LH
31.L’expression théorique du logarithme d’un nombre x, d’après la base &, élant log æ = cp (. = 7 gx =X(x 1) PE dans laquelle © représente un nombre infiniment grand et La le logarithme naturel de la base a (voy. Lo- GariTaMes). La différentielle est, d'après ce qui précède,
d loge = d] » x 1).
Le) œ Lo” œ@ 1 nr æ* x a— dx < i dæ 7 La.x
Le à cause de 2°" =x—1
S'ils’agissait d’un logarithme naturel, on aurait La—1 et
dx dLx = —
On aurait de même, en général,
35. Cette derniéredifférentielle nous fournit le moyen d'obtenir facilement celle de fa fonction exponentielle a: Eu effet,
faisons
DI
af +] — dy
Mais en prenant les logarithmes naturels des deux
nous aurons
Lo
membres de la première égalité, nous avons ox.La=Lx ce qui nous donne en différentiant
La.dpx —dly = #
Ainsi dy=y.La.dyx
et par conséquent, en substituant les valeurs ci-dessus de dy etdey,
d [ur] = a;*.La.dyx
33.Pourobtenirles différentielles des fonctions trigoaométriques sin æ et cos æ, nous pourrions partir des expressions théoriques de ces fonctions (voy. Sinus), mais il se présente un moyen plus simple de les obtenir immédiatement. Nous avons généralement (7)
dex=g{x+dr)-9x
Ainsi d'sinx— sin (x+dx)—sin x or sin(xÆdx)=sin x.cosdx+cosx.sindx donc
d'sin x=sinx. cos dx +cosx.sinx
Or, dx étant une quantité infiniment petite sin dx=sin x et cos dx 1 (voy. Sinus), par conséquent
dsinx.=cosx.dx On trouverait dela même manière dcosxæ ——sinx. dx
A l’aide des différentielles précédentes, on peut coustruire sans aucune difficulté celles de toutes les fonctions composées, nous ne nous y arrèterons donc point, et nous passerons immédiatement aux applications les plus importantes du calcul des différences.
34. Le grand but du calcul des différences finies ou indéfinies+, étant d'obtenir la génération d’une fonction quelconque, par le moyen de ses accroissemens, désignous par Fx unetelle fonction , etexaminons ce qu’elle
devient lorsqu'on augmente successivement la variable
DI
z. Or, z étant considéré comme l'accroissement de x, nous avons en général
æ d’une même quantité
AFx=F(x+z)—Fxr d’où F(x+z)=Fx+aFx
faisant successivement dans cette relation générale Lx +2, x =2x+#25, xx +3, etc., et substituant les unes dans les autres les valeurs que donne cette
même relation , nous obtiendrons la suite d'expressions
Fx+ 2)=Fr+aFx F(x+22)=F{(xtboz)+al(x+oz)=Fxr+o4Fr+a4Fx F(x+3z)=F{x+#02)+AF(x+402)=lr+3aFr+
+34 Fx+aFr
etc. etc. etc.
et en général (g) F(x+mz)=F 2maF + MU aFz x + m(m—1) (m—2) ,; + Ps po Fr+etc….
ce qu’on peut démontrer en suivant la marche employé pour la loi du numéro 13.
Maintenant, y étant un multiple exact de z égal à 22, on a =?, et substituant cette valeur dans (g), on
obtient (k)
Fr +7. ME rUD, APE 4
Ya} (9—22) es
de etc...
