Les anciens mathématiciens commençaient leurs ou
vrages élémentaires par l'exposition de certaines propositions nommées axiomes, sur lesquelles ils établissaient successivement leurs théorèmes, en suivant une marche progressive ou synthétique.
Ces axiomes sont des propositions évidentes par ellesmêmes, et dont la certitude , fondée sur le principe logique de contradiction ( principium contradictionis et identitatis), ne peut admettre aucune discussion. Tels sont :
1°. Deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles.
2°. Le tout est plus grand qu’une de ses parties,
3°. Lorsque deux quantités sont égales, si l’on augmente ou si l’on diminue chacune d'elles de la même manière , les résultats sont égaux,
Dans une égalité quelconque MN, les quantités M et N se nomment les #2embres ; particulièrement M le premier membre, et N le second. En leur appliquant le troisième axiome ci-dessus, on peut encore le généraliser de la manière suivante :
Quelles que soient les opérations qu'on puisse exécuter sur le premier membre M de l'égalité M =N, si l’on fait subir les mémes operations au second membre N, des deux résultats seront égaux.
Nous avions besoin de poser cette proposition évidente pour ce qui va suivre.
6. Jusqu'ici nous avons considéré chaque nombre comme formé seulement par l'addition de deux autres ; mais il est facile d'étendre ce que nous venons de dire ;
car , si nOus avons une suite de nombres construits de ja manière suivante :
a+b=e, c+d=e, FT £, g+h—i, ik, etc. ,
nous obtenons immédiatement la forme générale :
a+b+dLf+h+LKL etc... =M.
D'où nous pouvons conclure qu'un nombre peut être formé par l'addition d’une quantité quelconque d’au-
tres nombres. Lorsque tous les nombres composans sont égaux , ou lorsqu'on à
a+a+tatabat+ec..…. =e,
e désignant la scmme, la construction de e devient régulière, et s’exprime par «a X b—c. b désignant la quantité des nombres a (Norioxs pRÉLIM. , 3).
La génération du nombre c, obtenu de cette manière à l’aide des deux nombres & et b, diffère essentiellement de la génération primitive que nous venons d’examiner, et constitue conséquemment un nouveau mode de construction des nombres.
7. Nous devons d’abord remarquer que, quelque différentes que puissent être les idées qu’on attache aux fonctions des nombres a et b dans la génération axX b=e du nombre ec, ces deux nombres entrent de la même
manière dans cette génération , c'est-à-dire qu’on a ab ba:
En effet, a X b, ou, pour mieux fixer les idées, 4 X 3 désigne 4 +4 +4; mais 41 +114: ainsi,
4 X 3 est la même que la somme des unités
1Hitrt+i 1+i+itki 1+i+ibi.
Or, de quelque manière qu'on opère l'addition de ces unités , soit en les comptant par tranches horizontales , soit en les comptant par tranches verticales, on obtieudra nécessairement le mênie résultat, Mas de la première manière on à 3 fois 4 unités, et de la seconde 4 fois 3 unités; donc
Il est facile d'étendre cette démonstration aux nombres quelconques d'unités a et b.
8. Ce mode de construction a , comme le précédent, sa branche directe et sa branche inverse. La branche directe constitue l'opération de Ja multiplication que nous venons de déduire; la branche inverse, celle de la division dont la forme générale est
Avant d'examiner plus particulièrement Jes nombres
qui peuvent être construits par ces nouvelles opérations, il est important de considérer l'influence que peut exercer sur la nature de leurs résultats l’état positif ou négatif des nombres sur lesquels on opère.
9. La grandeur d’un produit ne recoit aucun changement de la qualité particulière de ses facteurs. Quant à sa qualité, il se présente trois cas pour la déterminer : 1° les deux facteurs sont positifs; 2° les deux f cteurs sont négatifs; et 3° l’un des facteurs est positif, et l'autre négatif.
Lorsque les deux facteurs sont positifs, le produit est positif; car (+ A) X(+B) est la même chose que (+A)+(+A)H(+A)+etc., dont la somme est nécessairement positive.
Lorsque les deux facteurs sont négatifs, le produit est encore positif, car (— A) X(—B) désigne que la quantité (— À ) est ajoutée négativement B fois à ellemême, ce qui est la même chose que (4)
—(—A)—(—A)—(—A)—(—A)— etc...
Or, nous savons (4) que—{(—A)= + À ; ainsi, l’expression (a) est la même chose que
HA+LAHAHE AL AE A —Hetc.……, dont la somme est positive.
Lorsqu'un des facteurs est négatif et l'autre positif, le produit est négatif; car (—A) X (+B) est l'expression abrégée de
(—A)+(—A)+(—A)+(—A)+ etc, ce qui revient (3) à A AAA SEA GÉANT AN EE À à
dont la somme est évidemment négative.
Si au lieu d’avoir (— A) X (+ B) on avait (+ À) X (—3B), le produit serait encore négatif, puisque (4A) X (—E)=(—B)X (HA).
La règle générale est donc celle-ci: Le produit est positif lorsque ses deux facteurs ont le méme signe ; et il est négatif lorsqu'ils ont des signes différens.
10. Dans opération de la division il se présente également trois cas différens pour déterminer la qualité du quotient à l’aide des qualités du diviseur et du dividende, savoir :
1°. Le diviseur et le dividende sont positifs; et alors
.le quotient est aussi positif; car dans l'égalité générale
c devant être produit par la multiplication des facteurs aet b, il faut que ces facteurs soient tous deux positifs ‘ou tous deux négatifs, pour que a puisse être positif. Ainsi, dans le présent cas & étant positif, b est épalement positif.
2°. Le dividende est positif, et le diviseur négatif;
AL
alors, par la même raison que ci-dessus, le quotient est négatif. Si le dividende était négatif et le diviseur positif, il est facile de voir que le quotient serait encore négatif.
3°. Enfin le dividende et le diviseur sont tous deux négatif ; dans ce cas, le diviseur est nécessairement positif, puisqu'il faut que les facteurs aient dés signés dif. férens pour que le produit soit négatif.
La règle générale est donc la même que celle de la multiplication ; c'est-à-dire que Le résultat de la division est positif lorsque les nombres sur lesquels on opère sont tous deux de même signe, et qu'il est négatif lorsque ces nombres ont des signes différens.
11. La formation d’un nombre entier au moyen de facteurs suppose l'existence de certains nombres entiers qui ne peuvent être décomposés en facteurs; car, si dans la génération générale A X BC, on pouvait considérer dans tous les cas l’un des nombres À comme formé aussi par le produit de deux autres nombres A", B', et successivement A’ comme résultant du produit de A” par B”, etc., etc. Les nombres A, A’, A" etc., B,B',B",etc. devenant de plus en plus petits, on pourrait continuer cette décomposition jusqu’à ce que les derniers facteurs fussent égaux à l’unité. Mais 1 X 1 ne donne jamais que 1 : on ne peut donc admettre généralement une telle décomposition; et il existe nécessairement des nombres entiers qui ne peuvent être formés par le produit d’autres nombres entiers.
Ces nombres se nomment nombres premiers. Tels sont2,3,5,7,11,13, 17, etc., dans la suite des nombres naturels 1,2, 3,4,5,6, etc. Tous les autres peuvent être formés par leurs produits.
Ainsi, dans l'expression À X B—C si l’on suppose A formé par le produit de deux nombres premiers a et b; et B par celui des nombres premiers c et d, le nombre C sera le produit des quatre nombres 4,b,c, d,et l’on aura
Le moyen d'opérer cette décomposition d’un nombre en ses facteurs premiers west point ici notre objet (voyez Facteurs) : nous nous contenterons d'observer que, quel que soit l’ordre des facteurs, le produit est toujours le même, et qu'on à
a.b.e.d = a.c.d.b = b.c.da = êtc ;
ce qui est la conséquence de la propriété a.b = b.a. (7) 19. La construction des nombres par la division gé-
nérale
B présente un cas particulier remarquable : c'est celui où le nombre B contient des facteurs premiers qui ne se trouvent pas dans G, Par exemple, soit C composé
AL
(des eux facteurs premiers «&, b, et B composé des deux facteurs premiers 4.d, on aura
B a.d' Or, si l’on avait simplement 4.b à diviser par a, le quo-
tient serait évidemment égal à b. Mais, au lieu de diviser par a il faut diviser par a.d. Ce quotient est donc Tr [4 Les deux nombres b et d étant des nombres premiers, la division de b par d est impossible; car on ne peut avoir b = d X m, puisque b est indécomposable en facteurs. Donc la division de C par B, qui se réduit à celle de b par d n’est pas possible. 11 en serait encore de même si les nombres C et B étaient prerniers entre eut, c’est-à-dire s'ils n'avaient aucuns facteurs communs.
Cependant, le nombre À qui répond au quotient L’ devant toujours être obtenu, quels que soient Get B, nous sommes conduits à reconnaitre l'existence d’une autre espèce de nombre que celle des nombres entiers, dont nous nous sommes occupés jusqu'ici. En effet , sup-
posons C— 3, B—2, nous aurons 3 3 SC nigar La valeur de À est donc plus grande que 1, et plus pe-
üte que 2, et n’est point par conséquent un nombre entier.
Ces nombres nouveaux, dont la division vient de nous donner la génération, se nomment Fracriows. fl en existe une infinité dont les grandeurs sont entre o et 1,1et%,2et53, etc. Dans l'arithmétique, on ne nomme proprement fractnns que ceux de ces nombres compris entre oetr, c'est-h-dire dans lesquels on a B>> C; les autres se nomment zombres fractionnaires, parce qu’en effectuant la division autant qu’elle est possible on peut toujours les réduire à une fraction. ?, par exemple, est la même chose que 1 ++. Quoi qu'il en soit, nous désiguerons sous le nom de fraction tous les nombres de la ÿ B tient un nombre entier. .
forme lorsque là division ne peut donner pour quo-
La manière d’énoncer les fractions dérive de l’opération qui les fait naître. Ainsi, pour énoncer la fraction Z, on dira la huitième partie de sept ; pour énoncer la fraction #©, on dira la quatrième partie de onze, etc. Dans l'arithmétique, comme on ne nomme fractions que celles de ces quantités qui sont plus petites que l'unité, on Îles considère comme des parties de l’unité ; et au lieu de dire, par exemple, la troisième partie de deux pour énoncer la fraction à, on dit deux troisièmes où deux tiers. On suppose alors que l'unité est divisée en trois parties, et que ; représente deux de ces parties, Par la
même raison, pour la fraction ?, qu’on énonce en di4 sant sept neuvièmes, on suppose que l'unité est divisée en neuf parties, et que la fraction en contient sepe. Ainsi de même pour tous les autres cas. On donne en
général le nom de aumérateur au dividende, et celui de
y à 1 re . cv dénominateur au diviseur. Ainsi, dans la fraction —
bÈ a est le uumérateur et b le dénominateur. a et b se nomment encore les deux termes de la fraction.
13. Il résulte immédiatement de la construction des fractions : 1° qu'on les multiplie en multipliant leurs nu-
mérateurs ou en divisant leurs dénominateurs. En ef-
PE . ; Ua fet, si lon multiplie le numérateur à d’une fraction —
r b ] Île devient 27; or, 1 pa un nomDre que conque mn, elle devient 9 or, e
dividende devenant »2 fois plus grand, doit contenir #4 fois davantage le diviseur. De même, en divisant le
, : : . a dénominateur D par #2, la fraction devient -—— , et le
b:m diviseur étant 72 fois plus petit doit être contenu 7» fois davantage dans le dividende. On a donc
am a
Bb TT bim 2°. Qu'on divise une fraction en divisant son numérateur ou en multipliant son dénominateur. Car, dans le premier cas, en nous servant des mêmes nombres que
. . Var ci-dessus, la fraction devient gr ct dans le second,
a “ À : à in 91» lorsque le dividende devient 2 fois plus peti D,.712
par la division , il contient »2 fois moins le diviseur; et lorsque le diviseur devient 2 fois plus grand par la multiphcation , il est également contenu 72 fois moins dans le-dividende, On a donc aussi
bn
3°. Qu'une fraction ne change pas de valeur lorsqu'on
multiplie ou qu'on divise ses deux termes par le même
nombre. Effectivement, dans le premier cas la fraction am
devenant -—b.m
, le dividende et le diviseur deviennent tous deux 2 fois plus grands qu’ils n'étaient ; le premier ne peut donc contenir le second qu’autant de fois qu'il le contenait avant la multiplication; c’est-à-dire que la fraction conserve la même valeur; dans Je second cas, nr
la fraction devenant ———
B , le dividende et le diviseur :m
deviennent tous deux 2 fois plus petits; et, conséquemment, le second ne peut être contenu dans le premier que le même nombre de fois qu'il l'était avant la divi-
am aim
ont donc Ja bn b;m?
sion. Les deux expressions
même valeur,
AL
