etc

+ N.dm(x—a)" Or, à cause de d{x—a)" = m{m—1)....2. 1dx" , si l'on fait æ—a dans ces expressions, la premiere se ré-

duit à m(m—i)....2.1.M.dx"", et la seconde à 0.427;

en supposant »<{n, on a donc

dmX m(m—:1)...2.1.M dix o

DI

À. Perte Ce qui nous apprend que la valeur de x © infini-

ment grande. On trouverait de même lorsque #7>n, en prenant les différences de l’ordre x, une expression de la forme

deX KR qui nous ferait connaître la valeur infinimént petite dela quantité x On peut conclure de ce qui précède la règle suivante : GX :

Pour déterminer la vraie valeur d’une fraction x Ju

devient ? par une valeur particulière de la variable x , différentiez séparément les deux termes X et X' et exa-

minez si les résultats 7 se réduisent l’un et l’autre à o €

par lu valeur hypothétique de la variable; si cela est,

; : : ŒX, PE différentiezune seconde fois elexaminez si zx se réduit

encore à? ; continuez enfin à différentier jusqu'à ce que les deux termes de la fraction ou seulement un ne s’évanouissent pas par la valeur donnée à la variable , cette

, ’ X dernière fraction sera la vraie valeur de x Cette va-

leur sera finie dans le premier cas , nulle si le numérateur est 0 , et infinie si c’est le dénominateur. 48. Prenons pour exemple la fraction

cette fraction devenant ES lorsque x=—1.Prenant les dif-

férentielies premières, nous aurons

d a — 3x +2} 343 Se nn La—122L8 d di— 6x1 + 8x—3 | SE AE

faisant x—1, cette nouvelle fraction se réduit encore à

. Différentiant de nouveau , nous trouverons

; FIOZ ; , à ce qui se réduit à S'en faisant x—1. Le dénominateur

seul se réduisant À zéro, nous en conclurons que la quantité proposée est infinie dans le cas de x=1, Soit maintenant la fraction

a—bx

IE \ ES à

qui devient $, pour æ—o. Différentions séparément les

deux termes, et nous aurons

d(aï— bx) ar. loga.dx—bzlog b.dx

dx dx

= azloga—brlogh

expression qui se réduit à log u — log b, en faisant æ=0.

Lorsque le facteur commun , qui réduit la fonction fractionnaire à ?, est élevé à une puissance fractionnaire les différentiations ne peuvent le dégager, mais comme ilest toujours possible alors de l'isoler, on peut immédiatement trouver la vraie valeur de la fonction.

49-Dans tout ce qui précède, nous avons considéré les différences successives dans l’ordre direct, c’est-à-dire en passant de la première à la seconde, de la seconde à la troisième et ainsi de suite, et nous avons formé ainsiune suite de fonctions dérivées

gt où ex A gx d px ex d'ex Ac dx etc. etc.

cette formation successive des différences dans l’ordre direct, entraîne comme nous l'avons déjà dit, la considération opposée de leur formation dans l’ordre irverse; or, le problème de construire la différence 4’4x, parexemple, au moyen de la différence supérieure Az est l’objet général dn calcul integral.

On nomme sntégrale où somme la différence prise dans l’ordre inverse. Ainsi, > étant la caractéristique de l'intégrale pour les différences finies, et J celle de l’intégrale pour les différentielles, on écrit

ZA ox] —4’ox sf [dex]=dex

3[Atgx] =A pe sf [dgx]=d gx

Aagr]= gx vi Ciqx]= 9x

et, en continuant avec des indices négatifs, Mal=age fral=d-ige 2[A—1gx] —A—2ypx

vi a 1ox]=d—sg0

Z[A—29x] —A—-Sox [td=2px)= d-3yx

on a de même 2|z [A°e x] las Z[A’ox] = Apx

Je VA [dipx]] = f [de] — dyx

ou Z'Alpx — Apx VE 2 Po —dyx en général 2a[Anex]— AN mo f mEdrox]=dr-mox Comme aussi les expressions Zn) ct Ame , a mod) et d=m(ox)

sont équivalentes.

5o. En appliquant ces considérations à la loi fondamentale (ce), elle devient pour le cas des différentielles inverses ou des intégrales

Fa m (Fxfx) = Fx. JS m fa — dFx. LÉ m+ifa ce frere

OR ape, ftp

+ etc...

en multipliant les deux nombres par dem.

Les applications de cette loi , ainsi que tout ce qui regarde le calcul des différences inverses, se trouveront à l'article CALCUL INTEGRAL.

5r. I nous resterait à examiner le cas où les fonctions que l’on veut différentier , contiennent plusieurs variables, mais ce cas ne présente aucune difficulté, et l’on peut immédiatement conclure des principes précédens que la différence d’une fonction F(x ,y,2, etc.) d’an nombre quelconque de variables, reçoit par l’accroissement particulier de chaque variable un accroissement

ue ainsi désignant comme cest lusage par

(3 —— =) ax, l'accroissement ou la différence de la fonc-

tion F correspondante à l'accroissement Ax de la varia- AF . ,

olezpar (A ).ar, la différence correspondante à l’ac-

croisement Ay de la variable y, etc., la différence générale sera la somme de ces différences particulières, et nous aurons

DI AF(x,7,2,etc...) = e ) Aa+ (©) Ay+ + (hache,

et dans le cas des différentielles

dF(x, y, z, etc...)

(RE) (A )dr+ (9) dz+ etc...

c'est-à-dire, que la différence totale se trouye en prenant la somme des différences prises pour chaque variable en particulier comme si toutes les autres étaient constantes.

Soit par exemple

F(x, y)=2+3xy+ory

en différentiant d’abord comme si y était constante, nous aurons d’une part

(A ar sad +62 Y.dx+9ytdx

et, de l’autre, en différentiant comme si æ était constante

(ÉS En PV dy = Sedy+haydr d’où , nous aurons pour la différentielle générale (z) dE(x.y)=(32+6xy+427")dx+(3x+4xy)dy

En effet,

on a

par la construction même des différences,

Œ(xy)=F(x+dx , y+dy)—F(x,7)

c’est-à-dire, dans l'exemple qui nous occupe,

(ad) +3(a-da)" (y + dy) +a(atdn)(y + dr) — —2—3xy—2xy°

ou, en développant les produits,

a+3xdx+3x.dx +dx 3xy <+6Gxy.dx +3ydx +32" dy +6xdxdy +3dy.dx* +oxyt +2y’dx +ixrdy +hrdz.dy +oxdy* 4-dx.dy* —23—3xy—027x)"

opérant les soustractions et retranchant toutes les quan-

DI

utés indéfiniment petites des ordres supérieurs au premier , il reste

3 dx+62y.dx +29. de +32 dy +4xy.dy

ce qui est identique avec (2).

Nous verrons à l’article s£RIE comment ou peut étendre aux fonctions de plusieurs variables les théorèmes de Taylor, de Maciaurin, de Paoli, et d’autres encore plus généraux.

Les équations de différences seront traitées au mot ÉQUATION.

52. La découverte du calcul différentiel a été l'objet d’une longue contestation, que nous aurons ailleurs l’occasion de rapporter (voy. Leisnirz et NEwrow), et quoiqu'il soit aujourd'hui démontré avec la dernière évidence que l’accusation de plagiat dont les Anglais ont voulu flétrir Leibnitz, ne repose sur aucun fondement, nous ne nous servirons point des argumeus que les historiens français et allemand des mathématiques ont accumulés pour venger sa mémoire. Selon nous, la gloire de Leibnitz reste pure et inattaquable car nonseulement ce grand homme à, le premier , produit le calcul différentiel, mais il est encore le premier qui ait compris la nature abstraite de ce calcul ; et ses infiniment petits des divers ordres, sont une conception philosophique d’un ordre bien supérieur à celle des fluxions de-Newton. En admettant donc ce qui parait assez probable que chacun de ces géomètres soit arrivé par la seule force de son génie à la découverte d’une même méthode de calcul, c’est à Leibnitz qu'appartient l'honneur de s'être élévé jusqu'aux véritables principes métaphysiques de cette méthode, et de l'avoir ainsi consti tuée une des branches fondamentales de la science des nombres.

Notre intention avait été d’abord d'examiner dans cet article les diverses méthodes que quelques géomètres ont voulu substituer au calcul différentiel, mais ces méthodes devant être l’objet d'articles particuliers, et celuici dépassant déjà les bornes qui nous sont prescrites, nous renverrons aux mots : FONCTIONS ANALYTIQUES, FLUxIONS, ÉvanouissanTes, Limires, Résipuezce. Voyez aussé, MaTuÉMATIQUES, pour ce qui regarde la découverte du calcul des différences finies.

DIFFRACTION (Ope.). On donne ce nom à la propriété qu'ont les rayons de lumière de s'infléchir lorsqu'ils rasent en passant un corps opaque. Voyez In- FLEXION.

DIGRESSION (454). Éloignement apparent des planètes inférieures au soleil. ’oy. ELoxcarion.

DIMENSION (Géom.). Longueur, largeur ou épaisseur d’un corps. Nous concevons les Zignes comme v’ayant qu'une seule dimension, la longueur; les surfaces comme ayant seulement deux dimensions, la on«

gueur et la largeur, et enfin les solides comme ayant trois dimensions longueur, largeur et épaisseur ou pro- Jondeur. Voy. Lace, Soutne, SuRrAcE.

On se sert encore du mot dimension en algèbre , pour désigner le degré d’une puissance ou d’une équation; ainsi l’inconnue x est dite avoir une, deux , trois etc. dimensions, selon qu’elle est élevée à la première, seconde, troisième, etc. , puissance. En général, une quantité a autant de dimensions qu'il entre de facteurs dans sa composition : 4, par exemple, est d’une seule dimension, ab est de deux, abc de trois, abcd de quatre , etc.

DINOCRATES , architecte et géomètre célèbre de l'antiquité. Alexandre, vainqueur de Darius, et maitre déjà d’une partie de l'Asie, entouré des chefs de son armée, donnait audience aux rois qu’il avait soumis , lorsqu'un étrange murmure s’éleva de la foule qui entourait sa tente royale, etsignala à l'attention du jeune conquérant un personnage extraordinaire, qui paraissait désirer la faveur de lui parler. C'était un homme d’une taille élevée, d’une beauté mâle et brillante : ses noirs et longs cheveux tombaient arrondis en boucles sur son cou nerveux , son regard était fier ct haidi; à lexception d’une peau de lion jetée sur ses larges épaules, il était entièrement nu, et avait le corps oint comme un athlète; enfin sou front noble et élevé était ceim d’une couronne formée de branches de peupliers, et il s'appuyait sur une lourde massue. 1 dépassait de toute sa tête la foule des chefs et des courtisars qui s’écarta avec respect devant lui. Alexandre fut lui-même frappé d'admiration et d’étonnement à son aspect, et il lui fit signe d'approcher de son tribunal. — Qui que tu sois, lui dit-il, que veux-tu d'Alexandre? — Je m'appelle Dinocrates, répondit cet homme, et je suis architecte macédonien. Jet’appoitele projet d’un monumentdigne de ton grand nom et de ton génie. Parle, et je taillerai le mont Atlas en forme de statue humaine ; la main droite contiendra une ville immense, et dans sa gauche une vaste coupe recevra les caux des montagnes, et les déversera dans la mer.

Il est probable qu'Alexandre admira laudace et le génie d’un artiste qui avait pu concevoir un pareil projet, mais sa réponse prouve que ce grand homme m’aimait pas seulement la gloire qui s'attache à l'exécution des choses difficiles; le but civilisateur qu'il avait en vue le préoccupait davantage. Il se borna à demander à Dinocrates, comment s’opérerait l'approvisionnement d’une telle ville; l'artiste ne put résoudre cette difficulté, et Alexandre le retint auprès de sa personne, en lui pro: mettant d'appliquer bientôt ses talens à une œuvre plus utile que celle dont il avaitrèvé l’accomplissement dans son imagination. Effectivement , ce fut Dinocrates qui

présida à tous les travaux de la fondation d'Alexandrie,

exécutée par ordre d'Alexandre durant la 112° olympiade , environ 332 aus avant J.-C. On attribue à Dinocrates le rétablissement du célèbre temple d'Éphèse, brulé par Érostrate. La mort le surprit sous le règne du premier Ptolémée, au moment où chargé par ce prince de construire un temple en l’honneur d’Arsinoé, il voulait y soutenir en l’air une statue de fer, au moyen d'une voüte d’aimant. L'inspiration de l'artiste ne peut seule aider à l’accomplissement des travaux exécutés ou médités par Dinocrates; aussi les anciens Mnstoriens qui nous ont conservé son nom, en parlent-ils comme d’un géomètre habile.

DINOSTRATE, géomètre grec de l’école de Platon, dont il fut l'ami, vivait par conséquent à Ja fin du IV® siècle avant J.-C. Il ne nous reste aucun de ses écrits, mais Proclus le cite avec son frère Menechare ‘Procl. iv. IT, chap. IF, Commentaire sur Euclide), comme ayant essentiellement contribué aux progrès de la géométrie. On sait que le problème de la trisection de l'angle a beaucoup exercé la patience des géomètres anciens. Suivant Pappus (Collections mathématiques , prop. 25), Dinostrate imagina une courbe qui aurait eu le double avantage de donner la trisection ou la multiplication de l'angle, et la quadrature du cercle, si on eût pu la décrire d’un mouvement continu par la règle etle compas. C’est pour cette raison que le nom de quadratrice est demeuré attaché à cette ligne, qui est du nombre des courbes mécaniques et ne remplit rigoureusement ni l’un ni l’autre des objets auxquels elle était destinée. Pappus ne dit pas positivement que Dinostrate fût l'inventeur de la quadratrice, mais il parait certain que ce géomètre observa le premier la propriété remarquablede cette ligne; elle a d’ailleurs retenu son nom. Nous ne possédons aucun autre renseignement sur les travaux mathématiques de Dinostrate.

DIOCLÉS, géomètre grec qu’on suppose avoir vécu durant le VI° siècle de notre ère, s'est rendu célèbre par plusieurs découvertes en géométrie, et spécialement par une ingénieuse solution du problème de la duplication du cube, qui consiste, comme on le sait, à trouver deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données. Eutocius, l’un des commentateurs d’Archimède, est le premier des écrivains anciens qui fasse mention de cette solution que Dioclès obtint au moyen d’une courbe qui areçu le nom de cissoïpe (voy. ce mot). Le savant Pappus qui s’est beaucoup occupé des différentes manières derésoudre ce problème, ne parle point de celle qu’employa Dioclès, d’où l’on a tiré la juste conséquence que ce géomètre lui était postérieur.

Eutocius attribue aussi à Dioclès une belle et savante solution du problème posé par Archimède, dans son livre de la Sphère et du cylindre, problème dont l’objet est de couper la sphère en deux segmens, qui soient

entre eux daus un rapport donné. Ce grand géomètre avait promis derésoudreailleursce problème, et Eutocius qui en rapporte trois solutions, prétend que la première pourrait bien être d'Archimède; la seconde est de Dionysidore, la troisième est celle de Dioclès. C’est d’un ouvrage sur les machines à feu (De Pyrits) qu'Eutocius a extrait ces parties remarquables des travaux de Dioclès ; ces fragmens font regretter la perte de ce livre. On ignore s’il composa d’autres écrits , et l’époque de sa mort.

DIONIS DU SÉJOUR (Acmize-Prerre), mathématicien et astronome distingué, naquit à Parisle 1 1 janvier 1734. Destiné à la magistrature, il fut envoyé de bonne heure au collége des jésuites pour y faire ses études ; il y manifesta un penchant invincible et une heureuse aptitude pour les mathématiques. Le hasard lui donna pour condisciple le jeune Goudin , destiné par ses parens à Ja même carrière que lui et dominé par les mêmes gouts. Ils se lièrent dès lors d’une amitié qui dura toute leur vie, et se livrèrent ensemble à leurs études favorites. Au sortir du collége Dionis et Goudin débutèrent dans le monde savant par la publication de deux ouvrages remarquables, composés en commun. Le premier a pour titre : Traité des courbes algébriques, Paris, 1756, un vol. in-12, et lesecond: Recherches sur la gnomonique, les rétrogradations des planètes et les éclipses de soleil, Paris; 1 vol. in-8°, 1961. Ce dernier écrit attira l’attention des savans sur les jeunes géomètres , et particulièrement sur Dionis qui parait en avoir composé la plus grande partie ; mais ce succès ne put rien changer aux vues de ses parens, et dans l'intervalle de la publication de ces deux ouvrages, Dionis prit siége au parlement de Paris, à la 4° chambre des enquêtes, en 1758, et à la grand'chambre en 1750.11 continua néanmoins à se livrer avec le même zèle à l’étude des sciences ; il suivit les cours de Clairault, qui le remarqua parmi ses disciples, et qui , appréciant ses talens , contribua à le faire nommer, en 1765, associé libre de l'académie des sciences, dont il fut depuis associé ordinaire. Dioniss’est rendu célèbre comme savant et comme magistrat. Il était membre des académies de Stockholm, de Goëttingue et de la société royale de Londres. Malgré les nombreuses correspondances qu'il entretenait avec les principaux savans de l'Europe et sa consciencieuse persévérance dans les recherches scientifiques auxquelles il se livrait, il n’en remplissait pas moins avec distinction ses fonctions de conseiller au parlement que les malheurs du temps commençaient à rendre difficiles. A cette époque la révolution éclata et Dionis fut membre de l’assemblée constituante , après avoir été député aux états-pénéraux pour l’ordre de lanoblesse. « Ilsoutint la cause d’une liberté sage, qui était dans ses principes, dit un de ses biographes, et fit rendre au célèbre La