Pour appliquer ce théorème à la génération d'une
DI
fonction déterminée , on voit aisément qu'il suffit de savoir trouver les différentielles successives de cette fonction, ce qu’on peut toujours faire par les règles données ci-dessus. Soit en effet F(x+y)=(z47)", nous aurons Fx=—x”, et par conséquent
d'Fx—d{[xr]=mam-dx
dFx=d{rr]=dimen-dx]=m(m—1)x"-1dx?
DEx=d{xm]=d\m(m—rx"—- dx] =m(m—1\m—2)x"-$dx
elc. —=etc. = etc.
la quantité dx étant considérée comme constante.
Substituant toutes ces valeurs dans le théorème (4),
on obtient.
Gnome y me
Mn 1)(ni—2)
EVENE — xm—iy3 etc...
ou la formule de Newton, qui se trouve ainsi démontrée pour un exposant quelconque 7.
36. Si dans le théorème(z),on fait x—0o,ona,en désignant cette circonstance par un point placé sur æ dans Fx,
es LE
F(y)=Fà +7
CE
es 33" NE Le etc...
changeant y en x, on a définitivement (4)
a &Fx
æ dFx 2e
Fa)= Fi + EE
.2 dx?
dFx
z Te -— etc...
