dx (e—1Xe—2Yp—3), , dFä æ 1,250 MT 3.4.dxi
+ etc.
et la série générale (7) prend la forme (g) ‘ x—n x—n\? X—n\ Fer) (EE) +) +
dans laquelle » est une quäntité arbitraire.
45. Appliquons cette loï particulière de génération à quelques fonctionsélémentaires. Soit d’abord Fx=log.x, log. désignant le logarithme naturel.
Construisons les différentielles successives de log. x, et nous trouverons
dEx=d log. x= .
dEx=dlogaæ= 7 A
SEx = log. «— a
diFx = dilog. a=s 3%
elc, etc.
Substituant ces valeurs dans les expressions (p), après
avoir fait =, nous obtiendrons
À,—2, À,—0, ÀA:—3, À,—0,Aï—", A:=o, A7 ét.
et, par conséquent ,
Log. x — log. n +2 É ei (2 =
+5 CE) +et
DI
ce qui devient en faisant #=1, d'où log. nr =log. 10 le développement connu
Log as |(EE) +4) +5 (5) +
lequel est convergent pour toutes les valeurs de x. Prenons pour second exemple Fx = (1+x)-1. Les différentielles successives de Fx sont, dans ce cas
+ etc.
dEFx— — (14)? dx BFr— 2.(1-x)-$ dx?
BEx =—1.2.3(14x) 4 dx
dFx —1.2,3,4(1+x)—" dx
etc. etc.
Faisant x =», et substituant dans (p), nous aurons
CRE A: = Re bu MER A AE etc. Frs
et par suite
1 on fX—nR te me 14 Re —)
on(n—1) fx—n?
hr Len) >n( n—1) T—n (in) (© =)
+ etc.
série convergente pour toutes des valeurs de la quantité arbitraire ». Par exemple dans le cas de x=1, où le développement de (1x): donne, par la formule de
Newton, l'expression singulière
Cp CS À 0 à etc.
cette série devient
on(n=-1)
[l ll DA LA [72 rem NS à
Lee =) —elc.
DI
qui pour toute valeur de 7 est une série donnant {.
convergente
En faisant n==1, On a immédiatement
La loi (g) peut ainsi, par des déterminations conve-
nables de la quantité arbitraire 7, donner des générations en séries toujours convergentes d’une fonction quelconque Fx, ce que ne peut faire le théorème de Taylor. Mais le développement des fonctions en séries fait l’objet d’un autre article, dans lequel nous verrons que le théorème de Paoli, duquel nous avons tiré la loi (q), n’est lui-même qu'un cas très-particulier d’an théorème général dont nous donnerons l'exposition. Voyez Série et Trcnnie.
. 46. Nous verrons ailleurs comment on étend les développemens que nous avons obtenus pour des fonctions d’une seule variable aux fonctions qui en contiennent plusieurs, Quant 4ux applications du calcul différentiel elles s'étendent à toutes les parties des mathématiques et nous renverrons également aux articles dans lesquels il est employé. f'oyez particulièrement : AGCcÉLÉRÉ, AsymPeToTE, Cuoc, Cusarure , DÉVELOPPÉE |, Maxima, Nonmaze Et Sous-NormaLe, OsCULATRICE , Point sin- GULIER , QuADRATURE, RACINES ÉGALES , RECTIFIGATION, Tancente £r Sous-T'ancentre, Série, RETOUR DES sUITES, etc., etc. Nous allons terminer en exposant son emploi pour la détermination des vraies valeurs de certaines expressions qui deviennent 3 dans quelques cas particuliers.
