SU

formule connue sous le nom de thcorème de Maclaurin, et dont on a revendiqué dernièrement la propriété en faveur de Süurling.

Nous avons déjà donné une déduction de cette formule par la méthode des coefficiens indétermines.

37. Éclaircissons Vusage de ces formules par quelques exemples. Soit Fx=L'i-x), la caractéristique L désigoant le logarithme naturel de (14-x). Nous aurons les différentielles successives de L{14-x)en faisant d’abord, d’après (31)

et ensuite

DI died [LE tai Se 1+x)—1.dx

= —1.(1+x)-.d2x= TRE

dUi4r)= a |- & | —=+(1+x)-3.d2 dx?

= +rG dl ral=d] Le 3(14x)- 4 dut +T)= . el —2.3(1+x)-é.dx Tri NS te (1+x)t etc... etc.

et en général drL(i+zx) =2.3.41. nr) (—i)a—1

faisant dans toutes ces expressions 4=0, et les substituant ensuite dans (4) on obtient

ri 5

n 2 3 L(i+x) — Li+® "+ — AE — etc...

ou seulement

% Ne D 2 L(i+x)=x— + MR: + CAT + etc...

° à cause de Li=o.

Soit actuellement Fx=sin{a—x), nous trouverons pour les différentielles successives

d sin(a+4-x)=cos(a+x),dx æsin{a+x)—d| cos(a+x).dx ]=—sin(a+x).dx Bsin(a+x)=d|—sin(a4-x)dx"]=—cos(a+x).dx

disin(a+x)=d|—cos(a+-x)dx]=<+sin (ar).

et ainsi de suite.

Faisant dans ces valeurs x=0 et substituant dans (4)

on à LR : æ k sin (ax) = sin a+ cos a.— — sin «. ee

— 3 + etc...

— cos &,

si l’on fait «—0, on à sin o—0, cos o—1, et le dévelop-

pement devient

PACE Es etc..

On trouverait de la même manière pour cos æ, l’ex-

pression

458 ‘- DIT = 2” ot Rte r | etc CRT Slt Sie nt 00 Lo

38. Nous avons jusqu'ici considéré la variable x de la fonction générale 9x comme une variable indépendante, c’est-à-dire comme une variable qu’on peut déterminer à volonté; mais il peut se présenter le cas où cette quantité est elle-même fonction d’une autre variable, des accroissemens desquels les siens dépendent ; par exemple, æ peut être une fonction quelconque Ÿz dez, et l’on peut avoir besoin de connaitre immédiatement l'accroissement de 9x correspondant à celui de z, ou la différentielle de #x en fonction immédiate de az. Pour mieux faire comprendre cette particularité, supposons

gx ax? etz—=bz

en éliminant x entre ces deux équations, on obtient gx—ab"z" dont la différentielle , en faisant varier z, est dox—2ab";dz

Or, cette élimination peutsouvent devenir très: compliquée , et il est toujours facile d'obtenir immédiatement la différentielle de #x en fouction de la variable indépendante z.

Pour cet effet, remarquons que la différentielle d’une fonction quelconque 9x est toujours de lg forme Mdx,

c’est-à-dire qu’on a en général dox— Max

æ étant considérée comme variable indépendante, et M étant une quantité dans laquelle x peut ou non se trouver, selon que dans +, ilentre ou n’entre pas des puissances de x. Or, en divisant l'équation précédente par dx, ona

et M est ce qu'on nomme la dérivée différentielle de ar.

Ainsi, dans le cas ou @x serait a + bx ca*, nous

aurions

dÿx = bdx + 2cxdx

= (b + ocx)dx et, par conséquent, dx nn b+ ocx.

b+ocx serait la dérivée différentielle de ox. de: , De même Je est la seconde dérwée différentielle

de gx , et ainsi de suite.

Or, lorsque la dérivée différentieite d'une fonction est connue, on obtient immédiatement sa différentielle, car de l'équation générale

dmgzx X,

dm on tire

dméx = X.dxn,

û Ayant donc la fonction 9x dans laquelle x=4Ÿz2, ce qui revient à

gx = g(Y2) si nous parvenons à trouver la dérivée

dé(Yr) , der

ds ?

nous aurons en même temps la différentielle de gx en fonction de la différentielle d3 de la variable indépendante z.

Mais si nous désignons par M la dérivée de gx, et par N celle de 43, nous aurons

d$xr dYz PR UN d’où Lz CNRC dx dz

Or, à cause de ===, on a dx —d#2, retranchant donc le facteur commun aux deux termes de la fraction , il reste

et conséquemment dgx =M.N.d,

ce qui nous apprend que pour obtenir la différentielle de gx, par rapport à la vañable indépendante 2, il faut prendre le produit des dérivées de gx et Ÿz et le multiplier par dz. Appliquons d’abord cette règle à l'exem-

ple donné ci-dessus dans lequel

gx = ar et x — bz ou à | dpx = 2ax dx, et dx = bdz d’où d L PE oax ; et —b dx dz ainsi dpx dpx dx eo de

et définitivement

dgx = 2abx dz,

différentielle qui est identiquement la même que celle obtenue par l'élimination, en substituant à la place de x sa valeur bz.

Soit pour second exemple px —a+bx*etæ—mz+n2, nous aurons

dgx 2 Rie 3bx?, » = 74-07 et DE = 3bx(m+anz) de ou

dpx = 3bx*(m+onz)dz.

39. Si la variable x de gx, dépendait d’une autre variable y, dépendant à son tour d’une troisième z, c’està-dire , si l’on avait

x = Ÿy ety = 02,

y et 63 étant des fonctions quelconques de y et dez, on obtiendrait la différentielle de gx, en fonction du seul accroissement dz, par le produit des trois dérivées

dgxz dx dy.

dx * dy &° c'est-à-dire qu'on aurait d$x dx dy, dpx = PES , dy me dz,

ce qui est une conséquence de ce qui précède et peut

s'étendre à un nombre quelconque d'équations auxiliaires.

40. Ces formules peuvent être employées avec ayantage dans la différentiation des quantités compliquées; un seul exemple suffit pour enseigner leur emploi.

Soit

pas supposon b mas d her (1)

et nous aurons

gx=(a+\/y)

l'équation (1) nous donnera

dy 2c dx x

et l'équation (2)

dox (a y} dj 2Vyr nous aurons donc dex déx dy hat vy de. dy ‘dx axi,\/y ?

d’où, en mettant pour y sa valeur,

fr. Sans nous arrêter ici à la déduction des différentielles successives d’une fonction gx dans laquelle x est une variable dépendante, déduction qui ne présente aucune difficulté et dont ce qui va suivre offrira d’ailleurs un exemple , appliquons les considérations précédentes à la génération de Ja fonction générale Fx, au moyen des accroissemens dy d’une variable indépendante y avec laquelle x est liée par l'équation x=4y. La fonction Fx est alors proprement F(4y).

Or, en appliquant à cette dernière le théorème de Maclaurin (4), nous aurons (2)

F(dn) =

J dy F7

Le point placé sur y indiquant toujours qu'il faut faire yo après avoir pris les différentielles. Mais, d’après li formule du n° 38 , nous avons

dEx dEx dx

nous aurons évidemment

dA: - dA; dx dy dx dy et par conséquent AA; … dFx dy — dy?

désignons de nouveau cette seconde dérivée par À, , et poursuivant de la même manière, nous trouverong, en

rassemblant les résultats,

dEfdy) dFx dFx dx dEx tr Amel Ke 5 A4 = LL, — = = À, d) dæ dx dy dy

460 Di

dy) dEx dA, dx dA;

E Pr = = - . — — = A, dy dy? dx dy dy

ŒF(Ÿy) d'Ex dA, dx dA,

3 — = T = -7.e = - = À; dy dy dx dy dy

déE(Ÿy) diFx dA dx dA,

—— — = — = - . =-— —=A, dy{ dy dx dy dy

etc. etc.

Substituant ces valeurs dans l'expression (/), elle deviendra

ed LL ÿ* ÿ Fe = Fit + A + he a etc...

Le point indiquant qu'après lesdifférentiations il faut donner à la variable x la valeur qui résulte pour cette quantité de la relation y = 0 dans l'équation x = y. Mais si nous désignons par gx la fonction réciproque qui donne y=@x, nous aurons définitivement (72)

Er Fèt, Pa EE pere.

et alors le point indique qu’il faut donner à x, après les différentiations, la valeur qui rend gx=o.

Ceite formule, qui donne la génération en série d’une fonction quelconque de la variable + au moyen des puissances progressives gx , (x) ,[(@x)* d’une autre fonction arbitraire de la même variable, est appelée le {Acorème de Paoli, du nom du géomètre qui l’a découverte.

42. En examinant la formation des coefficiens A,, A, A, on peut les exprimer ainsi qu’il suit, en les rendant indépendans les uns des autres

dFx d@ x

x a; dE & AT px" +] à I 1 fx NT dx" ldgz"* ll

. à I I 1 dx A ox‘ ldox'‘ (s " Al

etc,

etc.

Si nous divisons ces valeurs par les coefficiens numé-

riques qui entrent dans l'expression (2) ou si nous fai-

sons

A2 RE Âs 1.2 “)1.2,3 7 Ha Nous pourrons lui donner la forme plus simple (x)

Pare FA gr Ai(ge) A (pr) (ox) etc.

et alors ces nouveaux coefficiens seront

. dFx , dAï , AA, Ru A; dx” 37,3 dx" etc., etc.

Az : .% dyx

: I dE & A = 55 ge ae]

ï e dE A, = 533: dy& dé . d mr |

= di de fo * dex"" [do Ldox' &x |]

etc.

43. On peut encore obtenir d’autres expressions beaucoup plus simples de ces mêmes coefficiens. Pour cet effet, représentons par À, le terme Fx qui est une quanüté constante , et considérons comme entièrement indéterminés les coefficiens A4, A;, A, etc. de la série générale

Fr=Ac+A;ex+ÆA,ox+A:px LA ,pribetc.

désignant en général par gx” la puissance », non de x mais de gx.

En prenant les différentielles successives des deux membres de cette équation, nous aurons la suite d’égalités

d'Fx=A,d gx +A d ox? +Asd ex + A ,d pxi+etc.

dEFx=A,dyx+A, dox+A,dox +Aid'yx+etc.

DFx=A d'ox HA, dox +A dox+Aidyxi4etc.

d'iFx:=A ,diyx + À d'ex + A diexi+A dipxibetc.

etc. etc

Or , si l’on fait ox—o, toutes les différentielles dans lesquelles l’exposant de #x est plus grand que celui dela caractéristique deviennent zéro, car il est facile de voir que dans la différentielle générale

lorsque »2 est plus grand que x, ox entre comme facteur. Désignant cette circonstance par un point placé sur æ, et observant de plus que lorsqu'on faityx=—0o, on a en général

dexn = m(m—i\m—2) ... 3.2. (dpx)" nous aurons les équations

Fr=A d Fx=A,dpt

DI d'Fx=A,d'ex+421A (dpx) BFx=A,d'oex+Ad'ox+02.3.A (dpx) dFx=A,diet+A,digr?+A;dio x +0.3.4.Au(dex)t

d’où nous tirerons (0)

As== Fx 1.Â,— DE æ 1.2.Â,= - Da Hÿ [er X—A dy | LB (7 api d'Fe A Pot dy |

IF > hop + in n2 1 4AS x diFi—A digä—A dei

—A dpi] etc. etc.

Expressions à l’aide desquelles il devient très-facile de calculer ces coefficiens les uns au moyen des autres.

44. Faisons de gx une fonction déterminée pour montrer l'usage de ces formules. Soit , par exemple,

TI—n

TT z+n

ce qui nous donne æ+=n, dans le cas ae 9x =.

Prenant les différentielles successives de ÿx ou de

, nous obtiendrons

ee d'ox:= ins d, dex= — 2 dyx — Dre dipx = —2.3.1. G ES .dx DC — T4 GE .dx° etc. etc.

donnant à x, dans ces expressions, la valeur x, cui rénd gx=0 ; NOUS aurons

: dx d'yx— D

4 dx?

AN ?-Tonp

etc.

d'ex=(—1)#+tr#li

avec ces expressions il nous sera facile de construire les

différentielles des puissances de 9x qui entrent dans les

coefficiens (0). En effet,

avons

ainsi

dx} = qx.d'ex+ odex.dyx + dox.ox

dt(?x) =dr PX.9X | = grdtyx + pdexdi—19x +

et, conséquemment en faisant 9x—0,

æ(px) —

(px) =

2dex.dox ,

2dx?

EDS

nous trouverions de la même manière

dx} =

(gt) B(px)

etc.

Substituant ces valeurs dans les coefficiens ( o

viennent (p).

A =Fx dE x A; — (an). Le dE à

A,=(an). + (an