Toute quantité fractionnaire de la forme (a

A (a—ay" B'x— a)"

dans laquelle on fait &—#«, devient ©, c’est-à-dire complètement indéterminée quoique sa véritable valeur soit dans ce cas (b')

B (x—-à) mi —n

et qu’elle puisse être conséquemment finie ou indéfinie selon que 72=n7 où que 7» est plus grand ou plus petit que ».

Si le facteur (x—a) était en évidence, la détermination de la valeur de l'expression (4') n’offrirait sans doute aucune difficulté, mais il n’en est pas toujours ainsi, et C'est à ramener cette expression à la forme (4') que consiste le problème.

Soit, par exemple, la quantité

a—ax+ax—«

DI 465 dont on veut connaître la valeur, dans le cas de#=a, en substituant & à la place de x, cette quantité devient

et rien ne peut nous indiquer ainsi quelle est la valeur demandée ; mais si nous remarquons que le numérateur d—cex<+ar—a peut se mettre sous la forme

(a —a)r+(x—da=(x—a)(x+a),

et que le dénominateur est

ou

en rotranchant le facteur commun +=a. Or, si l’on

fait dans cette dernière expression x=a , elle devient

et l’on peut en conclure que q

a—ax Lara ax X?— a? V9

lorsque #—a,

Daus les expressions plus composées, où il serait impossible de mettre ainsi les facteurs en évidence, on pourrait encore tenter de chercher le commun diviseur des deux termes (0y. ce mot); et une fois ce diviseur commun trouvé , il suffirait d’en diviser les termes pour le faire disparaitre. Mais ce moyen n’est pas toujours praticable, et il est dans tous les cas beaucoup plussimple d’avoir recours au procédé que nous allons exposer.

Soit une quantité qui devient ? pour une valeur

particulière &, de la variable æ ; contenue dans chacune des fonctions X et X'; cette circonstance indiquant l’existence d’un facteur æ—a commun à ces deux fonctions,

nous pouvons faire

Pet Q étant les deux autres facteurs. Or, en prenant les différentielles des deux membres de chacune de ces

expressions, d’après le numéro 26, nous avons dX — dP.(x—a)+P.dx dX' = dQ.(x—a)+Q.dx

d’où dX dP.(x—a)+P.dx dX'7 dQ.(x—a)+Q.dx

quantité qui se réduit à Pdx P Qdx Q - orsqu'on fait x—a.

Ainsi, en admettant que P et Q ne contiennent plus

le facteur (x—a), G sera la véritable valeur de , dans le cas de æ—a. Si au contiaire x—a entre encore dans PetQ , ou si nous avons P — P'{x—a) Q = Qx—4) “est que les fonctions X et X’ sont elles-mêmes X = P'(x—a) X'= Q'(x—a) et alors il faut prendre les différentieiles se£bndes po se débarrasser de ce double facteur; on a EX =dP'.(x—a)+4(x—a)dx.dP'+2dxl" dX'=d'Q'.(x—a) +4 (a—a)dx.dQ'+2deQ et lorsque x—a

æX odw.P' P EXT 4m Q ©

X ; x Il est facile de

voir que si le facteur x—a entrait trois fois dans X etX", il faudrait prendre les différentielles troisièmes pour le

c'est-à-dire la véritable valeur de

faire disparaître et ainsi de suite.

Par exemple, pour la quantité

ai—ax Lar—a

en prenant les différentielles premières du numérateur

et du dénominateur , on a d | ai—ax +ax—® | 3x dx —2axdx+adx d(x—a’)—2xdx ce qui donne

3 ax ei .

dix ax + ax æ| ile

da — & |

et quand x=a

3a—0ax+ a 3a—2a+a 22 y 24

valeur que nous avons trouvée ci-dessus.

Si le facteur (x—a) était contenu un plus grand nombre de fois dans un terme que dans l’autre, la va-

leur de x serait de la forme

X M.(x—a)" M, X N.{a—ar | N «(#—a)

et pourrait être æors infiniment petite ou infiniment grande selon que »7 serait plus grande ou plus petite o

que ». car sim >n, cette quantité devient et si

m<nelle devinte TS expressions dont la première repré-

sente une quantité infiniment petite ou zéro, et dont la seconde représente une quantité infiniment grande. Les différentiations successives font encore reconnaître ces circonstances, car en nous rappelant que lorsque ?x==0, on a toujours

d#@x—0 toutes les fois que <>, si nous développons par la loi (e) les différentielles d'X, d''X", nous aurons dX == dm | M (x— a)n | =drM.(x—a)"

Æmdm—iM.d(x—a)"

+ a. dn—2M.d (x a)"

+ etc....

+M.dr(x—a)"

drX'= dr | N(a—a)") = drN.(2—a)r.

Æmdm—iN.d(x—a)"

JU) nn (x a)"