d(AHathà = +. (A+a)-t.2xdx
dx V(A+a) On trouverait de la méme manière
pxr—*.dx
d| V' {ar + x?] | = n/ Feu Fe
à cause de 1—m——(m—i).
Soit actuellement
(px) = (a+ bar, onaura
Ka+ban)” = m(a+bar)#— Ke, d{a+bær) = m(a+bar)n— .nbaæn=\dx = mb (aber da.
Prenons pour dernier exemple
ere[e+ÿ6-5)
nous aurons d’abord
a [av 2) 1%
Mais
afa+v(i— D, A
D [ afetv 6-5 |
À 455 1-5) = —dcx—?
= +pex-p1,dx pcdx xP+2
donc en substituant
